Диссертация (1149334), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Gardner [9]. В дальнейшем, говоря об известнойоценке полосы захвата без проскальзывания, имеется ввиду соотношение (3.12),в котором используется известная оценка сепаратрисы фазовой плоскости.Для сравнения эффективности аналитических оценок полосы захвата безпроскальзывания рассмотрим оценку полосы захвата без проскальзывания, полученную с помощью методов численного интегрирования (см. Приложение А).Кроме того, будем использовать диаграммы полосы захвата без проскальзывания в координатах01иfreeΔ10для фиксированного 2 .
Такой выбор обусловлентем, что система (3.1) зависит от двух коэффициентов –01и 2 . Это позволяетстроить непрерывную кривую зависимости частоты захвата без проскальзывания от01для каждого фиксированного значения 2 . Результаты численногомоделирования показывают, что для больших значений параметра растет почти пропорциональномости для01иfreeΔ10.01 .01значениеПоэтому удобно строить кривую зависи-431.4ωl1.4ωlτ11.2 K01.211τ20.80.80.60.60.40.40.20.2000.20.4K0 0.6τ10.8101011102103K0τ11041.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0Рисунок 3.7: Пример вычисления частоты захвата без проскальзываниясистемы (3.13) с помощью методов численного интегрирования.Полученные результаты численной оценки полосы захвата без проскальзывания проиллюстрированы на рис. 3.7.
Для получения значения частоты захвата без проскальзывания для фиксированных значений параметров 1 , 2 и 0с помощью диаграмм, изображенных на рис. 3.7, нужно, во-первых, выбратьвыбрать кривую, которой соответствует выбранное значение параметра 2 . Далее, нужно выбрать точку на этой кривой, -координате которой соответствует01 .Если значение01≤ 1, то значение -координаты соответствует значению1.41.2ωlτ1p2=K01(p1, p2)0.80.6τ2=0.60.40.201Kp1= τ 01101102103104Рисунок 3.8: Пример вычисления полосы захвата с помощью численныхдиаграмм при 10 > 1: = 1 2 .частоты захвата без проскальзывания. Если же значение01> 1, то значению44частоты захвата без проскальзывания СФС соответствует произведению значений -координаты и -координаты этой точки (см. рис.
3.8).Далее приведем известные оценки полосы захвата без проскальзывания исравним их с полученной численной оценкой. В книге F.M. Gardner [14] былапредложена эмпирическая оценка частоты захвата без проскальзывания: 2 0 ≈ 1.851(︂)︂√︂10.5 +.22 0(3.35)Пример сравнения оценки (3.35) с численной оценкой частоты захвата без проскальзывания приведен на рис. 3.9.- эмпирическая оценка, F.
M. Gardner, 1979- численное приближение1.2 ωl1.2ωlτ1K0110.80.80.60.60.40.40.20.2000.20.4K0 0.6τ10.811101102K0τ11031040Рисунок 3.9: Пример сравнения численной оценки полосы захвата безпроскальзывания системы (3.13) с оценкой (3.35).Позднее, в работах J.L. Stensby и A.S. Huque [17, 124] была предложена следующая оценка частоты захвата без проскальзывания: ≈ −1 22 0 12(︃2 sin 24 sin 34 sin 414+++)︀)︀)︀(︀(︀(︀3333314 1 + 3 42 1 + 3 24 1 + 3 4)︃.(3.36)Пример сравнения оценки (3.36) с численной оценкой частоты захвата без проскальзывания приведен на рис. 3.10.Сравнение полученных в работе оценок (3.33) и (3.34) приводится нарис.
3.11. Для достаточно малых значений 0 /1 оценки (3.33) и (3.34) являются наиболее эффективными среди приведенных аналитических оценок. Однако,45- численно-аналитическая оценка,J. L. Stensby, A.-S. Huque, 2013- численное приближение1.2 ωl1.2ωlτ1K0110.80.80.60.60.40.40.20.2000.20.4K0 0.6τ10.811011102K0τ11031040Рисунок 3.10: Пример сравнения численной оценки полосы захвата безпроскальзывания системы (3.13) с оценкой (3.36).так как данные аналитические оценки получены при условии малости параметра 2 /1 , они дают менее точные результаты для больших значений 0 /1 ификсированного 2 .- численное приближение- приближение первого порядка- приближение второго порядка1.2 ωl1.2ωlτ1K01τ2=0.110.80.80.60.60.40.4τ2=0.10.20.2000.20.4K0 0.6τ10.811101102K0τ11031040Рисунок 3.11: Пример сравнения численной оценки полосы захвата безпроскальзывания системы (3.13) с аналитическими оценками (3.33) и (3.34).463.3Полоса захвата без проскальзывания для треугольнойформы характеристики ФДРассмотрим систему дифференциальных уравнений⎧⎨˙ = (Δ ),(3.37)⎩˙ = free − − ( ),00ΔΔΔсоответствующую СФС с идеальным ПИФ.
