Диссертация (1149360), страница 10
Текст из файла (страница 10)
с помощьюуравнения (2.26).Напомним, что выражение (3.44) должно быть использовано в случае,когда мгновенный центр скоростей лежит внутри области, ограниченной контуром пластины, а (3.45) в случае, когда мгновенный центр скоростей находится за пределами этой области.Углы γ1 , γ2 могут быть найдены с помощью уравнения (2.23), а границы интегрирования по r останутся прежними, т.е. для уравнения (3.44)78имеем (2.20) и, соответственно, (2.21) для уравнения (3.45).В параграфе 1.2 приведена система уравнений (1.10), описывающихдвижение пластины, которую мы перепишем в виде:v̇C = Tx∗ cos ϑ + Ty∗ sin ϑ,vC ϑ̇ = −Tx∗ sin ϑ + Ty∗ cos ϑ,(3.46)ω̇ =1 ∗M ,I∗ C3.3.
Результаты и их анализ3.3.1. Случай ω 6= 0,v 6= 0Система (3.46) решалась в пакете Matlab с различными начальнымиусловиями для круговой и эллиптической площадок контакта. Эта задача вусловиях асимметричного трения решается впервые.На рисунке 3.22 показана эволюция параметров β, ϑ при движениипластины по поверхности с асимметричным трением. Рисунки 3.22a), c) соответствуют пластины с круглым основанием, 3.22b), d) – кривые эллиптической пластины e = 0.6 .
Начальные условия во всех случаях одинаковы:v = 1, ω = 1,ππϑ= , ϕ= .43(3.47)Видно, что в случае эллиптической площадки контакта предельное положение мгновенного центра скоростей, определяемое параметром β значительно ниже. Кроме того, видно, что при малых значениях µ+ в концепроисходит резкое изменение в соотношении угловой и линейной скоростей,однако, тем не менее остановка скольжения и вращения происходит одновременно.
Некоторые предельные значения β, ϑ представлены в таблице 3.1.Интересно отметить, что вектор скорости ориентируется в третий квадрант,что можно проследить по изменению значений ϑ , причём это характерно идля круговой и для эллиптической площадки. При этом можно отметить, чтодля эллиптической площадки характерен больший разворот вектора скорости. Кроме того, в таблице 3.1 указаны области, в которых располагается79β(t), circleβ(t), ellipse (e=0.6)312120.50030.5a)10.20.10.300b)0.1ϑ(t)100−1−11212−233−30c)0.10.3ϑ(t)1−210.20.20.3−30d)0.10.20.3Рис.
3.22. Влияние анизотропии сил трения на эволюцию параметров β и ϑдля диска и эллипса ( e = 0.6 ): 1) µ+ = 0.03 , 2) µ+ = 0.09 , 3) µ+ = 0.18 .v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4мгновенный центр скоростей в момент остановки. Для обоих форм площадокэти области одинаковы.На рисунке 3.23 показана эволюция нормальной компоненты силы трения для тех же начальных условий (3.47) Tn (t) и уравнения (β −Φ)(t) (уравнения (1.14), (1.17)). Рисунки 3.23a), c) соответствуют площадке с круговым,3.23b), d) – с эллиптическим основанием e = 0.6 при тех же начальных условиях (3.47).Видно, что во всех случаях нормальная компонента силы трения стремится к нулю. Уравнение (1.17) ( β − Φ ) во всех представленных случаяхимеет 2 корня.
Однако, условия (1.14) и (1.17) выполняются единственным80Таблица 3.1. Параметры β∗ , ϑ∗ для круговой и эллиптической площадки( e = 0.6 ). ( ϑ0 = π4 , ϕ0 = π3 , v0 = 1, ω0 = 1 )CircleEllipseµ+β∗ϑ∗Areaβ∗ϑ∗Area0.030.887-2.46130.81-2.71130.060.908-2.57130.83-2.77130.090.937-2.65130.86-2.82130.120.976-2.71130.89-2.86130.151.042-2.78120.91-2.88120.181.197-2.86190.99-2.9319образом, что подтверждает выводы сделанные в параграфе 1.3.Заметим, что для небольших значений µ+ кривая β − Φ в случае эллиптической площадки контакта имеет многочисленные перегибы, а в концедвижения резкий пик между 2мя корнями.
