Диссертация (1149681), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Предположим, что экзогенно задананепрерывная функция Y (t ) , описывающая желаемую динамику выпуска, т. е.49фактически желаемые темпы экономического роста, в течение заданногопромежуткавременивбудущем[0, T ] .Очевидно,чтопосвоемусодержательному смыслу функция Y (t ) является неубывающей.Решим численно задачи Коши, соответствующие системе (5)−(6) при M = 0и системе (7)−(8) (см.

раздел 2.4). Пусть Y1 (t ) − выпуск при нулевой иммиграции,а Y2 (t ) − выпуск при неограниченной иммиграции. Если функция Y (t ) такова, чтоY (t ) ≤ Y2 (t ) для ∀t ∈ [ 0, T ] и в то же время Y (t ) > Y1 (t ) для некоторого t ∈ [ 0, T ] , тоопределение оптимальной квоты, обеспечивающей желаемые темпы роста,возможно. В противном случае задача управления трудовой иммиграцией впринимающей стране не стоит. Уточним последнее утверждение. Если длянекоторых t выполнено Y (t ) > Y2 (t ) , то для достижения поставленной задачи ополучении планового выпуска Y (t ) одного пополнения фактора труда за счетиммигрантов недостаточно − необходимо принятие и других мер, направленныхна подъем экономики.

Если же Y (t ) ≤ Y1 (t ) для ∀t ∈ [ 0, T ] , то обеспечениежелаемого выпуска Y (t ) будет иметь место и без пополнения собственнойрабочей силы.Предположим теперь, что условия Y (t ) ≤ Y2 (t ) для ∀t ∈ [ 0, T ] и Y (t ) > Y1 (t )для некоторого t ∈ [ 0, T ] оказались выполненными, и перейдем к определениюоптимальногоразмераежегоднойквотыначисленностьвъезжающих.Формализуем задачу оптимального управления следующим образом (другиеосмысленные способы постановки задачи будут описаны в замечаниях).

Пустьуправляющий орган смотрит только на конец отчетного периода и ставит задачуполучить через промежуток времени длиной T желаемую величину выпускаY (T ) .Темсамымвозникаетзадачауправлениясфиксированнойпродолжительностью управления T . Связь между управлениями M и фазовыми50переменными задается системой (5)−(6). Начальное состояние системы E (0) = N 0 ,K (0) = K 0 фиксировано. Задача управления состоит в том, чтобы найти среди всехдопустимых управлений M такие, которые переведут систему из указанногоначальногосостояниявсостояниеY (T ) = F ( K (T ), E (T ) ) = a ( K (T ) ) ( E (T ) )β1−βE (T ) ,= Y (T ) .ВK (T )качестветакое,чтокритерияоптимальности выберем минимизацию самого размера ежегодной квоты начисленность въезжающих M . Таким образом, задача сводится к получению черезвремя T заранее заданной величины выпуска Y (T ) при наименьшей численноститрудовых иммигрантов.Теорема 2.4.

Предположим, что1. в системе (5)−(6) заданы параметры 0 < δ < 1, 0 < β < 1 , α > 0 , 0 < p < 1 ,a > 0 , zex > 0 и начальные условия E (0) = N 0 , K (0) = K 0 ,2. заданы промежуток времени в будущем [ 0, T ] фиксированной длины T ,функцияN (t ) ∈ C1[0, T ]и число Y (T ) ≤ Y2 (T ) , где Y2 (t ) , t ∈ [ 0, T ] ,находится через решение задачи Коши, соответствующей системе (7)−(8),3. при всех t ∈ [ 0, T ]β K (t ) выполнено a  > zex (условие, возникавшее вEt()разделе 2.3, в виде z (t ) > zex ).Тогда существует минимальное значение управляющего параметра M , прикотором Y (T ) = Y (T ) .1−βδЕсли при этом дополнительно выполнены условия N (t ) ≡ N 0 и p ≥ 1/β ⋅ zexβ , тоaфазовые переменные E (t ) , K (t ) и, следовательно, выпуск Y (t ) не убывают,t ∈ [ 0, T ] .Доказательство:При увеличении значения управляющего параметра M переключения срежима приема мигрантов на режим запрета въезда согласно условию51  K ( x ) βa−z∫[t ]   E ( x)  ex  dx = Mtпроисходят в более поздние моменты времени[t ] ≤ t ≤ [t ] + 1 в силу положительности подынтегральной функции, котораяобеспечивается предположением 3.

