Диссертация (1149360), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Известно,что в случае симметричной области интегрирования интегралы видыZ√x√dx=x2 + a2 обращаются в ноль [58]. Очевидно, что для инa2 + x2тегралов F1 (ξ, η) , G1 (ξ, η) и L(ξ, η) в данном случае область симметрична:42ZbF1 (ξ, η) =−bZaG1 (ξ, η) =ahZ2 (η)dη−ah2 (η)bhZ1 (ξ)dξ−aZbL(ξ, η) =−bZbF2 (ξ, η) =dη−b=−Zb−b−ah2 (η)q2ηln2G2 (ξ, η) =ηdηηdη = 0,+ η2ξ2√−ah2 (η)(2.33)ξdξ = 0,ξ 2 + η2vuut=−−a21−Zb η 2ξ2a2 h22 (η) + η 2 + ah2 (η)q√ 2dξ = −lndη =,2 h2 (η) + η 2 − ah (η)2ξ + η2a22−bq2η2Zaξln2, h2 =2a2 h22 (η) + η 2 + ah2 (η)dξ−aZaahZ2 (η)1−ξ2√−bh1 (ξ)ahZ2 (η)ξdξ = 0,ξ 2 + η2η2.ab2Интегралы же F2 (ξ, η) , G2 (ξ, η) в ноль не обращаются. Интегралы видаx2√dx так же могу быть найдены аналитически [58]:x2 + a2√Z√x2x x 2 + a2 a2(2.34)√dx=x2 + a2 |.−ln|x+2222x +aгде обозначено h1 =Zvuut√qbhZ1 (ξ)−bh1 (ξ)dηZa ξ 2η2b2 h21 (ξ) + ξ 2 + bh1 (ξ)√ 2dη = −ln q 2dξ =,2 h (ξ) + ξ 2 − bh (ξ)2ξ + η2b11−aq2b2 h21 (ξ) + ξ 2 + bh1 (ξ)ξ2dξ(2.35)Таким образом, система (2.32) примет вид:mv̇C = 0,mvC ϑ̇ = 0,I ω̇ = C0 F2 (ξ, η) + C2 G2 (ξ, η),Очевидно, что движение будет оставаться чисто вращательным.(2.36)432.4.3.
Случай ω 6= 0,v 6= 0 . Фазовые траектории системы.Система (1.12) решалась численно в пакете Matlab. При этом силы вычислялись первоначально непосредственным интегрированием и решаласьсистема (2.8), затем было построено решение системы (1.12), где силы вычислялись методом Лурье (2.24), (2.25). На рисунке 2.3 показано влияниеразных способов вычисления сил трения на численное решение динамической задачи для эллипса e = 0.86 и µ = 0.06 с начальными условиямиϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4, v0 = 1, ω0 = 1 . Видно, что оба метода дают оченьблизкий результат, однако, метод Лурье ведёт себя гораздо стабильнее непосредственно перед остановкой.
Выброс по величине β при непосредственноминтегрировании связан с накоплением ошибки при вычислении интегралов,поскольку в системах (1.12) или (2.8) возникает неопределённость. Поэтомув дальнейшем метод непосредственного интегрирования применялся толькодля верификации и быстрой оценки поведения системы, т.к. этим способомрасчёт происходит быстрее.
Тем не менее, решение при линейном распределении давления удалось получить только методом непосредственного интегрирования, поэтому на рисунках 2.9a) и 2.9b) видны выбросы значений вдинамической задаче при приближении к остановке.На рисунке 2.4 представлено решение системы (1.12) для некоторыхππзначений µ и начальных условий: t = 0 , vC = 1 , ϑ = , ω = 1 , ϕ = . 2.4a)43и c) соответствуют круговой площадке контакта, 2.4b) и d) – эллиптическойс эксцентриситетом e = 0.866 .
Сплошной линией показан случай, когда силатрения изотропна.Видно, что для диска угол ϑ остаётся неизменным, а в анизотропныхслучаях ϑ обращается в ноль. Эти результаты согласуются с данными статьи[13], однако, там использовался другой способ для вычисления сил трения.Отметим, что движение диска по шероховатой горизонтальной плоскости характеризуется тем, что скорость центра масс и угловая скорость обращаются в ноль одновременно, что показано, например, в случае равномерногораспределения давления для изотропного трения в [18, 24], а для анизотропного в [12, 13].
