Диссертация (1149334), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если же ˙Δ () = 0, то по Лемме 1)︀ (︀ 2 (Δ ()) = 0,и в этом случае неравенство (2.15) выполнено. Таким образом, доказано, чтонеравенство (2.13) справедливо для почти всех .Согласно Теореме 1.2.7 [109], если матрица + является устойчивой, ивыполнено неравенство⃒⃒2⃒ *⃒−1 − ⃒ ( − − ) + ⃒ > 0,2∀ ∈ R, ∈ R ∖ {0} ,(2.16)то существуют положительно определенная матрицы = * и число > 0такие, что при всех ∈ R и ∈ R выполнено неравенство2* (( + ) + ) − 2 + (* + )2 ≤ − 2 .(2.17)22Покажем, что в условиях Теоремы 3 неравенство (2.16) выполнено.
Матрица + является устойчивой, и, кроме того, для левой части (2.16) справедливаследующая цепочка равенств:⃒2⃒⃒⃒ *−1 − ⃒ ( − − ) + ⃒ = 2 −⃒2⃒⃒⃒ *−1− ⃒− ( − ( − )) + ⃒ 2 = 2 − | ( − )|2 2 .2Таким образом, в силу соотношения (2.9) доказано существование положительной матрицы и числа > 0, для которых справедливо (2.17).Из соотношений (2.12), (2.13) и (2.17) следует, что для почти всех имеетместо соотношение˙ ((), Δ ()) + 2 ((), Δ ()) ≤ −2 (Δ ()).(2.18)Из неравенства (2.18) следует следующее соотношение:˙ ((), Δ ()) ≤ −2 ((), Δ ()).(2.19)Соотношение (2.19) эквивалентно следующему неравенству:]︀ [︀ 2 ((), Δ ()) ≤ 0,(2.20)из которого вытекает оценка ((), Δ ()) ≤ −2 ((0), Δ (0)).(2.21)Таким образом, для любого решения системы (2.7) из соотношения (2.21)следует, чтоlim sup ((), Δ ()) ≡ 0,→+∞(2.22).Рассмотрим теперь два случая.
Пусть ((), Δ ()) ≥ 0 на ∈ [0, +∞).Тогда из неравенства (2.18) следует оценка˙ ((), Δ ()) ≤ −2 (Δ ()),(2.23)23и, следовательно, справедливо соотношение∫︁ ((), Δ ()) − ((0), Δ (0)) ≤ −2 (Δ ()).(2.24)0В силу неотрицательности ((), Δ ()) для произвольного ∈ [0, +∞) имеетместо оценка∫︁ 2 (Δ ()) ≤ ((0), Δ (0)),(2.25)0и, следовательно,∫︁+∞2 (Δ ()) ̸= +∞.(2.26)0Таким образом, Δ () имеет конечный предел при → +∞, равный одному из12корней Δ+2, Δ+2, ∈ Z функции (Δ ).
Отсюда из неотрицательности ((), Δ ()) и соотношения (2.22) следует, чтоlim () = 0.→+∞То есть, решение (), Δ () системы (2.7), для которого ((), Δ ()) ≥ 0 при ∈ [0, +∞), стремится при → +∞ к некоторому состоянию равновесия.Рассмотрим теперь второй случай. Пусть существует 0 > 0 такое, что ((0 ), Δ (0 )) < 0. Тогда в силу (2.20) для почти всех ≥ 0 справедливо ((), Δ ()) ≤ −2(−0 ) ((0 ), Δ (0 )) < 0.(2.27)Таким образом, решение (), Δ () системы (2.7) ограничено на интервале (0 , +∞) и содержится в одной из областей, ограниченной линией уровня (, Δ ) = 0 (см. рис.
