Диссертация (1149360), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Аргатов показал, что остановка скольжения и вращения также происходит одновременно. Н.Н. Дмитриев получиланалогичный вывод для анизотропного трения и распределения давления позакону Буссенеска [62] и по закону Герца [63].На рисунке 2.10 показано поведение параметров β и ϑ в зависимостиот эксцентриситета эллипса: a), c) – соответствуют линейному распределениюдавления, b), d) – равномерное распределение давления. Интересно, изменение выпуклости кривой β при увеличении «сплюснутости» эллипса, при этомследует отметить, что в случае вырождения эллипса в отрезок ( e > 0.99 ),51Tn(t), linear pTn(t), uniform p200−2−11−4312−60 a)0.20.4−20 b)0.20.4(β − Φ)(t), uniform p0.23(β − Φ)(t), linear p0.500−0.5−0.2−13−1.50 c)0.2120.4231−0.42−0.60d)0.20.4Рис.
2.9. Сравнение поведения нормальной компоненты силы трения для эллипса ( e = 0.866 ) (a, c) линейное распределение давления, (b, d) равномерноедавление, при различных значениях µ : 1 − µ = 0, 2 − µ = 0.12, 3 − µ =0.24 .численное решение данным методом получить не удалось. А для линейногодавления, оказалось, что при e = 0.99 центр давлений находится за пределами площадки, что существенно повлияло на эволюцию параметра ϑ .Особое внимание в исследовании уделялось влиянию начальной ориентации эллипса ϕ0 на развитие движения. В таблице 2.3 приведены значениядля эллипса с e = 0.866 и анизотропного трения с µ = 0.18 и начальнымиусловиями:πv0 = 1, ω0 = 1, ϑ0 = .4Хорошо видно, что направление вдоль наименьшего значения коэффициен-52β(t), linear p1β(t), uni p110.920.830.94 560.740.6a)0.230.80.7020.40.5056b)0.1ϑ(t)0.20.30.20.3ϑ(t)10.80.60.50.40.200−0.2−0.500.2c)0.400.1d)Рис.
2.10. Зависимость параметра β(t) от эксцентриситета при линейном иравномерном распределении давления и µ = 0.18 : e : 1) 0, 2) 0.6, 3) 0.8, 4)0.9, 5) 0.96, 6) 0.99тов трения (вдоль оси Ox ) даёт значительно большее время скольжения и,вдобавок, увеличивает значение отношения между линейной и угловой скоростями непосредственно перед остановкой, т.е. направлениям ϕ0 = 0o , ϕ0 =180o соответствует более длительное скольжение с меньшим разворотом.На рисунке 2.11 показаны предельные значения параметров β, ϑ длятрения с коэффициентами µ = 0.09, µ = 0.18, µ = 0.27 . Хорошо видно,что меньшему значению коэффициента трения соответствует больший разворот вектора скорости эллипса в случае, если в начале движения эллипс былориентирован вдоль оси Ox , это обусловлено тем, что меньшему показателю анизотропии соответствует большее время скольжения и в данном случае53Таблица 2.3.
Зависимость величины β, ϑ , и ϕ∗ , t∗ непосредственно передостановкой от φ при скольжении эллиптической пластинки ( e = 0.866 ) поплоскости с ортотропным трением ( fx = 0.42, µ = 0.18 ).ϕ0oβϑϕo∗t∗07.453-0.197.510.257854.397-0.68812.430.2574101.4654-5.8417.360.257200.6438-30.8227.330.256300.659-27.1637.360.2566400.667-22.5747.10.2572500.669-17.4857.640.2577600.668-12.0967.90.2582700.665-6.578.210.2645800.6639-0.8188.530.27900.66464.8798.70.27391000.666710.39108.970.2751100.668615.73119.00.27421200.668120.79128.90.27081400.651029.44148.60.261600.615730.10168.040.24921702.880.68177.730.24541757.86-0.057182.600.24541807.45-1.95187.50.2430этот фактор является определяющим. В случае же более высоких показателей анизотропности поверхности, начальная ориентация является важнымфактором в соотношении скоростей в большей степени, чем в развороте вектора скорости.