Этот вывод подтверждён экспериментально в работе [43], однако, указано, что соотношение между коэффициентом трения и моментоминерции диска может иметь решающее значение и приводить к чистому вращению или чистому скольжению.44β(t)β(t), zoom10.60.550.50.521000.120.450.20.310.40.275 0.276 0.277 0.278 0.279ϑ(t)ϑ(t), zoom10.1200.5−0.10−0.21−0.3−0.500.10.20.30.275 0.276 0.277 0.278 0.279Рис. 2.3. Сравнение методов вычисления сил трения для эллипса e = 0.866 :(1) – метод непосредственного интегрирования, (2) – метод Лурье.Зависимость соотношения между v и ω непосредственно перед моментом остановки от величины µ = fy − fx (fy ≥ fx ) при fx = 0, 42 представлены в таблице 2.1.
Как и в работах [12, 43, 42, 16] значение величины β визотропном случае оказалось 0.653. Это значение хорошо видно и в решениидинамической задачи на рисунке 2.4a). Совпадение решения с результатамидругих авторов позволяет сделать вывод о верности предложенного подхода.Таблица 2.1. Зависимость величины β непосредственно перед остановкой отµ при скольжении диска по плоскости с ортотропным трением ( fx = 0.42 ).µ0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18β0.653 0.697 0.739 0.779 0.816 0.859 0.89045β(t), circleβ(t), ellipse11330.9220.80.80.60.70110.2a)0.40.400.2b)ϑ(t)0.4ϑ(t)0.810.60.5110.40.200c)0230.20.4−0.503d)20.20.4Рис.
2.4. Влияние анизотропии сил трения на эволюцию параметров β и ϑдля диска и эллипса ( e = 0.866 ): 1) µ = 0 , 2) µ = 0.09 , 3) µ = 0.18 .v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4В случае эллиптической площадки контакта остановка скольжения ивращения также происходит одновременно, однако характерные значение параметра β , расстояния до мгновенного центра скоростей, заметно ниже. Видно, что при движении эллиптической пластины даже в случае изотропноготрения угол ϑ меняется: вектор скорости поворачивается в сторону противоположную угловой скорости пластины.
Данный результат согласуется сисследованием Г.М. Розенблата [38], в котором изучалось движение узкойпрямоугольной пластины по плоскости.В таблице 2.2 представлены характерные значения величины β приπфинальном значении угла ϕ = . Параметры β∗ , θ∗ непосредственно перед246остановкой существенно зависят от ориентации эллипса непосредственно перед окончанием скольжения. В свою очередь, угол ϕ зависит от начальныхусловий: t = 0 , ϕ = ϕ0 , ω = ω0 , v = v0 , т.е. ϕ∗ = ϕ∗ (v0 , ω0 , ϕ0 , fx , fy , p) .Таблица 2.2.
Зависимость величины β непосредственно перед остановкой отµ при скольжении эллиптической пластинки ( e = 0.866 ) по плоскости сортотропным трением ( fx = 0.42 ).µ0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18ϕ∗ = π/20.577 0.593 0.608 0.623 0.637 0.650 0.664На рисунке 2.5 показана эволюция нормальной компоненты силы трения, а также уравнения β − Φ(β, ϑ) = 0 для диска и эллиптической площадки и некоторых значений µ при начальных условиях v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 =π/3, ϑ0 = π/4 .
Звёздочкой отмечена характерная для анизотропного трения ситуация, когда уравнение (1.17) имеет два корня, при этом уравнение(1.14) имеет только один. Для эллипса такая ситуация имеет место и приизотропном трении. Во всех случаях, как для круговой площадки, так и дляпластины, имеющей форму эллипса, к моменту остановки нормальная составляющая силы трения стремится к нулю. При этом движение тонкого дискапри изотропном трении характеризуется тем, что Tn = 0 при t ∈ [0, t∗ ),что согласуется с [24]. Непосредственное решение системы уравнений (1.12)подтверждает справедливость пределов (1.14) и (1.17).Кроме того из рисунка 2.5 легко видеть влияние «эллиптичности» наповедение кривых: у нормальной компоненты силы трения появляется минимум, а кривая β − Φ получает прогиб в противоположную в сравнениис диском сторону.
Из этого можно сделать вывод о том, что эллиптическаяплощадка будет иметь несколько иную траекторию движения, соответственно, можно предположить, что в контактной задаче с эллиптическим пятномбудет иметь место износ с другими характеристиками.Траектории эллиптической и круговой площадки представлены на рисунке 2.6.