Кривая Tn (t) так же показываетне плавное изменение в финальной стадии движения. Это поведение отражается и на кривой β(t) на рисунке 3.22, где также видно резкое изменение всоотношении между скоростями.На рисунке 3.24 представлены траектории движения эллиптической икруговой площадки при значениях параметра µ+ = 0.03, µ+ = 0.18 . Видно, что траектории как круговой, так и эллиптической площадки контактаотклоняются от прямой линии, причём, чем для большего значения µ характерно большее отклонение.
Очевидно, что это происходит из-за асимметриитрения на поверхности. В случае эллиптической площадки эффект усиливается из-за кривизны эллипса.На рисунке 3.25 представлены фазовые траектории движения для наππчальных условий ϑ = , ϕ = , красной штриховой линией показаны43траектории эллипса e = 0.6 , сплошной линией показан случай диска. Рисунки 3.25a), b) соответствуют значению µ = 0.12 , 3.25c), d) – µ = 0.03 . Видно,что фазовые траектории диска и эллипса в конце движения существенно отличаются, хотя всё ещё показывают похожее поведение, но кривизна фазовойтраектории пластины с эллиптическим основанием во всех случаях выше, чему диска с круговым основанием.81Tn(t), ellipseTn(t), circle0021−1−132−2−2−303a)0.110.20.3−30b)30.220.20.3(β−Φ)(t)(β−Φ)(t)0.40.110.2200−0.2−0.2−0.4−0.413−0.60c)0.10.20.30d)0.10.20.3Рис.
3.23. Поведение нормальной компоненты силы трения Tn (t) и (β −Φ)(t)для диска и эллипса ( e = 0.6 ): 1) µ+ = 0.03 , 2) µ+ = 0.09 , 3) µ+ = 0.18 .v0 = 1, ω0 = 1, ϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4Рисунок 3.26 показывает изменение параметров β, ϑ в зависимостиот начального соотношения скоростей, которое соответствует фазовым траекториям рисунка 3.25. Интересно поведение угла ϑ : в случае, когда начальнаяугловая скорость значительно больше линейной появляется дополнительныйперегиб, но тем не менее в конце движения вектор скорости ориентирован втретий квадрант.3.3.2. Сравнение симметричного и асимметричного тренияНа рисунке 3.27 показано сравнение основных параметров движениядля симметричного и асимметричного трения в случае круговой и эллипти-82y(x), zoomy(x)0.10.110.090.080.050.07000.05a)0.120.06b)0.080.090.10.11φ(t), zoomφ(t)1.2511.221.21.151.21.11.050c)0.10.20.31.180.22d)0.250.3Рис. 3.24.
Траектории движения и поведение угла ϕ эллипса e = 0.6 (штриховая линия) и диска (сплошная линия): (1) µ+ = 0.03 (2) µ+ = 0.18ческой площадок. Рисунки 3.27a), c) соответствуют симметричному случаю,а 3.27b), d) – асимметричному. Видно, что во всех случаях чем более сильнаяанизотропия на поверхности, тем быстрее происходит остановка. Заметим,что во всех случаях скольжение при асимметричном трении длительнее, аизменение параметра β в заключительной части движения более резкое. Этопроисходит, поскольку направления «назад» или «вниз» являются направлениями с меньшими коэффициентом трения, чем исходный симметричный случай, соответственно, движение в этом направлении оказывается проще, чтопозволяет, как скользить дольше, так и разворачиваться на больший угол.83ω(v), zoomω(v), µ=0.1210.40.30.50.20.100 a)0.20.400 b) 0.02ω(v), µ = 0.0310.040.06ω(v), zoom0.40.30.50.20.100 c)0.20.400d)0.020.040.06Рис.