В режиме приема мигрантов согласно (5), (6)и условию z (t ) > zex ∀t ∈ [ 0, T ] скорости роста переменных E (t ) и K (t ) больше,чем в режиме запрета въезда. Отсюда следует, что если M > M , то E (t ) ≥ E (t ) иK (t ) ≥ K (t ) для любых t ∈ [ 0, T ] , где E (t ) , K (t ) − решение задачи Коши,соответствующей системе (5)−(6) с параметром M , а E (t ) , K (t ) − с параметромM . Очевидно, что тогда и Y (t ) ≥ Y (t ) для любых t ∈ [ 0, T ] . Причем до тех пор,  K ( x ) βпока все условия ∫  a −zex  dx = M являются ограничивающими, т. е.E(x)[t ]  tмоменты переключения находятся в течение каждого года, сдвиг вверх кривыхE (t ) ,K (t )и, следовательно, Y (t )в осях( t , E (t ) ) , ( t , K (t ) ) , ( t , Y (t ) )соответственно происходит строго монотонно.Кроме того, если увеличение параметра M происходит непрерывно, то иописанные выше сдвиги вверх кривых E (t ) , K (t ) и Y (t ) происходят непрерывно.Последнее следует из того, что как моменты переключения, так и произвольныепостоянные, возникающие при интегрировании уравнений, соответствующихразличным режимам, очевидным образом непрерывно зависят от M .Таким образом, при непрерывном увеличении M происходит непрерывноедвижение кривой Y (t ) вверх в осях  K ( x ) β∫  a  E ( x)  − zex  dx = M[t ]  ( t , Y (t ) ) ,а случаю, когда все условияtперестают быть ограничивающими (т.

е. случаюнеограниченной миграции), соответствует выпуск Y2 (t ) . Фактически Y (t )непрерывно перемещается вверх от кривой Y1 (t ) , соответствующей случаю M = 0 ,52до кривой Y2 (t ) . Поскольку согласно предположению Y (T ) ≤ Y2 (T ) , то найдетсятакое M , при котором будет выполнено равенство Y (T ) = Y (T ) .1−βПривыполненииусловийN (t ) ≡ N 0иδp ≥ 1/β ⋅ zexβaимеетместоутверждение 2.2 раздела 2.4, которое обеспечивает выполнение Eɺ ≥ 0 , Kɺ ≥ 0 ,следовательно, и Yɺ ≥ 0 . Итак, теорема 2.4 доказана.Замечание 1. Задача управления может быть поставлена и по-другому. Например,может быть рассмотрена задача со свободным правым концом, где в качествекритерия оптимальности выбрана минимизация отклонения выпуска Y (t ) отпланового выпуска Y (t ) в какой-либо фиксированной метрике.

Посколькуфункции Y (t ) и Y (t ) являются непрерывными, в качестве меры их близостиможет быть рассмотрена, например, Чебышевская норма их разности, т.е.Y (t ) − Y (t )диапазонC [ 0, T ]= max Y (t ) − Y (t ) . Если при этом дополнительно будет заданt∈[ 0, T ][ M1, M 2 ]возможного изменения M , где в качестве M 1 и M 2 ,например, могут выступать фиксированные доли от E (0) , то в таком случаесуществование оптимального размера квоты M будет следовать из того, чтонепрерывная по M функция Y (t ) − Y (t )C [ 0, T ]достигает своего минимума накомпакте [ M 1 , M 2 ] .Замечание 2.