Видно, что траектория эллипса отклоняется от прямой даже визотропном случае. Увеличение анизотропии также изменяет траекторию исущественно сокращает время скольжения.На рисунках 2.7a), 2.7b) показаны фазовые траектории эллипса в случаеизотропного трения и трения с коэффициентом µ = 0.18 . На рисунках 2.7d),47Tn(t), circleTn(t), ellipse00−0.5−112−1−21−1.5−302a)0.20.4−200.2b)(β − Φ)(t)(β − Φ)(t)0.102*20−0.1−0.2−0.21−0.41−0.3−0.600.4c)0.20.4−0.40d)0.20.4Рис. 2.5. Поведение нормальной компоненты силы трения Tn (t) и (β − Φ)(t)для диска и эллипса ( e = 0.866 ): 1) µ = 0 , 2) µ = 0.18 . v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 =π/3, ϑ0 = π/42.7c) при тех же µ показаны штриховой линией также фазовые траекториикруговой площадки.В предположение линейного распределения давления система (2.11), которая была получена для центра эллипса при ξ0 = 0.1 , η0 = 0.1 (см.
уравнение (2.10)), решалась при начальных условиях t = 0 , v = 1 , ϑ = π4 ,ω = 1 . Отметим, что случай диска со смещённым центром при анизотропномтрении был изучен в работе [61], а с линейным распределением давления иизотропным трением в работе [64].Результаты численного анализа показаны на рисунке 2.8: a), c) – соответствуют линейному распределению давления, b), d) – равномерное рас-48y(x), zoomy(x)10.110.10.080.05200a)0.050.120.060.060.08b)0.1φ(t), zoomφ(t)11.21.21.12100.1c)0.20.31.150.150.20.250.3d)Рис. 2.6.
Траектории движения и поведение угла ϕ эллипса e = 0.866(сплошной линий) и диска (штриховая линия): (1) при изотропном трениии (2) анизотропном с µ = 0.18пределение давления (приведены для сравнения). Начальные условия: v0 =1, ω0 = 1, ϕ = π/3, ϑ = π/4 . Видно, что при неравномерном распределении давления даже в случае изотропного трения кривая β(t) отклоняетсяот прямой, соответствующей скольжению диска при равномерном давлениии изотропном трении. Кроме того, поведение кривых β и ϑ существенно отличается от случая эллиптической площадки при равномерном давлении. Вданном примере, хорошо видно, что эффект давления достаточно сильно меняет поведение системы и может оказываться гораздо сильнее, чем эффектанизотропии.
Вместе же эти два явления существенно меняют поведение эллиптической пластины в сравнении с равномерным изотропным случаем. В49µ = 0.18221.51.5ω(t)ω(t)µ=010.5000.5a)1v(t)00211v(t)21ω(t)ω(t)b)2120.5001c)0.5v(t)110.500d)0.5v(t)1Рис. 2.7. Фазовые траектории эллипса e = 0.866 для случаев µ = 0 и µ =0.18 : 1) диск (штриховая линия), 2) эллипсработах [64, 56] так же показано существенное влияние линейного распределения давления, однако, трение принималось изотропным, и кроме тогосравнивать с этими работами достаточно трудно, так как авторы не делалидопущения о безотрывности скольжения.Эволюция нормальной компоненты силы трения и уравнения β −Φ = 0при линейном распределении давления представлена на рисунке 2.9.
Начальные условия: v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4, p1 = 0.4, p2 = 0.79 . Анализнормальной компоненты силы трения показывает, что и в этом случае скольжение и вращение заканчиваются одновременно, а Tn стремится к нулю.Однако, видно, что кривая β − Φ имеет больше 2х корней. Тем не менее,условия (1.14) и (1.17) как и в случае равномерного давления выполняются50β(t), linear pβ(t), uni p113320.80.8210.60.400.61a)0.20.40.400.2b)ϑ(t)0.4ϑ(t)11120.50.51003−0.5030.2c)0.4−0.5020.20.4d)Рис. 2.8. Эволюция параметров β и ϑ для эллипса e = 0.866 при линейноми равномерном распределении давления: 1) µ = 0 , 2) µ = 0.12 , 3) µ = 0.24 .в единственном случае.Отметим, что в случае осевой симметрии распределения давления иизотропного трения в работе [52] И.И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