2.1). Иными словами, существует число такое, что при ≥ выполнено одно из включений(︀ 1)︀2Δ () ∈ Δ+ 2, Δ+ 2(2.28)(︀ 2)︀1Δ () ∈ Δ+ 2, Δ+ 2( + 1) .(2.29)либо24xθ∆V(x,θ∆)=0Рисунок 2.1: Качественное поведение траекторий на фазовом портретесистемы (2.7).Заметим, что из системы (2.7) следует соотношение* −1 ()˙ − ˙Δ () = * () + * −1 (Δ ()) − * () − (Δ ()).(2.30)Проинтегрируем соотношение (2.30) по :)︀* −1 () − Δ () − * −1 (0 ) − Δ (0 ) =(︀∫︁ (0)(Δ ()).(2.31)0Тогда из условия теоремы (0) ̸= 0 и ограниченности решения (), Δ ()системы (2.7) следует, что∫︁+∞(Δ ()) ̸= ∞.(2.32)0При этом из (2.28) и (2.29) имеем неравенство(Δ ()) ̸= 0, ∀ ≥ 0 .Таким образом, из (2.32), (2.33) и равномерной ограниченности˙Δ () = * () + (Δ ())(2.33)2521+ 2 при+ 2 , либо к Δследует, что либо Δ () стремится при → +∞ к Δнекотором целом .
Аналогично доказательству первого случая, все решениясистемы (2.7) стремятся при → +∞ к некоторым состояниям равновесия. Рассмотрим пример, который демонстрирует эффективность полученногокритерия. Рассмотрим систему (2.7) с () =1+и треугольной характеристикой ФД: (Δ ) = (Δ ) − , ∈ (−1, 1),(Δ ) =⎧⎨ 2 Δ − 4,если − 2 + 2 ≤ Δ () ≤⎩− 2 + 2 + 4, если Δ2+ 2 ≤ Δ () ≤322+ 2,+ 2, ∈ Z.Все условия Теоремы 3 выполнены при = /2,2 >8.(2.34)При выполнении (2.34) для любого ∈ (−1, 1) имеет место глобальная асимптотическая устойчивость (т. е. любое решение системы (2.7) стремится к некоторому состоянию равновесия при → +∞).Это соответствует тому, что СФС достигает синхронизма при всех ∈(−1, 1), т.
е. (−1, 1) – полоса захвата. Кроме того, отрезок {} = (−1, 1) –это максимальное множество существования локально асимптотически устойчивого состояния равновесия, т.е. (−1, 1) – полоса удержания.В [138] с помощью метода припасовывания показано, что (2.34) – необходимое и достаточное условие совпадения полосы захвата и полосы удержания.Таким образом, в рассмотренном частном случае полученный частотный критерий дает точный результат.26Глава 3Анализ полосы захвата без проскальзывания систем ФАПЧ с идеальным ПИФ3.1Соотношение для нахождения полосы захвата безпроскальзыванияРассмотрим систему⎧⎨˙ = (Δ ),⎩˙ = free −ΔΔ01(3.1)( − 2 (Δ )) ,которая описывает СФС с идеальным ПИФ.
Пусть функция (Δ ) являетсякусочно-дифференцируемой, 2 -периодичной и имеет два нуля , на ин,тервале [0, 2). Кроме того, пусть (Δ ) имеет производную в точках , ) < 0.причем ′ () > 0, а ′ (Состояния равновесия системы (3.1) находятся из системы уравнений⎧⎨(Δ ) = 0,⎩ free − 0 ( − ( )) = 0.2ΔΔ1(3.2)Учитывая 2 -периодичность системы (3.1) по переменной Δ , состояниямиравновесия системы (3.1) являются(︂free1 Δ+ 2,0)︂(︂,free1 Δ+ 2,0)︂, ∈ Z.(3.3)27В силу 2 -периодичности системы (3.1) по переменной Δ типы состоянийравновесия (3.3) для произвольного совпадают с типами соответствующихсостояний равновесия при = 0. Определим тип состояний равновесия (3.3)при = 0.