Как и в классической постановке задач управления, в качествеуправляющего воздействия может быть рассмотрена кусочно-непрерывнаяфункция. Осмысленным в данном случае представляется рассмотрение кусочнопостоянной функции, описывающей установление различных размеров квот начисленность въезжающих в разные годы, т. е. функции типа M (t ) = M i приti ≤ t ≤ ti + 1 , где ti ∈ Z .53β K (t ) Замечание 3. Условие a  > zex при всех t ∈ [ 0, T ] , фигурирующее в()Etформулировкетеоремы2.4,проверяетсяпринахождениирешениясистемы (5)−(6).Несмотря на существование других возможных постановок задачиуправления, остановимся на постановке, рассмотренной в теореме 2.4, посколькуона представляется более осмысленной с экономической точки зрения.Поставленная задача управления решается численно.

Задача сводится кперебору с заданным шагом значений M и численному решению задачи Кошипри всех перебираемых M . Указанный процесс останавливается тогда, когдазначение Y (T ) , найденное численно, превзойдет наперед заданное значение Y (T ) .Последнее возникающее значение M и задает численный аналог оптимальногоразмера квоты. Алгоритм поиска оптимального размера квоты представлен вразделе 2.7.Близостьоптимальногоразмераквоты,найденногочисленно,коптимальному M , фигурирующему в теореме 2.4, безусловно, зависит от длинышага и выбранного численного метода.

Однако в данном случае вопрос указаннойточности не стоит ввиду наличия более весомых погрешностей, заложенных впараметрах модели.Замечание 4. При рассмотрении постановки задачи, предложенной в замечании 1,в качестве меры отклонения найденного численно Y (t ) от заданного Y (t ) можетвыступать любая стандартная норма отклонения Y (t ) − Y (t ) как то, например,max Y (ti ) − Y (ti ) ,ti∑ Y (t ) − Y (t ) , ∑ (Y (t ) − Y (t ) )iiiiii21/ ppили  ∑ Y (ti ) − Y (ti )  . i542.6. Численное интегрирование системы с разрывной правойчастьюДанныйразделсодержитописаниечисленногоинтегрированиясистемы (9)−(10) в том случае, если стоит задача о точности приближения кразрывууравнения(9).Большинствообозначенийздесьсоответствуетразделу 2.3; через T обозначен конец временного промежутка интегрирования,ε0 − заданная точность при приближении к разрыву, т.

е. при приближенииM ( t ) − M ([t ]) к M , h0 − начальное значение для шага интегрирования.Входными данными являются параметры системы λ , δ , β , α , p , a , zex ,величины T , h0 , ε0 и начальные значения переменных E (0) = N 0 и K (0) = K 0 ,выходными − значения переменных M , E , K и Y в дискретные моментывремени t ≤ T .Любым доступным численным методом производим интегрирование втечение рассматриваемого года следующих дифференциальных уравнений:Nɺ = λN 0eλt ,(11)  K βɺM = α  a   − zex  , E(12)Kɺ = −δK + paK β E1−β ,(13)где значение переменной E в любой момент времени находится через значенияN и M по формуле E ( ⋅) = N ( ⋅) + M ( ⋅) .При этом мы следим за величиной M ( t ) − M ([t ]) , т. е.

за численностьюмигрантов, въехавших в течение данного года: еслиM ( t ) − M ([t ]) оказалосьбольше, чем M , то выясняется, насколько M ( t ) − M ([t ]) превысило значение Mи далее1. еслиM ( t ) − M ( [t ] ) − M ≤ ε 0 ,тодопереходакследующемуинтегрируются только два уравнения: Nɺ = λN 0eλt , Kɺ = −δK + paK β E1−β ;году552. если шаг h0 не позволяет приблизиться к разрыву с заданной точностью, тоон уменьшается в 2 раза, и производится «новое» интегрированиеуравнений (11)−(13) с начала года с использованием уменьшеннойвеличины шага; данная процедура выполняется до тех пор, пока не будетвыполнено условиеM ( t ) − M ([t ]) − M ≤ ε 0 , позволяющее перейти кпункту 1.Для нахождения значений выпуска (ВВП) во все рассматриваемые моментывремени следует воспользоваться формулойY ( ⋅ ) = F ( K ( ⋅) , E ( ⋅) ) = a ( K ( ⋅) ) ( E ( ⋅ ) )β1−β.В приложении A представлено описание численного интегрированиясистемы (9)−(10) в виде псевдокода.

Характеристики

Список файлов диссертации