Диссертация (1149360), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Вычисление сил трения. Непосредственное интегрирование.Перепишем правую часть уравнений движения (1.12) в виде удобномдля интегрирования:h(ξ)ZZ1Tτ = −−h(ξ) −1h(ξ)ZZ1Tn = −−h(ξ) −1MCζ = −p(ξ, η) (A0 + A1 η)√ 2dξdη,η + D1 η + D0p(ξ, η) (B0 + B1 η)√ 2dξdη,η + D1 η + D0h(ξ)ZZ1−h(ξ) −1(2.3)p(ξ, η) (C0 + C1 η + C2 η 2 )√ 2dξdη.η + D1 η + D0Здесь верхняя граница определена следующим образом:qh(ξ) = 1 − ξ 2а коэффициенты могут быть найдены из соотношений:(2.4)31A0 = β(fx + µ sin2 ϑ) + ξ (f cos(ϑ − ϕ) + µ sin ϑ cos ϕ) + ξfx sin(ϑ − ϕ),A1 = f sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ),B0 = β(µ sin ϑ cos ϑ − f ) + ξ(−f sin(ϑ − ϕ) + µ cos ϑ cos ϕ + fx cos(ϑ − ϕ)),B1 = f cos(ϑ − ϕ) − µ cos ϑ sin ϕ + fx sin(ϑ − ϕ),C0 = ξβ(−f cos(ϑ − ϕ) + µ sin ϑ cos ϕ + fx sin(ϑ − ϕ)) + ξ 2 (fx + µ cos2 ϕ)),C1 = β(−f sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ)) − 2ξµ cos ϕ sin ϕ,C2 = fx + µ sin2 ϕ,D0 = β 2 + ξ 2 + 2βξ sin(ϑ − ϕ),D1 = −2β cos(ϑ − ϕ).(2.5)В предположении ортотропности трения коэффициенты (2.5) примутвид:A0 = β(fx + µ sin2 ϑ) + ξµ sin ϑ cos ϕ + ξfx sin(ϑ − ϕ),A1 = −µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ),B0 = βµ sin ϑ cos ϑ + ξ(µ cos ϑ cos ϕ + fx cos(ϑ − ϕ)),B1 = −µ cos ϑ sin ϕ + fx sin(ϑ − ϕ),C0 = ξβ(µ sin ϑ cos ϕ + fx sin(ϑ − ϕ)) + ξ 2 (fx + µ cos2 ϕ)),C1 = β(−µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ)) − 2ξµ cos ϕ sin ϕ,C2 = fx + µ sin2 ϕ,D0 = β 2 + ξ 2 + 2βξ sin(ϑ − ϕ),D1 = −2β cos(ϑ − ϕ).(2.6)322.2.1.

Равномерное распределение давленияПусть давление в системе (1.12) остаётся постоянным в процессе скольжения, случай, когда исходное размерное давление имеет вид:mgP.p(ξ, η) = =SπabПроинтегрируем уравнения (2.3) по переменной η (см. [58]).Напомним:Z dx√1√ = √ ln 2 cR + 2cx + b, [c > 0],R√cZ xdxb Z dxR√ =√ ,−c2cRR!3b √a  Z dxx2 dx3b2x√ =√ ,−−R+2c 4c28c2 2cRRZ5bx5b22a  √5b33ab  Z dxx3 dx  x2√ =√ ,R+−+−−3c 12c2 8c3 3c216c3 4c2RRZ(2.7)здесьR = a + bx + cx2 .Тогда уравнения (2.3) примут вид:Z1 "Tτ = −−1Z1 "Tn = −−1MCζ = −−−1!#1D1B0 − B1I1 + B1 I2 dξ2κZ1C−1Z1D11A0 − A1I1 + A1 I2 dξ2κ!#D13D12 D0  I1 dξ−+ C2−0 − C1282(2.8)3D1 1C2 h(ξ) C1 − C2I2 +I3 dξ,4 κ2!где q2 D0 + D1 κh(ξ) + κ2 h(ξ)2 + 2κ2 h(ξ) + D1 κ 1I1 = ln  q,κ2 D0 − D1 κh(ξ) + κ2 h(ξ)2 − 2κ2 h(ξ) + D1 κqqI2 = D0 + D1 κh(ξ) + κ2 h(ξ)2 − D0 − D1 κh(ξ) + κ2 h(ξ)2 ,qI3 = D0 + D1 κh(ξ) +κ2 h(ξ)2q+ D0 − D1 κh(ξ) + κ2 h(ξ)2 ,(2.9)33√и h(ξ) = 1 − ξ 2 , коэффициенты Ai , Bi , Ci , Di остаются такими же как и в(2.6).

