Диссертация (1149334), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Таким обра-зом, можно переформулировать условие (3.8): для нахождения полосы захватабез проскальзывания нужно найти максимальное отклонение частоты такое,что (см. рис. 3.3){︂(︂free 1 Δ ,0)︂ ⃒}︂⃒ free ,˜) ⊂⃒Δ ∈ (−˜⋂︁free0 (Δ),∀˜ ∈ [0, ) .(3.10)|Δfree |<˜В силу того, что фазовые траектории системы (3.1) при линейном преобразовании → +free1 Δ0сдвигаются вертикально на −free1 Δ0 ,искомое являетсяминимальным корнем системы уравнений⎡(, ) = − 1 0 ,⎣(, − ) = 1 0 ,(3.11)31xxsfree(θeq,xeq(ω∆ ))00sseqfree∆seq(θ ,xeq(-ω )) = (θ ,xeq(ω ))sθeq-2̟sθeq+2̟sθeq(а )free(θeq,xeq(-ω∆ ))free∆sθeq-2̟θΔ(б )|˜ | = 0;xxseq(θ ,xeq(ωl))0ssθeq+2̟sθeqθΔ0 < |˜ | < ;free(θeq,xeq(ω∆ ))0Q(θΔ,ωl)sθeq-2̟sθeq(в )|˜ | = ;s(θeq,xeq(-ωl))sθeq+2̟θΔsfree(θeq,xeq(-ω∆ ))sθeq-2̟sθeq(г )sθeq+2̟θΔ|˜ | > ;Рисунок 3.3: Пример определения частоты захвата без проскальзывания для синусоидальной формы характеристики ФД.32free) естьгде (Δ(︁, Δ)︁ нижняя устойчивая сепаратриса соседнего состояния равfree 1 Δfree) – верхняя устойчивая сепаратриса соседненовесия , 0 , а (Δ , Δго состояния равновесия(︁− 2,free1 Δ0)︁.
В силу свойства (3.7) и нечетности(Δ ) справедливо соотношение(−, − ) = −(, ),и следует, что корни системы уравнений (3.11) совпадают. То есть, для нахождения достаточно рассматривать, например, только первое уравнение системы(3.11). Кроме того, справедливо(, ), 0)0 (1 1 + ( , 0) = −⇔ = −.=0021(3.12)333.2Полоса захвата без проскальзывания для синусоидальной формы характеристики ФДАналитическая оценка полосы захвата без проскальзыванияЗапишем систему (3.1) для случая синусоидальной характеристики ФД:⎧⎨˙ = sin(Δ ),⎩˙ = free − 0 ( + sin( )) .Δ2ΔΔ1(3.13)Синусоидальная форма характеристики ФД соответствует синусоидальнымсигналам 1 (1 ()) = sin(1 ()) и 2 (2 ()) = cos(2 ()) ЭГ и ПГ соответственно [93,139].
Сформулируем и докажем теорему об аналитическом приближенииполосы захвата без проскальзывания.Теорема 4. Пусть 1 > 0, 2 > 0, 0 > 0, 0 < 2 /1 ≪ 1 и (Δ ) = sin(Δ ).Для частоты захвата без проскальзывания системы (3.13) справедливы следующие соотношения:(︁2 = 1 + (2 /1 ))︁(︁3= 1 + 2 + (2 /1 ))︁(3.14),√︀0 20 22 (5 − 6 ln 2) √︀где 1 = 0 /1 +, 2 =0 /1 .31181Доказательство. Введем переобозначения =систему21 , =⎧⎨˙Δ = ,⎩˙ = − cos( ) − sin( ),0Δ0Δкоторая получается из системы (3.13) с помощью заменыfree = Δ− 0 − 0 sin(Δ ).11и рассмотрим(3.15)34Состояния равновесия ( , ) системы (3.15) получаются из состояний равноfree) системы (3.13) из соотношениявесия , (Δ(︀)︀(︀)︀free( , ) = , Δ− 0 ,и имеют тот же тип, что и соответствующие состояния равновесия системыfree) фазовой плоскости системы(3.13).
Устойчивая нижняя сепаратриса (Δ , Δ(3.13) соответствует верхней устойчивой сепаратрисе (Δ ) фазовой плоскостисистемы (3.15) (см. рис. 3.4), и справедливо следующее соотношение:free(, Δ)=)︀1 (︀ freeΔ − () .0 (3.16)yxS(θΔ))xeq(ωfree∆0Q(θΔ,ωfree)∆sθeq-2̟sθeqsθeq+2̟θΔsθeq-2̟sθeqsθeq+2̟θΔРисунок 3.4: Сепаратрисы фазовых плоскостей систем (3.13) и (3.15).Перепишем соотношение (3.12), используя (3.16):1).
