Диссертация (1149334), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому позднее F. M. Gardner сформулировал следующую проблему: “There is no natural way to define exactly any uniquelock-in frequency” [14]. Тем не менее, концепция полосы захвата без проскальзывания широко востребована во многих приложениях [12].Для определения полосы захвата без проскальзывания приведем определения проскальзывания цикла (cycle slipping) [120–122] и области притяжениябез проскальзывания (lock-in domain) [76].Определение 3. Еслиlim sup |Δ (0) − Δ ()| ≥ 2,→+∞то имеет место проскальзывание цикла.Определение 4. Для системы (1.6) с фиксированным значением Δfree , областьначальных состояний СФС, для которой синхронизация происходит без проскальзывания цикла, называется областью притяжения без проскальзывания,freelock−in (Δ).Строгое математическое определение полосы захвата без проскальзыванияможет быть сформулировано следующим образом:14Определение 5. Полосой захвата без проскальзывания называется максимальный интервал отклонений частот такой, что для каждого отклонения чаfree ⃒∈ [0, ) модель (1.6) является глобально асимптотически устойчистоты ⃒Δ⃒⃒вой и областьlock−in ((− , )) =⋂︁freelock−in (Δ)|Δfree |<содержит все асимптотически устойчивые состояния равновесия системы (1.6),free∈ (− , ).соответствующие ΔГраница полосы захвата без проскальзывания называется частотой за-хвата без проскальзывания (lock-in frequency).Для СФС с ФНЧ первого порядка поведение сепаратрис фазовой плоскостисистемы (1.6) является определяющим при анализа полосы захвата без проскальзывания.
Для аппроксимации полосы захвата без проскальзывания в работах [14, 123–125] были приведены соответствующие оценки сепаратрис. Однако, для СФС с ФНЧ более высокого порядка поведение сепаратрис фазовогопространства системы (1.6) не определяет ширину полосы захвата без проскальзывания, и ее нахождение является сложной задачей.15Глава 2Анализ полосы захвата СФС2.1Полоса захвата СФС для случая нулевого полюса передаточной функции ФНЧТеория абсолютной устойчивости СФС была создана в работах [126–130].Ее основные понятия и результаты содержатся в [110, 131–134].
В рамках данной теории сформулирован и доказан частотный критерий устойчивости системы (1.6) с матрицей , которая имеет одно нулевое собственное значение. Дляудобства изложения рассматривается следующая запись системы (1.6):⎧⎨˙ = + (Δ ),(2.1)⎩˙ = free + * + ( ),ΔΔΔкоторая получается из системы (1.6) с помощью переобозначений→−,→−, →.Системе (2.1) соответствует передаточная функция () = * ( − )−1 − , ∈ C1 .Пусть однозначная кусочно-непрерывная функция (Δ ), совпадающая скусочно-однозначной функцией (Δ ) во всех точках ее однозначности удовле-16творяет следующим свойствам:∫︁2(Δ )Δ = 0;00для любого Δ∈ (−∞, +∞) существует > 0 такое, что∫︁Δ(2.2)(︀ 0)︀00(Δ )Δ ̸= 0 для Δ ∈ Δ− , Δ+ и Δ ̸= Δ.0ΔТогда справедливо следующее утверждение.Теорема 1.
Пусть передаточная функция () системы (2.1) невырождена,имеет нулевой полюс кратности 1, и остальные − 1 полюсов передаточной функции () имеют отрицательную вещественную часть.Если существует такое, что выполнены условия:(i) Re [ ()] > 0, ∀ ∈ (−∞, +∞);(ii) lim 2 Re [ ()] > 0;→+∞⃒⃒(iii) Re [ ()] ⃒> 0;=0freeто для произвольного фиксированного значения Δсистема (2.1) глобальноасимптотически устойчива.Доказательство. Без ограничения общности матрица имеет следующийвид:(︃=000 2)︃,где матрица 2 – гурвицева.