Система (2.8) далее интегрировалась численно.2.2.2. Линейное распределение давленияПусть давление линейно распределено по поверхности контакта и задано в размерном виде [67]:p(ξ, η) = p0 + p1 ξ + p2 η,(2.10)PP ξcP ηcгде p0 =(как и в предыдущем случае) и p1 =, p2 =, а моментыSIηηIξξma2 (1 − e2 )ma2инерции Iξξ =и Iηη =и ξc , ηc – координаты центра масс44тела. В работе [67] показано, что для тонкой пластины в предположении безотрывности скольжения можно использовать заданный закон давления, где вслучае линейного распределения коэффициенты p1 , p2 не эволюционируютв процессе контакта.Тогда правая часть системы (1.12) может быть переписана в виде:Z1Tτ = −h(ξ)Z−1 −h(ξ)Tn = −Z1h(ξ)Z−1 −h(ξ)MCζ = −Z1A01 + A11 η + A21 η 2√ 2dξdη,η + D1 η + D0B01 + B11 η + B21 η 2√ 2dξdη,η + D1 η + D0h(ξ)Z−1 −h(ξ)(2.11)C01 + C11 η + C21 η 2 + C31 η 3√ 2dξdη,η + D1 η + D0в которой коэффициенты имеют вид:A01 = p0 A0 + ξp1 A0 ,A11 = p0 A1 + ξp1 A1 + p2 A0 ,A21 = p2 A1 ,B01 = p0 B0 + ξp1 B0 ,B11 = p0 B1 + ξp1 B1 + p2 B0 ,B21 = p2 B1 ,C01 = p0 C0 + ξp1 C0 ,C11 = p0 C1 + ξp1 C1 + p2 C0 ,C21 = p0 C2 + ξp1 C2 + p2 C1 ,C31 = p2 C2 ,(2.12)34и h(ξ) имеют вид (2.4), Ai , Bi , Ci , Di – такие же как и в случае равномерногодавления (2.6), а p0 , p1 , p2 – безразмерные параметры давления.После интегрирования по η , с учётом (2.7) получаем систему уравнений(см.

[58]):Tτ =Z1− A∗01−1Z1− (A∗11−1Tn =MCζ =Z1 h(ξ)−12−2D0  ∗ D1∗  3D1− B11+ B21−I1 dξ−282∗ 3D1 1B21) I24Z1∗− C01−1Z1∗− C11−1−A∗21 h(ξ) ∗ 3D1 1− A21) I2 +I3 dξ,4 κ2Z1∗− B01−1Z1∗− (B11−12D0  ∗ D1∗  3D1− A11+ A21−I1 dξ−282κ∗B21h(ξ) +I3 dξ,223D0 5D12  D0 ∗  3D1∗∗ D1+ C21−− C31 D1+I1 dξ−− C1128241622D0  1 ∗ 3D1∗  5D1− C21+ C31−I2 dξ−483κ∗C21−∗ 5D1C316!I3  dξ,(2.13)где индекс ∗ обозначает, что коэффициенты (2.12) безразмерные и Ii имеютвид (2.9). Систему (2.13) не удалось проинтегрировать по второй переменнойи она далее интегрировалась численно.2.3. Вычисление сил трения.

Метод А.И. Лурье.2.3.1. Равномерное распределение давления.Вычислим силы трения, воспользовавшись методом, изложеннымА.И. Лурье [31]. Введём полярную систему координат, начало которой лежитв мгновенном центре скоростей G , полярной осью является луч, исходящийиз мгновенного центра скоростей и проходящей через центр пластинки C ,35а γ – полярный угол. Будем различать два случая расположения мгновенного центра скоростей: снаружи и внутри области, ограниченной контуромпластины.При сделанных замечаниях вектор скорости можно записать в виде:v = v(cos(ϑ + γ)i + sin(ϑ + γ)j),(2.14)где v – величина скорости, i, j – орты соответствующих осей.Вектор элементарной силы трения имеет вид:τ = −p(fx cos(ϑ + γ)i + fy sin(ϑ + γ)j).(2.15)Силы и момент трения с учётом (2.15) в неподвижной системе координат описываются следующими соотношениями:Tx = −pfxTy = −pfyMG = −p2 (γ)Zγ2 rZγ1 r1 (γ)2 (γ)Zγ2 rZcos(ϑ + γ)rdrdγ,sin(ϑ + γ)rdrdγ,γ1 r1 (γ)2 (γ)Zγ2 rZ(fx +γ1 r1 (γ)MC = MG − CG · pµ µ− cos(2ϑ + 2γ))r2 drdγ,2 22 (γ)Zγ2 rZγ1 r1µµ( cos(γ) − cos(2ϑ + γ) + fx cos(γ))rdrdγ.22(γ)(2.16)Так как пластина имеет форму эллипса с полуосями a и b , где a –большая полуось эллипса, тоm = ρπab,κ=√1−e2 ,ρπκa4 (1 + κ2 )I=,4p=mgπabгде ρ – масса единицы площади пластины, e – эксцентриситет эллипса, p –величина равномерного давления, g – ускорение свободного падения.Определим границы интегрирования в (2.16).