= (2(3.17)Для оценки сепаратрисы (Δ ) рассмотрим следующее дифференциальноеуравнение: ′ (Δ ) = −0 cos(Δ )(Δ ) + 0 sin(Δ ).(Δ )(3.18)Правая часть уравнения (3.18) терпит разрыв на линии = 0. Эта линия естьизоклина вертикального наклона интегральных кривых уравнения (3.18) [140].Уравнение (3.18) эквивалентно системе (3.15) в нижней и верхней открытыхполуплоскостях фазовой плоскости.35Будем рассматривать решения (Δ , ) уравнения (3.18) как функцию отдвух переменных Δ , . Рассмотрим решение уравнения (3.18), чья область значений лежит в верхней открытой полуплоскости фазовой плоскости. Праваячасть уравнения (3.18) в открытой верхней полуплоскости фазовой плоскостиявляется функцией класса для сколь угодно большого.
Решения задачи Коши с начальными условиями Δ = Δ0 , = 0 (решения, находящиеся вверхней полуплоскости) так же являются функциями класса на их областиопределения для сколь угодно большого [141].Рассмотрим сепаратрису (Δ , ) в виде ряда Тейлора по переменной вокрестности 0 = 0: (Δ , ) ⃒⃒(Δ , ) ⃒⃒+ ··· ++ ....(Δ , ) = (Δ , 0) + ⃒⃒=0=0!(3.19)Обозначим0 (Δ ) = (Δ , 0),1 (Δ , ) ⃒⃒ (Δ ) =⃒ ,=0! ≥ 1.^ (Δ , ) назовем -ым приближением сепаратрисы (Δ , ) по переменной :^ (Δ , ) = (Δ , 0) +∑︁ (Δ ).=1Остаточный член ряда Тейлора обозначим следующим образом:˜ (Δ , ) =+∞∑︁ (Δ ).(3.20)=+1Для сходящегося ряда Тейлора его остаточный член ˜ (Δ , ) = (+1 ) длякаждой точки 0 интервала [0, ).Сепаратриса (Δ , ) удовлетворяет соотношению, которое следует из уравнения (3.18):(Δ , )(Δ , ) = −0 cos(Δ )(Δ , ) − 0 sin(Δ ).36∫︁∫︁(, )(, ) = −0Δ∫︁cos()(, ) − 0Δ11lim 2 (,) − 2 (Δ ,) = −02 →−02sin().Δ∫︁∫︁cos()(, ) − 0Δsin(). (3.21)ΔПредставим сепаратрису (Δ , ) рядом Тейлора (3.19) в соотношении (3.21).∫︁)︁21 (︁0 (Δ ) + 1 (Δ ) + 2 2 (Δ ) + ˜2 (Δ , ) = −0 sin()−−2Δ∫︁− 0(︁)︁˜cos() 0 () + 1 () + 2 () + 2 (, ) .Δ11− 02 (Δ ) − 0 (Δ )1 (Δ ) − 2 12 (Δ ) − 2 0 (Δ )2 (Δ ) + (3 ) =22∫︁∫︁∫︁− 0 sin() − 0 cos()0 () − 2 0 cos()1 () − (3 ).ΔΔΔ(︂)︂1 22 1 2− 0 (Δ ) − 0 (Δ )1 (Δ ) − 1 (Δ ) + 0 (Δ )2 (Δ ) + (3 ) =22∫︁∫︁∫︁− 0 sin() − 0 cos()0 () − 2 0 cos()1 () + (3 ).