Таким образом, с помощью линейного преобразования → −freeΔ1систему (2.1) можно записать в эквивалентной форме:⎧⎪⎪˙ = 1 (Δ ),⎪⎨ 1˙2 = 2 2 + 2 (Δ ),⎪⎪⎪⎩˙ = + * + ( ).Δ1 1Δ2 2(2.3)Здесь 2 – постоянная (−1)×(−1) матрица, 2 и 2 – (−1)-мерные векторы,1 и 1 – числа.17Для доказательства Теоремы 1 обратимся к результатам работы [111,135], вкоторой принцип Красовского-Лассаля [136,137] был распространен на системыс цилиндрическим фазовым пространством:Теорема 2 ( [135] ).
Предположим, что стационарное множество системы(2.1) состоит из изолированных точек, и существует непрерывная функция (, Δ ) : R+1 → R такая, что:(i) (, Δ + 2) = (, Δ ), ∀ ∈ R , ∀ ∈ Z;(ii) (, Δ ) + (2Δ )2 → +∞ при || + |Δ | → ∞;(iii) для любого решения ((), Δ ()) системы (2.1) функция (, Δ ) являетсяневозрастающей;(iv) если ((), Δ ()) ≡ ((0), Δ (0)), тогда () ≡ const, Δ () ≡ const.Тогда система (2.1) глобально асимптотически устойчива.В условиях Теоремы 1 стационарное множество системы (2.3) состоит изизолированных точек.Будем искать функцию Ляпунова вида (, Δ ) = 21 + *2 2 2 + ∫︁Δ(Δ )Δ ,(2.4)0где есть положительное число, – положительно определенная (−1)×(−1)матрица, и покажем, что для такой функции Ляпунова выполнены условия() − () Теоремы 2.Для почти всех справедливо соотношение (см. [109, с.
277])= 21 1 () + 2*2 (2 2 + 2 ()) + () (1 1 + *2 2 + ()) ,1где () – доопределенная нелинейность. Выберем коэффициент = − 21 и по-кажем, что коэффициент > 0. Действительно, в силу условия () Теоремы 1справедливо[︂ (︂(︂ )︂)︂]︂ ⃒⃒⃒⃒10 < Re [ ()] ⃒= Re (1 , *2 ) ( − )−1− ⃒==0=02[︂ (︂)︂]︂ ⃒1 1⃒−1*= Re −+ 2 (2 − −1 ) 2 − ⃒= −1 1 .=018Для выбранного положительного коэффициента справедливо= 2*2 2 (2 2 + 2 ()) + () (*2 2 + ()) .По Теореме 1.2.7 [109] (при ̸= 0) и Теореме 1.2.10 [109] (при = 0) из условий () – () Теоремы 1 следует существование положительно определеннойматрицы 2 = 2* и числа > 0, удовлетворяющих соотношению2*2 2 (2 2+ 2 ) + (*2 2(︁2+ ) ≤ − || + 2)︁,∀ ∈ R−1 , ∈ R.Таким образом, существует функция Ляпунова (2.4), при почти всех удовлетворяющая соотношению(︁)︁22≤ − |()| + (()) .(2.5)Для функции Ляпунова (2.4) выполнены условия () и () Теоремы 2 и,кроме того, в силу неравенства (2.5) выполнено условие () Теоремы 2.Покажем, что условие () Теоремы 2 также выполнено.
Действительно, всилу (2.5) тождество ((), Δ ()) ≡ ((0), Δ (0)) может быть выполненотолько при 2 () ≡ O, () ≡ 0. Здесь () есть доопределенная функция, соответствующая траектории (), Δ (). Но тогда из первого уравнения системы(2.3) следует, что 1 () ≡ const, и, следовательно, выполнено условие () Теоремы 2.При выполнении условий Теоремы 1 система (2.1) глобально асимптотичеfreeски устойчива при произвольном фиксированном значении Δ, т. е. полосазахвата соответствующей СФС бесконечна. Приведем пример использованияТеоремы 1 для доказательства бесконечности полосы захвата СФС с идеальным ПИФ первого порядка с передаточной функцией () =1+2 1 (где 1 > 0,2 > 0).Заметим, что в обозначениях системы (1.6) передаточная функция ()записывается следующим способом: () = − * ( − )−1 + = () = 0 (),(2.6)19где () – передаточная функция ФНЧ вида (1.3), а 0 = – коэффициентусиления СФС.