Введём угол Ψ = π2 +ϑ−ϕ(см. рис. 2.2). В случае, если точка G находится внутри эллиптической площадки, расстояние r от точки G до границы области контакта B определяется из соотношения:36VCηGγ2γγ1T2r1ϑξAϕr2BΨCyT1Oxa)VCηϑξrAγGBϕΨCyOxb)Рис. 2.2. Система координат. Метод А.И. Лурье: а) мгновенный центр скоростей во внешней области, б) мгновенный центр скоростей внутри области.37(GB cos(π − (Ψ + γ)) − ξG )2 (GB sin(π − (Ψ + γ)) − ηG )2+= 1,a2b2(2.17)здесь координаты мгновенного центра скоростей в системе координат Cxy :vxG = − sin ϑ,vωyG = cos ϑ,ω(2.18)ξG = xG cos ϕ + yG sin ϕ,ηG = −xG sin ϕ + yG cos ϕ,.(2.19)и в системе CξηОткуда, получим:r = GB =λ1 + abD1,λ2(2.20)гдеλ1 = b2 ξG cos(Ψ + γ) + a2 ηG sin(Ψ + γ),λ2 = b2 cos2 (Ψ + γ) + a2 sin2 (Ψ + γ),q2 ) cos2 (Ψ + γ) + (a2 − ξ 2 ) sin2 (Ψ + γ) + ξ η sin(2(Ψ + γ)).D1 = (b2 − ηGG GGУгол γ в выражении (2.20) принимает значения от 0 до 2π (см.

[38]).Аналогично для точки G , лежащей снаружи области, ограниченнойконтуром, получим:λ1 − abD1,r1 = GA =λ2(2.21)λ1 + abD1r2 = GB =,λ2Найдём углы γ1 и γ2 для этого случая. Точки пересечения прямой GAи эллипса в системе координат Cξη определяются из системы:ηA2ξA2+= 1,a2b2ηA = ξA k + σ.Здесь параметры прямой GA :σ = ηG − ξG k,πk = tan( + ϑ − ϕ + γ).2Прямая будет касаться эллипса при условии:σ 2 = a2 k 2 + b 2 .(2.22)38Тогда получим уравнение для тангенса угла наклона касательной k :2(ξG2 − a2 )k 2 − 2ηG ξG k + ηG− b2 = 0.Откуда:q2 − a2 b 2ηG ξG ± ξG2 b2 + a2 ηG,k1,2 =ξG2 − a2(2.23)πγ1,2 = arctan(k1,2 ) − − ϑ + ϕ.2При условии, что область контакта – эллипс с полуосями a, b , выражения для перехода к безразмерному виду в системе (1.10) примут вид:4 ∗∗I = ρπκaI , ξ = aξ, η = aκη ∗ ,ssagg, ω = ω∗, β = aβ ∗ ,vC = vC∗πvs aπuaπdϑgut = t∗ t , ϑ̇ = ∗.gdt aπКомпоненты силы трения и момент в системе (1.12) в случае, когдамгновенный центр скоростей лежит внутри области, ограниченной контуромимеют вид:Z2π∗ 2∗) +Dκ(λ11∗Tx = −fx cos(ϑ + γ) dγ2λ∗220∗∗ 2Z2πκ(λ+D)11 Ty∗ = −fy sin(ϑ + γ) dγ∗22λ20MG∗Z2πµ µκ2 (λ∗1 + D1∗ )3 = − (fx + − cos(2ϑ + 2γ))dγ∗3223λ20MC∗ = MG∗ −Z2π0µκ (λ∗1 + D1∗ )2 µdγβ( cos(γ) − cos(2ϑ + γ) + fx cos(γ))222λ∗22(2.24)И в случае, когда мгновенный центр скоростей лежит снаружи области, ограниченной контуром:39Zγ22κD1∗ λ∗1= −fx cos(ϑ + γ)dγ,λ∗22γ1!Zγ22κD1∗ λ∗1∗dγ,Ty = −fy sin(ϑ + γ)λ∗22γ1Tx∗!Zγ2µ µκ2 (2D1∗3 + 6D1∗ λ∗21 )∗MG = − (fx + − cos(2ϑ + 2γ))dγ,2 23λ∗32γ1MC∗=MG∗−Zγ2γ1µµ2κD1∗ λ∗1β( cos(γ) − cos(2ϑ + γ) + fx cos(γ))dγ.22λ∗22!(2.25)В выражениях (2.24), (2.25)λ∗1 = κξG cos(Ψ + γ) + ηG sin(Ψ + γ),λ∗2 = κ2 cos2 (Ψ + γ) + sin2 (Ψ + γ),q2 ) cos2 (Ψ + γ) + (1 − ξ 2 ) sin2 (Ψ + γ) + κξ η sin(2(Ψ + γ)).D1∗ = κ2 (1 − ηGG GG(2.26)В итоге, система 1.12 примет вид:dvC= Tx∗ (γ, r) cos ϑ + Ty∗ (γ, r) sin ϑ,dtdϑ(2.27)vC= −Tx∗ (γ, r) sin ϑ + Ty∗ (γ, r) cos ϑ,dtdω= MC∗ (γ, r),dtздесь силы вычисляются с помощью выражений (2.24) и (2.25), при этомв какой именно области находится мгновенный центр скоростей в данныммомент можно определить, решив неравенство:2ξG2 κ2 + ηG< κ2 ,(2.28)где ξG , ηG – координаты мгновенного центра скоростей в системе Cξη , вычисляемые по формуле (2.19).402.4.