3.25. Фазовый портрет системы 3.46 для эллипса e = 0.6 (штриховаялиния) и диска (сплошная линия)Выводы главы 3В главе изучено предельное поведение тонкой пластины с круговым иэллиптическим основанием в случае асимметричного ортотропного тренияпри равномерном распределении давления. Получены выражения для сил имомента трения в указанной постановке. Показано, что поскольку коэффициенты трения зависят от направления и знака компонент скорости, необходимо область интегрирования разбивать на подобласти, в которых коэффициенты трения остаются постоянными, тем не менее, в каждой локальнойобласти можно определить силу и момент трения, воспользовавшись методомА.И.
Лурье, использованным ранее для симметричного случая.84β(t), µ = 0.12β(t), µ = 0.03110.50.500a)0.10.20.300b)0.1ϑ(t)100−1−1−2−2c)0.10.20.3ϑ(t)1−300.20.3−30d)0.10.20.3Рис. 3.26. Эволюция параметров β, ϑ для эллипса e = 0.6 (штриховаялиния) и диска (сплошная линия), соответствующая фазовому портрету рисунка 3.25Численно решена система уравнений движения пластины для различного набора начальных условий. Показано, что остановка скольжения и вращения происходит одновременно как для диска, так и для эллипса при всехпредставленных начальных условиях, при этом одновеременно выполненыусловия, налагаемые на нормальную компоненту силы трения Tn и уравнение β − Φ , показанные в параграфе 1.3: во всех случаях нормальная компонента силы трения обращается в ноль в конце движения, так же как иуравнение β − Φ .Построены траектории движения для некоторых случаев соотношениякоэффициентов трения.
Показано, что в даже в случае круговой площадки85β(t), symmetric21β(t), asymmetric20.9110.80.50.70.60a)0.10.20.3001b)0.10.2ϑ(t)ϑ(t)10.80.600.41−10.2120c)0.12−2−0.200.30.20.3−30d)0.10.20.3Рис. 3.27. Сравнение поведения параметров β(t), ϑ(t) для эллипса e = 0.6(штриховая линия) и диска (сплошная линия): (1) µ = 0.03, µ+ = 0.03 (2)µ = 0.18, µ+ = 0.18контакта отклонение от прямой, характерной для изотропного случая, существенно.Проведено сравнение основных параметров, характеризующих движение, при симметричном и асимметричном ортотропном трении. Показано существенное влияние асимметрии на развитие движение, а также на предельные значения параметров.Показано также, что эксцентриситет площадки контакта также заметновлияет на предельное поведение пластины.86ЗАКЛЮЧЕНИЕВ диссертации разработана теоретическая модель, описывающая предельное поведение тонкой пластины с эллиптическим основанием, скользящей по горизонтальной поверхности с анизотропным трением.Модель включает систему уравнений движения, а также в предположении справедливости закона Кулона в дифференциальной форме для элементарной площадки внутри пятна контакта, получены выражения для вычисления силы и момента трения в случае анизотропного трения и равномерного,а также линейного распределения давления.Представлены результаты расчетов для широкого набора начальныхусловий.На основе предложенной модели решены задачи:1) о предельном поведении эллиптической пластины при симметричномортотропном трении и равномерном и линейном распределении давления,2) о финальном движении пластин, опирающейся на эллиптическое основание при асимметричном ортотропном трении и равномерном распределении давления.При рассмотрении симметричного ортотропного трения показано влияние на основные характеристики движения следующих эффектов:• соотношения между коэффициентами трения;• начальной ориентации эллипса;• эксцентриситета;• равномерного и линейного распределения давления;построен фазовый портрет системы, а также траектории движения.
Проведено сравнение с изотропным трением в случае круговой площадки контакта.При рассмотрении асимметричного ортотропного трения показано влияние на основные характеристики движения следующих эффектов:• соотношения между коэффициентами трения;87• формы области контакта;построен фазовый портрет системы, а также траектории движения. Проведено сравнение результатов для эллиптической площадки с круговой площадкой контакта.Кроме того проведено сравнение поведения пластины при симметричном и асимметричном случае. Показаны основные отличия в эволюции основных характеристик движения.Результаты показали важность учета анизотропии на поверхности вконтактных задачах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
