Диссертация (1149360), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Принимая, f = 0 будемговорить о симметричном ортотропном трении. Если же в добавок коэффициенты fx = fy , то имеет место изотропное трение.Случай, при котором коэффициенты матрицы трения имеют вид:fx+ ,fx− , vx < 0fx = vx ≥ 0fy+ ,fy− , vy < 0fy = vy ≥ 0,(1.6)будемназыватьасимметричным анизотропнымтрением.Если при этом принимается f=0 , то такое трение назовёмасимметричным ортотропным. A. Zmitrowicz в работе [47] использовалблизкие понятия центросимметричного и не-центросимметричного тренияи показал в статье [48] примеры зависимости коэффициентов трения отнаправления, что приводит к искривлению траектории материальной точки.Кривая, которую описывают векторы силы трения, приложенные к началу координат, называется годографом силы трения.

На рисунке 1.1 показаны типичные формы таких кривых при изотропном, а также симметричноми асимметричном ортотропном трении, как и в работе [47] будем считать, чтогодограф силы трения является замкнутой выпуклой кривой.Кроме того, будем считать, что изучаемая система состоит из тонкойпластины и шероховатой горизонтальной поверхности. При этом принято допущение, что не происходит отрыва тела от плоскости в процессе скольжения. Это важное замечание позволяет говорить о стационарном равномерноми линейном распределении давления [64, 67].21a)b)110.50.500−0.5−0.5−1−0.500.5−1−0.5c)10.50.500−0.5−0.500.5d)1−1−0.500.5−1−0.500.5Рис.

1.1. Годограф силы трения: а) изотропное трение, b) симметричное анизотропное трение, c) одноосевая асимметрия, d) двухосевая асимметрия221.2. Постановка задачиРассмотрим предельное движение по инерции тонкой пластины по горизонтальной плоскости, считая, что силы отличные от сил сухого анизотропного трения отсутствуют.Введём подвижную прямоугольную систему координат Cξηζ (рисунок 1.2), жёстко связанную с пластиной, полагая, что начало координат является центром масс пластины, а ось Cζ направлена перпендикулярно плоскости скольжения.

Неподвижную систему координат Oxyz выберем так, чтобыоси Ox и Oy принадлежали плоскости, по которой движется пластина (нарисунке центр O совпадает с C ), и матрица трения имела вид (1.4). Уголмежду осью Ox и осью Cξ обозначим через ϕ , а через ϑ – угол междувектором скорости центра масс пластины и осью Ox :vC = vC (cos ϑi + sin ϑj),(1.7)где vC - величина скорости, i, j – орты осей Ox, Oy . Вектор угловойскорости пластины имеет вид ω = ωk , где ω = ϕ̇ , k – орт оси Oz .⃗CVηyϑξϕCxРис. 1.2.

Система координатФормула Эйлера vM = vC + ω × CM позволяет записать проекциискорости точек контакта пластины с плоскостью на оси Ox и Oy через вве-23дённые выше величины:vx = vC cos ϑ − ωy 0 , vy = vC sin ϑ + ωx0 ,x0 = ξ cos ϕ − η sin ϕ, y 0 = ξ sin ϕ + η cos ϕ,qvM = vC2 + ω 2 (ξ 2 + η 2 ) − 2vC ω(η cos(ϑ − ϕ) − ξ sin(ϑ − ϕ)).(1.8)Закон анизотропного трения (1.1) и формулы (1.8) позволяют записатьпроекции главного вектора T и главного момента M сил трения относительно центра масс на оси неподвижной системы координат:Tx =ZZτx dξdη,Ty =ΩZZΩvx (ξ, η),τx = −fx p(ξ, η)vM (ξ, η)τy dξdη,MCζ =ZZ(τy x0 − τx y 0 )dξdη,Ωvy (ξ, η)τy = −fy p(ξ, η),vM (ξ, η)(1.9)через Ω обозначена область интегрирования.Уравнения движения тела в проекциях на оси естественного трехгранника запишутся следующим образом:mv̇C = Tτ = Tx cos ϑ + Ty sin ϑ,mvC ϑ̇ = Tn = −Tx sin ϑ + Ty cos ϑ,I ω̇ = MCζ ,(1.10)где m – масса пластины, I – её момент инерции относительно оси Cζ , ω– угловая скорость, Tτ и Tn – проекции главного вектора сил трения T натангенциальную и нормальную оси, MCζ – момент сил трения относительнооси Cζ , vC – скорость центра масс пластины.В системе уравнений (1.10) перейдём к безразмерным величинам с помощью соотношений:I = ma2 I ∗ ,s∗ gω=ω,a√ξ = aξv∗ , η = aη ∗ , vC = vC∗ ag,sudϑmgag∗ut = t t , ϑ̇ = ∗ , p = p∗gdt aS(1.11)vCи введём переменную β == aβ ∗ , здесь звездочкой обозначены безразмерωные переменные: I ∗ – безразмерный момент инерции, ξ ∗ , η ∗ – безразмерныекоординаты, t∗ – безразмерное время, vC∗ , ω ∗ – безразмерные линейная и угловая скорость, соответственно В этих формулах a – размерная величина,соответствующая длине максимального отрезка, проходящего через точку C24и ограниченного контуром области контакта, S – площадь области контактатела с плоскостью.Уравнения (1.10) в безразмерной форме записываются следующим образом (звёздочки далее опущены):ZZdvCβ(fx + µ sin2 ϑ) + fx s1 + µs3 + f s2 = − p(ξ, η)dξdη,dtsΩZZβ(µsinϑcosϑ−f)+fs+µs−fsdϑx241 dξdη,= − p(ξ, η) vCdtsΩ(1.12)ZZ p(ξ, η) β(f s + µs − f s ) + f (ξ 2 + η 2 ) + µs2dωx 132x0=−dξdη,dtIsΩздесь введены обозначения µ = fy − fx ,qs = β 2 + ξ 2 + η 2 + 2βs1 , s0 = ξ cos ϕ − η sin ϕ,s1 = ξ sin(ϑ − ϕ) − η cos(ϑ − ϕ), s2 = ξ cos(ϑ − ϕ) + η sin(ϑ − ϕ),s3 = ξ cos ϕ sin ϑ − η sin ϕ sin ϑ, s4 = ξ cos ϕ cos ϑ − η sin ϕ cos ϑ.Система (1.12) является общей системой, вид которой не зависит отусловий, накладываемых на компоненты матрицы трения.