В этом случае длительность движения больше, чем при других ориентациях эллипса, однако, существенно меньше, чем при небольшомзначении µ .Такое поведение позволяет говорить о том, что форма эллипса имеетважное значение в предложенной задаче. Большее значение коэффициента µне позволяет эллипсу развернуться, так как это происходит при µ = 0.09 , темне менее за счёт увеличения длительности скольжения финальные значения54β(φ)30µ=0.18µ=0.09µ = 0.2720100020406080100120140160180120140160180ϑ(φ)100500−50020406080100Рис. 2.11. Зависимость параметров β(t), ϑ(t) от начальной ориентации эллипса ϕ0 для некоторых значений µпараметра β выше, чем в случае других ориентаций. Следует отметить, чтозависимость от ориентации эллипса в численном эксперименте удаётся обнаружить только при очень точном определении момента остановки. В данномслучае принималось, что остановка происходит при скоростях меньше 1e−13 .Добиться подобной точности методом непосредственного интегрирования непредставляется возможным, поэтому этот метод не даёт таких результатовдля параметра β , как получены в таблице 2.3 и представлены на рисунке 2.11.
Методом непосредственного интегрирования максимальная точностьнуля около 1e − 6 , однако, в случае линейного распределения давления, гдеэффекты, связанные с неравномерностью распределения давления, сопоставимы с фактором анизотропности, использование этого метода оправдано.55Выводы главы 2В главе поставлена и решена задача о предельном поведении тонкойэллиптической пластины в условиях симметричного ортотропного трения приравномерном и линейном распределении давления.Получены выражения для силы и момента трения при равномерном давлении двумя методами: непосредственным интегрированием системы(1.12) и методом А.И. Лурье, и при линейном давлении методом непосредственного интегрирования. Показано, что метод Лурье даёт существенно более плавное решение динамической задачи, что обуславливает его выбор прирешении задач о предельном поведении пластин.В частных случаях v = 0, ω 6= 0 и v = 0, ω 6= 0 система (1.12)решена аналитически.
Сделан вывод о том, что при равномерном давлении вслучае только поступательного начала движения пластина будет продолжатьскользить чисто поступательно. Аналогично, в случае наличия в начальныймомент только угловой скорости, пластина будет иметь чисто вращательноедвижение.Приведены результаты численных расчётов для эллиптической пластины и диска. Показано, что для эллипса и диска в условиях симметричногоортотропного трения и равномерного распределения давления справедливоусловие, что скольжение и вращение заканчиваются одновременно. Аналогичный вывод получен для диска в случае изотропного трения в работах[18, 24] и для анизотропного трения в [13].
В случае линейного распределения давления также можно сделать вывод об одновременном окончаниискольжения и вращения и также величина β стремится к некоторой конечной величине.При равномерном давлении построен фазовый портрет системы. Показано, отличие фазовых траекторий эллиптической пластины от диска визотропном и анизотропном случаях.
Кроме того, проведено сравнение траекторий движения эллипса и диска. Показано, влияния эксцентриситета ианизотропии на основные характеристики движения.Показано влияние начальной ориентации эллипса на эволюцию характерных параметров движения, которое позволяет сделать вывод о важностиучёта формы площадки контакта при анизотропном характере трения.56Глава 3ОСОБЕННОСТИ ПРЕДЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОНКОЙПЛАСТИНЫ. АСИММЕТРИЧНОЕ ОРТОТРОПНОЕТРЕНИЕВ данной главе изучается предельное поведение тонкой эллиптическойпластины на горизонтальной поверхности с асимметричным ортотропнымтрением при равномерном распределении давления.
В качестве одного изчастных случаев также рассмотрена и пластина с окружностью в основании. Получены выражения для вычисления сил трения в такой постановке.Численно проанализирован характер движения пластины. Проведено сравнение со случаем симметричного ортотропного трения, а также проведеносравнение с круговой площадкой в аналогичных условиях.3.1. Постановка задачиРассмотрим, пластину с эллиптическим основанием, большая полуоськоторой a , а эксцентриситет e , движущуюся по горизонтальной поверхсноти с равномерным распределением давления. Будем полагать, что трение –асимметричное ортотропное и коэффициенты трения на поверхности можноопределить с помощью соотношений (1.6).3.2.