Пусть (Δ ) задается следующимвыражением (см. рис. 3.12)⎧⎪⎪Δ − 2, если − 1 + 2 ≤ Δ () ≤ 1 + 2,⎪⎨(Δ ) = − −1Δ + −1( + 2) ,⎪⎪⎪⎩если + 2 ≤ () ≤ 3 + 2,Δ2где ∈ ∈ Z, (3.38)2)︀,+∞.(︀ 1φ(θΔ)1̟0-2̟-̟2̟θΔ1/k-1Рисунок 3.12: Форма характеристики ФД вида (3.38).Значение =2соответствует треугольной форме характеристики ФД (см.рис. 3.13):(Δ ) =⎧⎨ 2 Δ − 4,если − 2 + 2 ≤ Δ () ≤⎩− 2 + 2 + 4, если Δ2+ 2 ≤ Δ () ≤322+ 2,+ 2, ∈ Z.(3.39)Треугольная форма характеристики ФД соответствует импульсным сигналам47φ(θΔ)1̟0-2̟-̟̟/22̟θΔ-1Рисунок 3.13: Форма характеристики ФД вида (3.39).1 (1 ()) = sign [sin(1 ())] и 2 (2 ()) = sign [cos(2 ())] ЭГ и ПГ соответственно[80, 92, 142].Докажем следующую теорему о полосе захвата без проскальзывания системы (3.37) с (Δ ) вида (3.38).Теорема 5.
Точное значение частоты захвата без проскальзывания системы (3.37) с (Δ ), заданной соотношением (3.38), вычисляется с помощьюследующих соотношений:(i) если (0 )2 − 20 > 0 :⎛⎞10 (︂)︂⎝ − √︀⎠1 √︀2222 (0 ) − 40 , где(3.40) = 1 (0 )2 − 40 −21⎛ √︁⎞⎛⎞√︁1122(0 ) + 40 ( − ) ⎟1⎟⎜ (0 ) + 40 ( − )⎜1√︁√︁1 = ⎝+ ⎠ , 2 = ⎝ −⎠;224040222 (0 ) − 2 (0 ) − (ii) если (0 )2 − 20 = 0 :⎛⎞√︁01⎝⎠2(0 ) + 40 ( − )1; = 2 22 , где 2 =22(iii) если (0 )2 − 20 < 0 :0 (0 Re 1 ) = −(1 cos (0 Im 1 ) + 2 sin (0 Im 1 )) +4 √︀(0 Re 1 ) 40 − (0 )2+(2 cos (0 Im 1 ) − 1 sin (0 Im 1 )) ,4(3.41)(3.42)48(︂)︂1√︀arctg −40 − (0 )2−+20где 0 =,=,1Im 12√︁(0 )2 + 40 ( − 1 )1√︂.2 =1 = ,40− (0 )2Доказательство.
Рассмотрим систему⎧⎨˙Δ () = (),⎩()˙ = − 012 (˙ Δ ())() −(3.43)01 (Δ ()),free− 10 (() + 2 (Δ ())). Так же, как и в случае синусоидальнойгде () = Δформы характеристики ФД (см. доказательство Теоремы 4), состояния равновеfreeсия ( , ) системы (3.43) получаются из состояний равновесия , (Δ)(︀)︀системы (3.37) по соотношению(︀)︀free( , ) = , Δ− 0 ,и имеют тот же тип, что и соответствующие состояния равновесия системы(3.37).Верхняя устойчивая сепаратриса (Δ ) фазовой плоскости системы (3.43)freeсвязана с нижней устойчивой сепаратрисой (Δ , Δ) фазовой плоскости си-стемы (3.37) соотношениемfree(, Δ)=)︀1 (︀ freeΔ − () .0 (3.44)Используя (3.44), соотношение (3.12) принимает вид1 = ().2(3.45)Нахождение сепаратрисы (Δ ) выполняется в два этапа.