Результаты и их анализ2.4.1. Случай ω = 0,v 6= 0Рассмотрим случай, когда в уравнениях (1.10) в начальный момент времени есть только поступательная скорость. Тогда с учётом (1.8) и (1.9) плотность сил трения будет:τx = −p(ξ, η)(fx cos ϑ + f sin ϑ),τy = −p(ξ, η)(−f cos ϑ + fy sin ϑ).(2.29)Откуда уравнения движения в проекциях на оси естественного трехгранника при равномерном распределении давления будут:mv̇C = Tx cos ϑ + Ty sin ϑ = −pZZ ΩmvC ϑ̇ = −Tx sin ϑ + Ty cos ϑ = −pµ sin2 ϑ + fx dξdη,ZZ(µ sin ϑ cos ϑ − f ) dξdη,(2.30)ΩI ω̇ =ZZ(τy x0 − τx y 0 ) dξdη = −pΩZZ(ξK1 + ηK2 ) dξdη,ΩгдеK1 = µ sin ϑ cos ϕ + fx sin(ϑ − ϕ) − f cos(ϑ − ϕ),K2 = −µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ) − f cos(ϑ − ϕ).Легко видеть, что правая часть уравнения для угловой скорости в системе (2.30) обратится в ноль в случае круговой и эллиптической площадкиконтакта, поскольку имеет место симметричная граница.

Так что, в итоге,получим систему:mv̇C = −pS µ sin2 ϑ + fx ,mvC ϑ̇ = −pS (µ sin ϑ cos ϑ − f ) ,I ω̇ = 0.(2.31)Очевидно, что движение будет только поступательным.2.4.2. Случай ω 6= 0,v=0Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени в системе (1.10)присутствует только вращательная скорость, что означает β = 0 и из (1.8)41и (1.9) получим уравнения движения в проекциях на оси естественного трехгранника в виде:ξA0 + ηA1dξdη = −p [A0 F1 (ξ, η) + A1 G1 (ξ, η)] ,DΩZZ ξB + ηB01mvC ϑ̇ = −pdξdη = −p [B0 F1 (ξ, η) + B1 G1 (ξ, η)] ,DΩmv̇C = −pI ω̇ = −pZZΩZZξ 2 C0 + ξηC1 + η 2 C2dξdη = −p [C0 F2 (ξ, η) + C1 L(ξ, η) + C2 G2 (ξ, η)] ,D(2.32)гдеqD = ξ 2 + η2,A0 = µ cos ϕ sin ϑ + fx sin(ϑ − ϕ) + f cos(ϑ − ϕ),A1 = f sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ),B0 = µ cos ϕ cos ϑ + fx cos(ϑ − ϕ) − f sin(ϑ − ϕ),B1 = f cos(ϑ − ϕ) + fx sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϕ cos ϑ,C0 = fx + µ cos2 ϕ,F1 (ξ, η) =ZZΩF2 (ξ, η) =ZZΩ√C2 = fx + µ sin2 ϕ.ZZη√ 2G1 (ξ, η) =dξdη,2ξ+ηΩC1 = −2µ cos ϕ sin ϕ,ξdξdη,ξ 2 + η2ξ2√ 2dξdη,ξ + η2L(ξ, η) =ZZΩG2 (ξ, η) =ZZΩ√η2√ 2dξdη,ξ + η2ξηdξdη.ξ 2 + η2Найдём интегралы F1 (ξ, ) , G1 (ξ, η) , F2 (ξ, η) , G2 (ξ, η) , L(ξ, η) .

Характеристики

Список файлов диссертации