(3.22)ΔΔΔВыпишем слагаемые соотношения (3.22) для , = 0, 1, 2.Для 0 :1 2 (Δ ) = 02 0∫︁sin().(3.23)ΔДля 1 :∫︁0 (Δ )1 (Δ ) = 0cos()0 ().Δ(3.24)37Для 2 :∫︁10 (Δ )2 (Δ ) + 12 (Δ ) = 02cos()1 ().(3.25)ΔПоследовательно найдем члены 0 (Δ ), 1 (Δ ), 2 (Δ ) используя соотношения (3.23), (3.24) и (3.25). Начнем с нахождения 0 (Δ ):1 2 (Δ ) = 02 0∫︁⃒⃒sin() = −0 cos()⃒ = 0 (1 + cos(Δ )),Δи, следовательно,0 (Δ ) =√︀(3.26)20 (1 + cos(Δ )).Согласно (3.26)√︀0 (0) = 2 0 .(3.27)С помощью уравнения (3.24) и соотношения (3.26) найдем 1 (Δ ):0∫︀cos()0 ()Δ1 (Δ ) =0 (Δ )√0 20∫︀;√︀cos() (1 + cos())Δ1 (Δ ) =√︀20 (1 + cos(Δ )).Используя следующие замены переменных = 1 + cos(), = − sin(), =вычислим интеграл∫︁Δ√2 − , = − √,2 2−√︀cos() (1 + cos())38на интервале Δ ∈ [0; ):∫︁∫︁√︀cos() sin()√︀ =cos() (1 + cos()) =(1 − cos())ΔΔ∫︁0=−1+cos(Δ )(︁√−1√ = 22−√√∫︁ 2(1 − 2 ) =1−cos(Δ ))︁)︁ 2 (︁ √√︀3=22 − 1 − cos(Δ ) −2 2 − 1 − cos(Δ ) =3√√︀22 2= − (2 + cos(Δ )) 1 − cos(Δ ) +.33√︀Таким образом, получено выражение для 1 (Δ ) на интервале Δ ∈ [0; ):√0 20(︁1 (Δ ) =√2 2323 (2)︁√︀+ cos(Δ )) 1 − cos(Δ )−√︀20 (1 + cos(Δ )).(3.28)Кроме того,20.(3.29)3Для упрощения последующего нахождения 2 (Δ ), запишем 1 (Δ ) в эквива1 (0) =лентной форме (на интервале Δ ∈ [0; )).√0 20(︁1 (Δ ) =√0 20=√2 23√==(︁0(︀ 23−(︀ 2323 (2)︁√︀+ cos(Δ )) 1 − cos(Δ )−√︀20 (1 + cos(Δ ))23 (2√)︁√Δ+ cos Δ ) 2 sin 220 2 cosΔ2− 32 (3 − 2 sin2 2Δ ) sin 2Δcos0√2 23Δ2− sin 2Δ − 13 sin 32Δcos 2Δ)︀.)︀=0(︀ 23==0(︀ 23− 23 (2 + cos Δ ) sin 2Δcos 2Δ− 2 sin 2Δ − 34 sin3 2Δcos 2Δ)︀=)︀=39Найдем теперь 2 (Δ ), используя (3.25), (3.26) и (3.28).∫︀0Δ2 (Δ ) =cos()1 () − 12 12 (Δ )=0 (Δ )12∫︀ cos()( 3 −sin 2 − 3 sin 32 )20cos 2Δ=√2 0 cosВычислим интеграл∫︁cos()Δ−Δ2(︀ 2302(︀ 23− sin 2Δ − 13 sin 32Δ√4 0 cos3 2Δ)︀2.)︀− sin 2 − 13 sin 32.cos 2Вычислим сначала его первую часть, пользуясь заменами= ;2∫︁Δ2 cos()2=3 cos 23∫︁Δ1 = .22 cos2 ( 2 ) − 12=cos 23)︂∫︁ (︂1 =2 cos −2 cos 2Δ∫︁∫︁2⃒)︁1 ⃒218 (︁ )︁ ⃒⃒ 4=sin( ) ⃒ −sin( ) ⃒ − = =323 cos 2323 cos 8 (︁Δ2Δ(︂=)︂4 ⃒⃒ 1 ⃒⃒ ⃒⃒8sin( ) − ln ⃒ tg +⃒ ⃒ .3232 cos 2Теперь вычислим вторую часть интеграла, пользуясь заменами = cos ;∫︁−Δ∫︁−Δ = − sin().)