На первом этапеинтегрируем сепаратрису (Δ ) на интервале)︀,(на котором функция (Δ )2(︀ непрерывно дифференцируема) и находим значение ( 2 ). Для этого нужно най-49yxS(θΔ))xeq(ωfree∆0Q(θΔ,ωfree)∆sθeq-2̟sθeq+2̟sθeqsθeq-2̟θΔsθeq+2̟sθeqθΔРисунок 3.14: Сепаратрисы фазовых плоскостей систем (3.37) и (3.43).ти собственный вектор, который соответствует сепаратрисе (Δ ) на рассматриваемом интервале. На втором этапе найдем общее решение системы (3.43) наинтервале − 2 , 2 .
Здесь существует три различных случая, которые зависят(︀)︀от типа асимптотически устойчивого состояния равновесия , 0 : устойчивый(︀)︀узел, устойчивый вырожденный узел и устойчивый фокус. Для каждого из возможных случаев производятся отдельные вычисления. Используя вычисленноена первом этапе значение ( 2 ) как начальные условия задачи Коши, получим).точное значение (Найдем собственные вектора 1 , 2 седлового состояния равновесия(︀)︀, . Сначала найдем собственный вектор 1 :(︃−10 −1⎛⎜⎜−⎜⎜⎝⎛⎜⎜−⎜⎜⎝)︃10 −10 −1+−11 = O,√︁(︀)︀0 2−1+⎞40 −120 −10 −1+√︁(︀)︀0 2−10 −1+−0 −1−1+40 −1⎟⎟ ⎟ 1 = O,⎟⎠2⎞40 −1120 −1+1√︁(︀)︀0 2−0 −1−√︁(︀)︀0 2−12+40 −1⎟⎟ ⎟ 1 = O.⎟⎠(3.46)50Умножим вторую строку (3.46) на0 .
Тогда − 1⎛√︁(︀)︀0 0 20++ 4−1−1⎜ − −1⎜⎜√︁(︀ 2 )︀⎜ 0 0 20⎝ −1 ++ 4−1−12⎛0 −1√︁(︀)︀0 2−140 −1++⎜⎜−⎜√︁(︀ 2 )︀⎜ 0 0 20⎝ −1 ++ 4−1−120 −1+√︁(︀)︀0 2−1+40 −12⎞1−⎟⎟ ⎟ 1 = O,(︁(︀)︁)︀⎟0 20 240 −()+(−1)⎠−1−1−140 ⎞⎟1 ⎟⎟ 1 = O.⎟⎠−1Следовательно,⎞⎛1⎟⎜ √︀=⎝(0 )2 + 40 ( − 1) + 0 ⎠ .2( − 1)√︀(0 )2 + 40 ( − 1) − 0 Выберем =. Тогда20 ⎛ √︀(0 )2 + 40 ( − 1) − 0 ⎜20 1 = ⎜⎝ (0 )2 + 40 ( − 1) − (0 )240 ( − 1)⎞⎟⎟,⎠⎞⎛ √︀2(0 ) + 40 ( − 1) − 0 ⎟⎜1 = ⎝20 ⎠.1Аналогично найдем второй собственный вектор 2 :(︃−20 −1)︃10 −1−2и поделим на2 = O,51⎛ √︁(︀ 0 )︀2 40 + −1 −−1⎜⎜⎜2⎜⎝⎞0 −11√︁(︀)︀0 20 −1⎛ √︁(︀ 0 )︀2 40 + −1 −−1⎜⎜⎜2⎜⎝0 −1−1+0 −11√︁(︀)︀0 2−1+−⎜⎜2⎜ √︁(︀)︀⎜20 0⎝+ 4−1−1 −0 −1+40 −1+0 −1⎟⎟ ⎟ 2 = O.⎟⎠−140 −1−0 −1, и поделим на⎞0 −10 −1+21(︁(︀)︀0 2−1+40 −12⎟⎟ ⎟ 2 = O,)︁(︀ )︀2⎟0− −1( − 1) ⎠40 ⎛ √︁(︀ )︀2 4 00−+ −1−1⎜⎜2⎜ √︁⎜ (︀ 0 )︀2 40 ⎝+ −1 −−10 −10 −12⎞⎟1⎟⎟ 2 = O.⎟⎠1Таким образом,⎛⎞−⎜ √︁(︀)︀0 22 = ⎝0+ 4−1−1 −20 −1⎟⎠.√︀(0 )2 + 40 ( − 1) + 0 Выберем =:20 √︀(0 )2 + 40 ( − 1) + 0 −⎜20 2 = ⎜⎝ (0 )2 + 40 ( − 1) − (0 )240 ( − 1)⎛(3.47)2Умножим вторую строку (3.47) на40 −1−2√︁(︀)︀0 20 2−140 −1⎞0 −10 .