Специфика формы пятна контакта может быть учтена при интегрировании по области Ω .Аналитическое решение этой системы возможно лишь для некоторых простых форм контакта. В общем же случае, решение можно получить толькочисленно.1.3. Анализ исходной системыПоделим первое уравнение системы (1.12) на третье и обозначим черезΦ(β, ϑ) отношение правых частей этих уравнений:dvC= Φ(β, ϑ),dωdϑvC= Tn (β, ϑ).dt(1.13)Так как сила трения имеет отрицательную мощность, то движение при ненулевых начальных условиях заканчивается остановкой, то есть25vC (t∗ ) = 0 .

Поэтому второе уравнение системы (1.13) позволяет записатьсоотношение:Tn (β, ϑ) −→ 0,(1.14)t→t∗ϑ→ϑ∗β→β∗где ϑ∗ и β∗ – предельные значения соответствующих величин, t∗ – моментвремени, соответствующий остановке пластины. Первое уравнение системы(1.13) может быть проинтегрированоω = ω0 exp −Zβ1β0dβ.β − Φ(β, ϑ)(1.15)Следует подчеркнуть, что значение функции Φ(β, ϑ) , кроме величин βи ϑ , зависит от формы области контакта тела с плоскостью, от закона распределения давления p(ξ, η) , компонентов тензора трения fx , fy и угла ϕ ,отвечающего за ориентацию тела на плоскости. Поэтому значение величиныβ1 , при котором интеграл, стоящий в соотношении (1.15) становится несобственным и стремится к −∞ , зависит от параметров механической системы:β1 −→ β∗ (ϑ∗ , ϕ∗ , Ω, fx , fy , p(ξ, η)).t→t∗ϑ→ϑ∗ϕ→ϕ∗(1.16)Суммируя сказанное, отметим, что к моменту t∗ должно выполнитьсяусловие (1.14) иβ − Φ(β, ϑ) −→ 0.(1.17)t→t∗ϑ→ϑ∗β→β∗Отметим, что для фиксированных β = β̃ уравнение Tn (β̃, ϑ) = 0 иуравнение β̃ − Φ(β̃, ϑ) = 0 могут иметь несколько решений.

Но сочетаниеусловий (1.14) и (1.17) выполняется для единственных ϑ∗ , β∗ (см. например, [12]), которые в свою очередь зависят от начальных условий.Важно отметить, что из системы (1.12), введя параметр δ = β −1 можнополучить:dω= Φ2 (δ, ϑ),dvC(1.18)dϑvC= Tn (δ, ϑ).dtИз системы (1.18) проистекает, что:Tn (δ, ϑ) −→ 0,t→t∗ϑ→ϑ∗δ→δ∗(1.19)26иvC = vC0 exp −Zδ1δ0dδ,Φ2 (δ, ϑ) − δ(1.20)и, следуя тем же рассуждениям, что и в случае системы (1.13) получим:Φ2 (δ, ϑ) − δ −→ 0.t→t∗ϑ→ϑ∗δ→δ∗(1.21)Во время поиска предельных значений параметров ϑ∗ , β∗ из уравнений (1.14) и (1.17) может оказаться, что решения отсутствуют. В такомслучае следует пользоваться уравнениями для обратной величины (1.19) и(1.21) и находить решение в области ϑ∗ , δ∗ .

