Диссертация (1149334), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда⎛⎞1√︀2 = ⎝ 0 + (0 )2 − 40 ⎠ .−2⎞⎟ ⎟ 2 = O,⎠55На интервале Δ ∈ − 1 , 1(︀)︀, = (0, 0), являющегося узлом, общеедля (︀)︀решение системы (3.43) имеет вид:⎧1 + 2 ,⎪()=⎪Δ12⎪⎪√︀⎪⎪0 − (0 )2 − 40 ⎨() = −1 1 −2⎪⎪√︀⎪⎪⎪(0 )2 − 40 +⎪0⎩−2 2 .2(3.50)Найдем коэффициенты 1 , 2 системы (3.50)для решения задачи Коши с на√2(0 ) +40 (− 1 )−0, что соответствуетчальными условиями Δ (0) = 1 , (0) =2( 1 ).В момент = 0 имеем⎧1⎪⎪= 1 + 2 ,⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪⎪⎨(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0=⎪⎪2⎪⎪⎪√︀√︀⎪⎪2 − 4 ⎪−()+(0 )2 − 40 ⎪0000⎩= −1− 2,22⎧1⎪⎪=− 1 ,2⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪⎪√︀⎨(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0 0 + (0 )2 − 40 +=⎪⎪22⎪⎪⎪√︀√︀⎪⎪2 − 4 ⎪−()+(0 )2 − 40 ⎪0000⎩= −1+ 1,22⎧1⎪⎪=− 1 ,⎪2⎪⎨√︁√︁√︂1⎪22 − 40()+4(−)⎪()000⎪40⎪⎩+= 1 (0 )2 −,2256⎧1⎪2 = − 1 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎛ √︁⎞⎪(0 )2 + 40 ( − 1 )⎪⎪⎜⎟⎪⎪√︁1 = ⎝+ 1⎠ : 2,⎪⎪⎩0(0 )2 − 4⎧⎛ √︁⎞⎪1⎪(0 )2 + 40 ( − )⎪⎜⎪⎟⎪√︁=+1⎪⎝⎠ : 2,1⎪⎪40⎨(0 )2 − ⎛⎞√︁⎪⎪(0 )2 + 40 ( − 1 ) ⎟⎪⎪⎜⎪√︁2 = ⎝1 −⎪⎠ : 2.⎪⎪402⎩(0 ) − (3.51)Наконец, найдем (0 ) при условии Δ (0 ) = 0.
Значение (0 ) соответствует(). Для этого выразим (0 ) с помощью 1 , 2 из (3.51). Тогда⎧⎪1 0 + 2 0 ,⎪0=21⎪⎪⎪⎪⎪√︀⎪⎨0 − (0 )2 − 40 0(0 ) = −1 1 −⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪+(0 )2 − 40 00⎪⎩−2 2 ,2⎧1(2 − 1 ) 0 ,⎪⎪−=⎪⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎨0 − (0 )2 − 40 0(0 ) = −1 1 −⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪+(0 )2 − 40 00⎪⎩−2 2 ,257⎧(︃ √︀)︃√︀2 − 4 + 2 − 4 − ⎪()()000000⎪⎪−−0⎪⎪⎪122⎪⎪− =,⎪⎪⎪2⎨√︀(0 )2 − 40 0−0⎪⎪()=− 1 −01⎪⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪(0 )2 − 40 0+0⎪⎩ 2 ,−22⎧(︁ √︀)︁2⎪− (0 ) − 40 0⎪1⎪⎪−=,⎪⎪⎪2⎪⎪√︀⎨0 − (0 )2 − 40 0 1 −(0 ) = −1⎪⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪+(0 )2 − 40 00⎪⎩−2 2 ,2)︂⎧ (︂(︁√︀)︁1⎪2⎪ln −=−(0 ) − 40 0 ,⎪⎪⎪2⎪⎪⎪√︀⎨0 − (0 )2 − 40 0 1 −(0 ) = −1⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪+(0 )2 − 40 0⎪0⎩−2 2 ,2(︂)︂⎧2⎪⎪ln −⎪⎪1⎪⎪√︀=,⎪0⎪2 − 4 ⎪()00⎪⎨√︀0 − (0 )2 − 40 0⎪()=− 1 −01⎪⎪2⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎪0 + (0 )2 − 40 0⎪⎩−2 2 ,2Преобразуем следующее выражение⎛(︂2⎝ln −11 0 = )︂1⎞⎠√︀(0 )2 − 40 =58⎛=⎞(︂)︂ √︀2 − 4 − ()0002⎜⎟√︀⎝ln −⎠212 (0 ) − 40 =⎞⎛0 (︂)︂ ⎞⎝ 1 − √︀⎠2222 (0 ) − 40 ln −⎜⎟1 ⎠== ⎝⎛⎞⎛0 1(︂)︂⎝ − √︀⎠22 2 (0 )2 − 40 = −.1Аналогично,(︂)︂⎞22⎠⎝ln −√︀21(0 ) − 40 =2 0 = ⎛ (︂⎞)︂ √︀2 − 4 + ()000 ⎟2⎜√︀−⎝ln −⎠12 (0 )2 − 40 ==⎛⎛⎛⎜⎜1⎜(︂)︂ ⎞−⎜⎜⎜22⎝ln −1 ⎟⎠⎜= ⎝⎛⎞+ √︂02 (0 )2 −⎟⎟⎟⎟⎟40 ⎟⎠=⎞10 (︂)︂⎝ − √︀− 1⎠22 2 (0 )2 − 40 = −.1Тогда√︀(0 )2 − 40 0(0 ) = −1 1 −2√︀0 + (0 )2 − 40 0− 2 2 =2⎛⎞10√︀(︂)︂⎝ − √︀⎠0 − (0 )2 − 40 22 2 (0 )2 − 40 = −1−−21⎞⎛10√︀(︂)︂⎝ − √︀− 1⎠0 + (0 )2 − 40 22 2 (0 )2 − 40 − 2−=210 −59⎛⎞10 (︂)︂⎝ − √︀⎠20 − (0 ) − 40 22 2 (0 )2 − 40 −+= −121⎛⎞10√︀(︂)︂⎝ − √︀⎠0 + (0 )2 − 40 22 2 (0 )2 − 40 + 1−.21√︀В результате для случая (0 )2 − 40 > 0, когда асимптотически устой) может быть найденочивое состояние равновесия , является узлом, ()︀(︀по следующей формулы:⎛⎞10 (︂)︂⎝ − √︀⎠√︀2222 (0 ) − 40 ,() = 1 (0 )2 − 40 −1(3.52)где⎛ √︁⎞⎛⎞√︁1122(0 ) + 40 ( − ) ⎟1⎟⎜ (0 ) + 40 ( − )⎜1√︁√︁1 = ⎝+ ⎠ , 2 = ⎝ −⎠.224040222 (0 ) − 2 (0 ) − Случай устойчивого фокуса.
Данный случай соответствует (0 )2 −40< 0. Собственные вектора 1 , 2 находятся аналогично разобранномувыше случаю устойчивого узла:⎛⎞1√︀⎠,0 − 40 − (0 )2−2⎛⎞1√︀2 = ⎝ 0 + 40 − (0 )2 ⎠ .−21 = ⎝Собственные вектора 1 , 2 могут быть записаны в виде1,2() = 1,2+ 1,2,60являются двумерными вещественными векторами:, 1,2где 1,2⎞11 = ⎝ 0 ⎠ ,−2⎛⎛2 = ⎝⎞10 ⎠ ,−2⎛⎞0√︀1 = ⎝ 40 − (0 )2 ⎠ ,2⎛⎞0√︀⎠.2 = ⎝40 − (0 )2−2Рассмотрим решение системы (3.43), соответствующее собственному значению1 :1 () = 1 1 = (Re 1 + Im 1 ) (1 + 1 ) == Re 1 (cos ( Im ) + sin ( Im )) ( + ) =1111 Re 1(1 cos ( Im 1 ) − 1 sin ( Im 1 )) ++ Re 1 ( sin ( Im ) + cos ( Im )) .1111Общее решение системы (3.43) принимает вид () = 1 Re 1 (1 cos ( Im 1 ) − 1 sin ( Im 1 )) ++ Re 1 ( sin ( Im ) + cos ( Im )) =21111= Re 1 1 (1 cos ( Im 1 ) + 2 sin ( Im 1 )) ++ Re 1 1 (2 cos ( Im 1 ) − 1 sin ( Im 1 )) .Иными словами,⎧ Re 1 ( cos ( Im ) + sin ( Im )) ,⎪⎪()=Δ1211⎪⎪⎪⎨Re10 (1 cos ( Im 1 ) + 2 sin ( Im 1 )) +() = −⎪2⎪ √︀⎪Re⎪140 − (0 )2⎪⎩+(2 cos ( Im 1 ) − 1 sin ( Im 1 )) .2(3.53)Найдем коэффициенты 1 √, 2 для решения задачи Коши с начальными усло(0 )2 +40 (− 1 )−0виями Δ (0) = 1 , (0) =аналогично разобранному выше261случаю устойчивого узла.⎧1⎪0 Re 1 ( cos (0 Im ) + sin (0 Im )) ,⎪=12⎪11⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪⎪⎪(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0⎪⎪⎪⎪=⎨2⎪⎪⎪0 0 Re 1⎪⎪(cos(0Im)+sin(0Im=−12⎪11 )) +⎪2⎪⎪⎪⎪ √︀⎪⎪0Re1⎪40 − (0 )2⎪⎩+(2 cos (0 Im 1 ) − 1 sin (0 Im 1 )) ,2⎧1⎪⎪= 1 ,⎪⎪⎨√︁√︀⎪⎪(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0⎪40 − (0 )20⎪⎩=−1 +2 ,222⎧1⎪1 = ,⎪⎪⎪⎪⎪⎨√︁(0 )2 + 40 ( − 1 )⎪⎪√︂2 =.⎪⎪⎪4⎪0⎩− (0 )2Далее найдем 0 такое, что Δ (0 ) = 0:0 = 0 Re 1 (1 cos (0 Im 1 ) + 2 sin (0 Im 1 )) ⇔(︂)︂1arctg −12⇔ − = tg (0 Im 1 ) ⇔ 0 =.2Im 1В итоге, все неизвестные для (0 ) из выражения (3.53) найдены, и () вы-числяется следующим образом:()0 0 Re 1= (0 ) = −(1 cos (0 Im 1 ) + 2 sin (0 Im 1 )) +262 √︀+0 Re 140 − (0 )2(2 cos (0 Im 1 ) − 1 sin (0 Im 1 )) ,2(3.54)где(︂)︂1arctg −20 =,Im 111 = ,1 =−0 + √︀40 − (0 )2,2√︁(0 )2 + 40 ( − 1 )√︂2 =.40− (0 )2Случай устойчивого вырожденного узла.