Покажем, что существует такое, что выполнены условия () −() Теоремы 1:[︂]︂0 21 + 2 Re 0=> 0, ∀ ∈ (−∞, +∞) ;1 1]︂[︂0 2 21+22= lim> 0; lim Re 0→+∞→+∞1 1]︂[︂01 + 2 ⃒⃒=> 0. Re 0⃒=01 1Для рассматриваемой СФС 0 > 0, 1 > 0, 2 > 0, и поэтому можно выбрать = 1. Таким образом, применение Теоремы 1 обобщает результаты работ [91,107, 138] о полосе захвата СФС с идеальным ПИФ первого порядка.2.2Совпадение полос захвата и удержания СФСВ данной секции рассматривается случай когда матрица системы (2.1)является неособой и (0) ̸= 0, формулируется и доказывается частотный критерий глобальной устойчивости системы (2.1), который может быть примененв случае совпадения полос захвата и удержания [90, 101, 138].Рассмотрим следующую запись системы (2.1):⎧⎨˙ = + (Δ ),⎩˙ = * + ( ),Δ(2.7)Δкоторая получается с помощью преобразованийfree−1 Δ → − * −1, −freeΔ(Δ ) → (Δ ) + * −1.
−В дальнейшем будем предполагать, что функция (Δ ) является непрерывной кусочно-дифференцируемой периодической функцией с периодом 2 и име12ет два нуля Δ, Δна множестве [0, 2). При этом (Δ ) дифференцируема в12этих точках и ′ (Δ) > 0, ′ (Δ) < 0. В том случае, когда функция (Δ ) неявляется дифференцируемой в точке Δ , рассматриваем производные в этой20точке слева и справа: ′− (Δ ) и ′+ (Δ ). В дальнейшем множество этих двухзначений будем также обозначать, как ′ (Δ ).Теорема 3. Пусть (0) ̸= 0 и существует число > 0 такое, что всесобственные значения матрицы + имеют отрицательные вещественныечасти и|′ (Δ )| | ( − )| < , ∀ ∈ R, ∀Δ ∈ R.(2.8)Тогда любое решение системы (2.7) стремится при → +∞ к некоторомусостоянию равновесия.Доказательство.
Для доказательства теоремы требуется следующая лемма:Лемма 1. Пусть функция (Δ ) удовлетворяет условию Липшица, функцияΔ () дифференцируема в точке и ˙Δ () = 0. Тогда (Δ ()) также дифференцируема и (Δ ()) = 0.Это утверждение следует из следующей цепочки соотношений⃒⃒⃒ (Δ ( + ℎ)) − (Δ ()) ⃒ |Δ ( + ℎ) − Δ ()|⃒⃒≤→0⃒⃒ℎ|ℎ|при ℎ → 0.Из соотношения (2.8) следует существование числа > 0 такого, что > | ( − )|2 , ∀ ∈ R;2 > |′ (Δ )| , ∀Δ ∈ R.(2.9)(2.10)Рассмотрим теперь функцию ляпуновского типа (, Δ ) = * − ((Δ ))2 .(2.11)Справедливо следующее соотношение:˙ ((), Δ ()) + 2 ((), Δ ()) = 2()* (( + ) () + (Δ ())) −21− 2 ((Δ ()))2 − 2(Δ ())′ (Δ ())˙Δ ().(2.12)Следующим шагом докажем, что неравенство− 2(Δ ())2 − 2(Δ ())′ (Δ ())˙Δ () ≤ −(Δ ())2 + (˙Δ ())2(2.13)выполнено для почти всех .
Перепишем неравенство (2.13):(Δ ())2 + 2(Δ ())′ (Δ ())˙Δ () + (˙Δ ())2 ≥ 0.(2.14)В силу (2.10) цепочка неравенств2 (Δ ())2 + 2(Δ ())′ (Δ ())˙Δ () + (˙Δ ())2 > 2 (Δ ())2 ++ 2(Δ ())′ (Δ ())˙Δ () + ′ (Δ ())2 (˙Δ ())2 ≥(︁)︁2′˙≥ (Δ ()) + (Δ ())(Δ ()) ≥ 0.(2.15)справедлива для Δ (), в которых функция (Δ ) дифференцируема.В случае, когда Δ () – точка разрыва производной (Δ ), рассмотрим двеситуации. Если ˙Δ () ̸= 0, то неравенство (2.15) может не выполняться лишь визолированной точке .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