Более того, поскольку движение пластины существенно зависит от соотноешения момента инерции икоэффициентов трения, что для случая круговой пластины строго доказанов работе [13], необходимо во время вычислений отслеживать состояние обеихобластей.Кроме того случаи движения, при которых в начальный момент vC =0 , ω 6= 0 или vC 6= 0 , ω = 0 должны рассматриваться отдельно от случаяvC 6= 0 , ω 6= 0 . Это связано с тем, что при ряде условий движение можетоставаться поступательным или чисто вращательным (см., например, [12]).Однако, при несимметричной области контакта или несимметричном распределении давления p(ξ, η) при поступательном или чисто вращательномдвижении возникают начальное угловое ускорение или начальное ускорениецентра масс соответственно.Отметим, что исследование равенства (1.15) при изотропном трениидля тонкого диска и тонкого кольца проводилось в работе [24], а для случаяанизотропного трения для этих тел в [12].Выводы главы 1В данной главе введены понятия симметричного и асимметричного ортотропного трения, которым посвящены дальнейшие главы диссертационногоисследования.

Приведена постановка задачи о предельном поведении тонкойэллиптической пластины в условиях анизотропии трения. Построена основная система уравнений движения. Выведены условия, при которых произойдёт остановка тела. В частности, показано, что нормальная компонента силы27трения должна стремиться к нулю. Сделаны важные замечания о построении численного решения. В частности, указано, что для поиска предельныхзначений параметров β и ϑ , которые являются важными характеристиками движения, необходимо решать совместно уравнения (1.14) и (1.17).

Крометого, необходимо исследовать наличие корней и в области (δ, ϑ) .28Глава 2ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙПЛАСТИНЫ. СИММЕТРИЧНОЕ ОРТОТРОПНОЕ ТРЕНИЕГлава посвящена решению задачи о предельном поведении тонкой эллиптической пластины на горизонтальной плоскости с симметричным ортотропным трением. Показаны два способа вычисления сил трения при равномерном распределении давления: непосредственным интегрированием и методом Лурье.

Непосредственным интегрированием также получены уравнениядля вычисления сил трения при линейной распределении давления. Проведено сравнение результатов численного моделирования двух методов. Сделанвывод о целесообразности использования в дальнейшем метода Лурье. Проведено численно исследование поведения эллиптической пластины при равномерном и линейном распределении давления. Результаты сравниваются сослучаем кругового контакта.

Также проанализировано изменение поведенияв зависимости от эксцентриситета эллипса. Показано влияние анизотропиитрения на поведение системы, построен фазовый портрет системы.2.1. Постановка задачи.Рассмотрим случай финального движения тонкой эллиптической пластины с полуосями a, b при симметричном ортотропном трении. При указанных в разделе 1.1 предположениях, а также с учётом геометрии областисистема (1.12) может быть существенно упрощена.На рисунке 2.1 показана система координат.

Пусть Cξηζ – связаннаяс телом система координат, Oxyz – фиксированная система координат, которая выбрана так, чтобы тензор имел вид (1.4). Масса тела m , I – моментинерции тела относительно оси, проходящей через точку C перпендикулярно поверхности пластины, τx , τy – компоненты распределённой силы трения,p(ξ, η) – давление в точке, x, y – координаты центра пластины в системеOxyz , ϕ – угол между Ox и Cξ .Коэффициенты перехода к безразмерному виду (1.11) претерпевают29y6η6bCV~ϑaξϕxOРис. 2.1. Система координатнекоторые изменения в связи с уточнением геометрии области:√mgρπκa4 (1 + κ2 ), p = p∗ 2κ= 1−I=4πa κ∗∗∗ξ = aξ , ξ ∈ [−1; 1], η = aκη1 , η ∈ [−1; 1],ssssgdϑ∗ g∗ ag∗∗ gv=v, ω=ω, t=t, ϑ̇ = ∗,πaππdt aπe2 ,(2.1)где e – эксцентриситет, а a – большая полуось эллипса.Уравнения движения примут вид (* далее опущены):ẋ = vC cos ϑ, ẏ =vC sin ϑ, ϕ̇ = ω,2ZZβ(f+µsinϑ)+fs+µsdvCxx 13= − p(ξ, η) dξdη,dtsΩZZdϑβ(µsinϑcosϑ)+fs+µsx24 dξdη,vC= − p(ξ, η) dtsΩdω4 ZZ[β(fx s1 + µs3 ) + fx (ξ 2 + η 2 ) + µs20 ]=−p(ξ, η)dξdη,dt1 + κ2 Ωs(2.2)30qs = β 2 + ξ 2 + η 2 + 2βs1 , s0 = ξ cos ϕ − η sin ϕ,s1 = ξ sin(ϑ − ϕ) − η cos(ϑ − ϕ), s2 = ξ cos(ϑ − ϕ) + η sin(ϑ − ϕ),s3 = ξ cos ϕ sin ϑ − η sin ϕ sin ϑ, s4 = ξ cos ϕ cos ϑ − η sin ϕ cos ϑ.2.2.

Характеристики

Список файлов диссертации