Этот случай соответствует0(0 )2 − 4 = 0. В рассматриваемом случае собственные числа 1 и 1 совпа-дают: := −0 = 1 = 2 .2Таким образом, асимптотически устойчивое состояние равновесия , яв-(︀)︀ляется или устойчивым вырожденным узлом, или устойчивым дикритическимузлом.Для характеристической матрицы(︃−)︃1−0 −0 − системы (3.43) можно показать, что , является устойчивым вырожден-(︀)︀ным узлом. Найдем собственный вектор , соответствующий собственномучислу алгебраической кратности два:(︃−)︃1−0 −0 − ⎛ = O,⎞0 1⎜⎟ 2⎝0 ⎠ = O.−0 −263Прибавляя первую строку, домноженную на⎛0 20 , ко второй строке, имеем:2⎞1⎟⎜⎜⎟ ⎜⎟ = O.⎝ (0 )2⎠− 0 04Собственный вектор может быть записан в виде⎛ = ⎝⎞0 ⎠ .−2Выберем = 1.Для того, чтобы найти общее решение системы (3.43), дополнительно найдемпервый присоединенный вектор 1 :⎛⎞⎞⎛0 11⎜⎟ ⎝2=⎝⎠0 ⎠ ,10 −−0 −22⎛⎞0 (︃ )︃1⎟⎜21⎜⎟ =,⎜⎟⎝ (0 )2⎠ 10− 0 04⎞⎛1 = ⎝0 ⎠ .−2Выберем = 1.Общее решение системы (3.43) имеет вид⎛⎞⎧0 ⎪⎪⎝−⎠⎪⎪2⎪⎨Δ () = (1 + 2 ( + 1)) ,⎛⎞0 (︂⎪(︂)︂)︂⎝−⎪⎠⎪⎪0002⎪⎩() = −1 + 2 −+1−.222(3.55)64Аналогично двум разобранным выше случаям найдем коэффициенты 1 и 2для решения задачи Коши с начальными данными1Δ (0) = , (0) =√︁(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 02.В данном случае имеем:⎧1⎪⎪= 1 + 2 ,⎪⎪⎨√︁(︂)︂⎪(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0⎪⎪00⎪⎩=−1 + 2 1 −,222⎧1⎪⎪=− 2 ,1⎪⎪⎨√︁(︂)︂⎪(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0⎪0 1⎪0⎪⎩=−− 2 + 2 − 2,222⎧1⎪⎪=− 2 ,⎪1⎪⎨√︁⎪⎪(0 )2 + 40 ( − 1 )⎪⎪⎩= 2 ,2⎧√︁⎪(0 )2 + 40 ( − 1 )⎪1⎪⎪⎪,⎨1 = −2√︁⎪⎪⎪(0 )2 + 40 ( − 1 )⎪⎪⎩2 =.2Найдем 0 такое, что Δ (0 ) = 0:⎧⎛⎞⎪0⎪⎝−0 ⎠⎪⎪⎪2⎪(1 + 2 (0 + 1)) ,⎪⎨0 = ⎛⎞⎪0 ⎪⎪(︂)︂)︂⎝−0 ⎠ (︂⎪⎪⎪0002⎪1 + 2 −0 + 1 −,−⎩(0 ) = 22265⎧⎛⎞⎪0⎪⎝−0 ⎠⎪⎪⎪2⎪((1 + 2 ) + 2 0 ) ,⎪⎨0 = ⎛⎞⎪0 ⎪⎪(︂)︂)︂⎝−0 ⎠ (︂⎪⎪⎪002⎪−(1 + 2 ) + 2 −0 + 1,⎩(0 ) = 22⎧1⎪⎪0=+ 2 0 ,⎪⎪⎪⎨⎛⎞0(︂)︂)︂⎪⎝−0 ⎠ (︂⎪⎪002⎪⎪−+ 2 −0 + 1,⎩(0 ) = 22⎧1⎪⎪=−,⎪0⎪2 ⎪⎨⎛⎞0 )︂⎪⎝−0 ⎠ (︂⎪⎪0022⎪⎪−−0 + 2 .⎩(0 ) = 22) является следующим:В итоге, выражение для (⎛⎞0⎝⎠22() = (0 ) = 2 ,где2 =(3.56)√︁(0 )2 + 40 ( − 1 ).2Соотношения (3.52), (3.54) и (3.56) доказывают теорему.Сформулируем следствие Теоремы 5 для случая =2,который соответ-ствует треугольной форме характеристики ФД (3.39).Следствие 1.