︀(︀ 1 (︀)︀)︀(︀∫︁3 cos()sin+3sin−4sincos() sin 2 + 13 sin 322322 = − =cos 2cos 2Δ)︀(︀)︀∫︁cos() 2 sin 2 − 34 sin3 2cos() sin 2 cos 2 1 − 23 sin2 2 = −2 =cos 2cos2 2(︀Δ40∫︁−2)︀(︀∫︁cos() sin 1 − 23 sin2 22 cos() sin (2 + cos ) = − =cos + 13cos + 1ΔΔ∫︁−1cos∫︁ )︂1 =+1−+1cos(Δ )cos(Δ )(︂⃒)︂ ⃒⃒2 1⃒ ⃒⃒2=cos + cos − ln ⃒ cos + 1⃒ ⃒ =3 2)︂ ⃒(︂⃒⃒2 1 ⃒ ⃒⃒√=cos2 + cos − 2 ln ⃒ 2 cos ⃒ ⃒ =3 22)︂ ⃒(︂⃒⃒2 1 ⃒ ⃒⃒=cos2 + cos − 2 ln ⃒ cos ⃒ ⃒ .3 222=32 (2 + ) =+13(︂В итоге получим(︂(︂)︂⃒⃒)︂ ⃒84 ⃒⃒ 1 ⃒⃒ ⃒⃒ 2 1⃒⃒ ⃒sin( ) − ln ⃒ tg +cos2 + cos − 2 ln ⃒ cos ⃒ ⃒ =⃒ ⃒ +3232 cos 23 22(︂)︂ ⃒⃒⃒⃒⃒ ⃒ ⃒1⃒ sin 2 + 1 ⃒⃒28 sin( ) − 4 ln ⃒+cos+2cos−4lncos⃒⃒⃒ ⃒ =32cos 22(︂)︂ ⃒⃒⃒11⃒⃒ 1⃒8 sin( ) − 4 ln ⃒ sin + 1⃒ + cos 2 + + 2 cos ⃒ =32222(︂)︂⃒⃒16 2 − 4 ln 2 1ΔΔ⃒⃒ 18 sin( ) − 4 ln ⃒ sin=−+ 1⃒ + cos 2Δ + 2 cos Δ .33222Таким образом,(︀)︀202 (6 12 − 4 ln 2) 02 32 − sin 2Δ − 13 sin 32Δ2 (Δ ) = √−−√6 0 cos 2Δ4 0 cos3 2Δ⃒⃒(︁)︁⃒⃒ 1ΔΔ20 8 sin( 2 ) − 4 ln ⃒ sin 2 + 1⃒ + 2 cos 2Δ + 2 cos Δ−.√6 0 cos 2Δ(3.30)Для значения Δ = 0202 (1 − ln 2)0202 (5 − 6 ln 2)√√2 (0) =− √=.3 09 09 0(3.31)В итоге были найдены 0 (Δ ), 1 (Δ ), 2 (Δ ) (соотношения (3.26), (3.28)и (3.30), соответственно).
То есть, найдены первое и второе приближения41yS(θΔ,a)Ŝ2(θΔ,a)0Ŝ1(θΔ,a)sθeq-2̟sθeqsθeq+2̟θΔРисунок 3.5: Пример аппроксимации сепаратрисы (Δ , ) ее первымприближением ^1 (Δ , ) и вторым приближением ^2 (Δ , ) при 0 = 100,1 = 4, 2 = 0.2.^1 (Δ , ), ^2 (Δ , ) сепаратрисы (Δ , ). Пример аппроксимации сепаратрисы(Δ , ) ее первым и вторым приближениями приведен на рис. 3.5.
Кроме того,используя (3.27), (3.29) и (3.31), справедливы следующие равенства:√︀20^1 (0, ) = 2 0 + ,3√︀200 (5 − 6 ln 2) √︀^2 (0, ) = ^2 (0) = 2 0 + + 20 .39(3.32)Используя соотношения (3.12), (3.16) и (3.32) для частоты захвата без проскальзывания получены следующие приближения:√︀(︀ )︀0+ 2 ,0 + 3(3.33)√︀(︀ )︀00 (5 − 6 ln 2) √︀0 + + 2 0 + 3 .318(3.34) = =Для подтверждения полученных аналитических оценок полосы захвата безпроскальзывания было произведено их сравнение с оценкой полосы захвата безпроскальзывания, полученной с помощью методов численного интегрирования(см. Приложение А).
Пример такого сравнения приведен на рис. 3.6.42- приближение первого порядка- численное приближение1.4- приближение второго порядкаωl1.31.21.1100.20.4τ20.60.81Рисунок 3.6: Сравнение численных и аналитических оценок (3.14) частотызахвата без проскальзывания системы (3.13) при 10 = 1.Сравнение оценок полосы захвата без проскальзыванияНесмотря на то, что строгое математическое определение полосы захватабез проскальзывания было предложено сравнительно недавно, известны оценки сепаратрис фазовой плоскости системы (3.1), которые были получены приизучении полосы захвата без проскальзывания в рамках первоначального определения, предложенного F.M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