Вычисление сил тренияКак и в случае симметричного ортотропного трения выражения длясилы и момента трения можно найти, воспользовавшись методом А.И. Лурье. При этом уравнения (2.24) и (2.25), полученные в разделе 2.3 могут бытьиспользованы и для асимметричного трения, однако, следует учитывать, чтокомпоненты матрицы трения изменяют своё значение в зависимости от знакакомпонентов скорости, в результате чего необходимо разбивать интегралы насоставляющие, для которых коэффициенты трения будут оставаться постоянными.573.2.1. Геометрия области и граничные условия для интегрированияРазобьём плоскость на подобласти, в каждой из которых, коэффициенттрения будет оставаться постоянным.
На рисунке 3.1 показано такое разбиение.η4321ξ5967108C16141215y17O1113191820xРис. 3.1. Разбиение области интегрированияОпределим расположение мгновенного центра скоростей G в каждойиз областей. Для этого найдём координаты касательных к эллипсу, параллельные осям Cx и Cy (см. рис. 3.2).Пусть p1 и p2 – касательные параллельные оси Oy справа и слева,соответственно, а p3 и p4 – касательные параллельные оси Ox сверху иснизу.В системе координат Cξη уравнение прямой p3 будет:η = k3 ξ + l3 ,где k3 = − tan ϕ .Координаты точки касания могут быть найдены из системы:η = − tan ϕξ + l3 ,ξ 2 η2+= 1,a2 b2откуда2ξ1,2q−a k3 l3 ± ab a2 k32 + b2 − l32=,a2 k32 + b258и поскольку касательной соответствует случай только одного корня, следоqвательно: l3 = a2 k32 + b2 . В итоге, получим:a2 k3,ξp3 = − √ 2a k3 + b2ηp3 = k3 ξp3 + l3 .(3.1)xp3 = ξp3 cos ϕ − ηp3 sin ϕ,yp3 = ξp3 sin ϕ + ηp3 cos ϕ.(3.2)А в системе CxyДля точки касания p1 , следуя тем же соображениям имеем:η1 = k1 ξ + l1 ,a2 k1ξ1 = − q 2a2 k1 + b2qπгде k1 = tan( − ϕ) = cot ϕ , а l1 = a2 k12 + b2 .2А в системе Cxyxp1 = ξp1 cos ϕ − ηp1 sin ϕ,yp1 = ξp1 sin ϕ + ηp1 cos ϕ.(3.3)И для 2х других точек параметры будут:k2 = cot ϕ,k4 = − tan ϕ,l2 = −l1 ,l4 = −l3 .Введём также параметр z , который будет обозначать количество разбиений интегралов (2.24) или (2.25), а также угол ψ – аналог угла γ , нообозначающий промежуточный предел интегрирования.Рассмотрим область 1, представленную на рисунке 3.2.
Стрелками показаны направления скоростей. Видно, что в этом случае все скорости направлены в IV квадрант, а нахождение точки G в этой области определяетсяпростой системой неравенств:xG > xp1 ,yG > yp3 .(3.4)59ηbGp3ξv2p1v1Cp2yp4v3OxРис. 3.2. Область 1, все вектора скорости ориентированы в IV квадрантηbv2Gp2ξp1Cv3v1p3yp4OxРис. 3.3. Область 4, вектора скорости ориентированы в I квадрант60Очевидно, что в случае области 1 пределы интеграла (2.25) не изменятся при этом примем:z = 1, ψ0 = −γ1 , ψ1 = γ2 ,fx01 = fx+ , fy01 = fy− .(3.5)Аналогичные рассуждения можно провести для областей 4, 17, 20 (графическая иллюстрация представлена в приложении 2).Для области 4 все скорости направлены в I квадрант (рисунок 3.3), анахождение мгновенного центра скоростей в ней определяется неравенствами:xG ≤ xp2 ,(3.6)yG > yp3 ,а вспомогательные параметры:z = 1,ψ0 = −γ1 ,fx01 = fx+ ,(3.7)ψ1 = γ2 ,fy01 = fy+ .ηp2v2ξp3v3Cp1v1ybOp4GxРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