Точное значение частоты захвата без проскальзывания системы (3.37) с (Δ ) вида (3.39), определяется из следующих соотношений:(i) если (0 )2 − 20 > 0 :⎛⎞10(︂)︂⎝ − √︀⎠√︀12 − 2 222()00 = 1 (0 )2 − 20 −,1(3.57)66где 1 =4(︃ √︀)︃(︃)︃√︀(0 )2 + 20 (0 )2 + 20 √︀+ 1 , 2 =1 − √︀;4(0 )2 − 20 (0 )2 − 20 (ii) если (0 )2 − 20 = 0 :⎛⎞0√︀⎝⎠(0 )2 + 20 122, где 2 =; = 2 22(3.58)(iii) если (0 )2 − 20 < 0 :0 0 Re 1 = −(1 cos (0 Im 1 ) + 2 sin (0 Im 1 )) +2 √︀0 Re 1 20 − (0 )2+(2 cos (0 Im 1 ) − 1 sin (0 Im 1 )) ,(︂2 )︂√︁1arctg − (0 )2 + 40 ( − 1 )2√︀где 0 =,, 1 = , 2 =Im 122 20 − (0 )2√︀−+20 − (0 )201 =.(3.59)1.41.21ωlτ1 0.8K00.61.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.00.40.20100101102K0τ1103104τ2105Рисунок 3.15: Пример вычисления частоты захвата без проскальзываниясистемы (3.37) с треугольной характеристикой ФД в соответствии ссоотношениями (3.57), (3.58) и (3.59).67На рис.
3.15 для =ра01и набора значений 2 = 0, 0.1, . . . 1 и парамет)︀∈ 0, 104 приведены диаграммы для вычисления частоты захвата без2(︀проскальзывания, полученные на основании Теоремы 5. Красным цветом нарис. 3.15 обозначен случай (3.57), черной отметкой – случай (3.58), синим цветом – случай (3.59).Для прочих значений диаграммы строятся аналогичным образом в соответствии с соотношениями (3.40), (3.41) и (3.42). Достоверность полученныхформул зависимости полосы захвата без проскальзывания от параметров СФСподтверждается численным моделированием (см.
рис. 3.16).1.20.36410.3620.80.360.3580.6ωlτ1K00.3560.40.354τ2 = 0.50.3522324252627100101K0τ10.2102Рисунок 3.16: Пример сравнения аналитического значения и численныхоценок полосы захвата без проскальзывания системы (3.37) с треугольнойхарактеристикой ФД при 2 = 0.5.68ЗаключениеОсновные результаты работы заключаются в следующем:– Доказан частотный критерий устойчивости СФС с фильтром, передаточная функция которого содержит нулевой полюс кратности один;– Получены аналитические оценки зависимости полосы захвата без проскальзывания от параметров СФС для математической модели СФС сидеальным ПИФ и синусоидальными сигналами ЭГ и ПГ;– Получены аналитические формулы зависимости полосы захвата без проскальзывания от параметров СФС для математической модели СФС сидеальным ПИФ и импульсными сигналами ЭГ и ПГ;– Реализована программа ЭВМ для вычисления полосы захвата без проскальзывания СФС с идеальным ПИФ с помощью численных методов.69Приложение АПрограммная реализация вычисления полосы захвата без проскальзыванияВ приложении приведена программная реализация полученных в работеоценок полосы захвата без проскальзывания системы (3.13): численной оценки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