Тогда − 1⎛ √︁(︀)︀+⎟⎟ ⎟ 2 = O,⎟⎠⎞⎟⎟,⎠52⎛⎞√︀(0 )2 + 40 ( − 1) + 0 ⎜−⎟2 = ⎝20 ⎠.1Можно показать, что направление сепаратрисы (Δ ) совпадает с направлением собственного вектора 2 , который соответствует собственному числу2 . Это позволяет найти значение ( 1 ). Для этого запишем уравнение прямой,проходящей через две точки(1 , 1 ) = (, 0) ,(︃)︃√︀2(0 ) + 40 ( − 1) + 0 (2 , 2 ) = −,1 .20 Уравнение принимает вид−−0= (︃1−0√︀−(0)2+ 40 ( − 1) + 0 20 ,)︃−20 ( − ) ,(0 )2 + 40 ( − 1) + 0 )︁(︁√︀2(0 ) + 40 ( − 1) − 0 20 = √︀=(0 )2 + 40 ( − 1) − (0 )2√︀(0 )2 + 40 ( − 1) − 0 =( − ) .2( − 1)( − ) ,Тогда√︀(︂)︂(0 )2 + 40 ( − 1) − 0 11( ) =−=2( − 1)√︁(0 )2 + 40 ( − 1 ) − 0=.2Далее найдем собственные векторы состояния равновесия (, ) и общеерешение системы (3.43) на интервале − 1 , 1 . Было показано, что для асимпто-(︀)︀тически устойчивого состояния равновесия (, ) возможны три различныхслучая, которые зависят от знака (0 )2 −40 .Вычисление собственных век-53торов 1 и 2 приводится только для случая устойчивого узла.
Для остальныхдвух случаев вычисление 1 , 2 аналогично приведенному ниже.0Случай устойчивого узла. Этот случай соответствует (0 )2 − 4 > 0.Найдем собственные векторы 1 , 2 :(︃−11−0 −0 −⎛0 −⎜⎜⎝⎛)︃11 = O,√︀(0 )2 − 40 2−0 0 −⎜⎜⎝√︀(0 )2 − 40 2−0 ⎞1⎟ ⎟ = O,√︀0 − (0 )2 − 40 ⎠ 1−0 +2⎞1⎟ ⎟ = O.√︀0 + (0 )2 − 40 ⎠ 1−2(3.48)Умножим вторую строку (3.48) на0 :⎛0 −√︀(0 )2 − 40 , и поделим на2√︀(0 )2 − 40 1⎜⎜√︀ 2⎝ 0 − (0 )2 − 40 (0 )2 − (0 )2 + 40 −−240 ⎛⎞√︀0 − (0 )2 − 40 1 ⎟⎜⎜⎟ 1 = O,√︀ 2⎝ 0 − (0 )2 − 40 ⎠−−12⎛⎞−√︀1 = ⎝ 0 − (0 )2 − 40 ⎠ .20 −⎞⎟ ⎟ 1 = O,⎠54Выберем = −1. Тогда⎛⎞1√︀1 = ⎝ (0 )2 − 40 − 0 ⎠ .2Далее, найдем собственный вектор 2 :(︃−2)︃12 = O,2−0 −0 −⎞√︀20 + (0 ) − 40 1⎜⎟ ⎜2⎟ = O,√︀⎝−0 + (0 )2 − 40 ⎠ 2−0 2⎛⎞√︀20 + (0 ) − 40 1⎜⎟ ⎜2⎟ = O. (3.49)√︀⎝(0 )2 − 40 − 0 ⎠ 2−0 2√︀0 + (0 )2 − 40 , и поделим наУмножим вторую строку (3.49) на20 :⎛⎛√︀(0 )2 − 40 1⎜⎜√︀ 2⎝ 0 + (0 )2 − 40 (0 )2 − 40 − (0 )2−240 ⎞⎛√︀0 + (0 )2 − 40 1 ⎟⎜⎟ 2 = O,⎜√︀ 2⎠⎝ 0 + (0 )2 − 40 −−12⎛⎞−√︀2 = ⎝ 0 + (0 )2 − 40 ⎠ .20 +Выберем = −1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