Для этого воспользуемся критерием Рауса-Гурвица.Запишем линеаризованную систему около состояния равновесия(︁free 1 Δ, 0)︁для системы (3.1):(︃˙˙Δ)︃(︃=0− 10free1 Δ0Δ − )︃ (︃−′) (− 012 ′ ( ))︃(3.4).Характеристический полином системы (3.4) имеет вид⃒⃒ −′ ()⃒() = ⃒ ⃒ − 0 − 0 2 ′ ()−11⃒⃒0 2 ′ 0 ′ ⃒ ( ) + ( ).⃒ = 2 +⃒11(3.5)Запишем соответствующие (3.5) собственные числа 1 , 2 в зависимости от зна-)︀2ка выражения 0 2 ′ ()(︀):− 40 1 ′ (√︁2′ −()±(0 2 ′ ( )) −40 1 ′ ( )021,2 =,21′ − ( )1 = 2 = 0 22 1 ,√︁1,2 =)︀20 2 ′ () − 40 1 ′ () > 0;)︀(︀2) − 40 1 ′ () = 0;0 2 ′ (2 )− ′ ( ))︀240 1 ′ (( 0 2 ) (︀′ )) < 0.,(− 40 1 ′ (0 221−0 2 ′ ()±(︀Для произвольных положительных параметров 1 , 2 и 0 в силу условия) > 0 справедливо′ (Re 1 < 0,Re 1 < 0.(︁)︁free 1 ΔТаким образом, состояние равновесия , 0асимптотически устойчиво(︀)︀2и в зависимости от знака выражения 0 2 ′ () − 40 1 ′ () являетсяустойчивым узлом, устойчивым вырожденным узлом илифокусом.(︁ устойчивым)︁Аналогично установим тип состояния равновесия(︁ванная система около состояния равновесия ,(︃˙˙Δ)︃(︃=0− 10′)︁free1 Δ0free1 Δ0.
Линеаризо-имеет видfree1 Δ0Δ − )︃ (︃− ()− 012 ′ ( ),)︃.(3.6)28Характеристический полином системы (3.6) имеет вид⃒⃒ −′ ()⃒() = ⃒ ⃒ − 0 − 0 2 ′ ()−11⃒⃒0 2 ′ 0 ′ ⃒ ( ) + ( ).⃒ = 2 +⃒11В силу условия ′ () < 0 справедливо(︀)︀20 2 ′ () − 40 1 ′ () > 0,и собственные числа 1 , 2 записываются следующим образом:1,2 =−0 2 ′()±√︁(︀)︀ ) 2 − 4 ′ ( )0 2 ′ (0 121.Кроме того, для произвольных положительных параметров 1 , 2 и 0 выполненоRe 1 > 0,Re 1 < 0, Im 1 = Im 2 = 0.(︁)︁free 1 Δявляется неустойчивым седТаким образом, состояние равновесия , 0лом.Определим полосу захвата без проскальзывания системы (3.1) в соответствии с Определением 5 для нечетной функции (Δ ), дополнительно удовлетворяющей соотношению∫︁2() = 0.(3.7)0Из этого непосредственно следует, что = 0.
В Главе 2 было доказано, чтосистема (3.1) глобально асимптотически устойчива для произвольной разностиfreeчастот Δи параметров 1 > 0, 2 > 0, 0 > 0. Для нахождения полосызахвата без проскальзывания нужно найти максимальное отклонение частоты такое, что{︂(︂free 1 Δ+ 2,0∀˜ ∈ [0, ) .)︂ ⃒}︂⃒free ,˜ ) ⊂ lock−in ((−˜, ˜ )) ,⃒ ∈ Z, Δ ∈ (−˜(3.8)29xτ1ωfreeΔK0θΔsθequθeq-2̟suθeq+2̟θeq(︀ free )︀для синусоидальнойРисунок 3.1: Пример области захвата lock−in Δформы характеристики ФД.sθeq-2̟freeсистемы (3.1)Рассмотрим сначала структуру области захвата lock−in Δ(︀)︀(см. рис. 3.1):(︀ free )︀ ⋃︁freelock−in Δ= (Δ).∈ZfreeЗдесь (Δ) есть непересекающиеся области начальных состояний таких, чтосоответствующие им решения системы стремятся без проскальзыванияцикла(︁)︁free + 2, 1Δ0к асимптотически устойчивому состоянию равновесия или(︁)︁free1 Δсоседнему неустойчивому седловому состоянию равновесия + 2, 0free(см. рис.
3.2). Область (Δ) состоит из двух множеств точек фазовой плос-кости. Первое множество есть открытая область фазовой плоскости,ограничен)︁(︁ная устойчивыми сепаратрисами соседних по отношению к+ 2,free1 Δ0неустойчивых состояний равновесия и прямыми Δ = Δ−2 , Δ = Δ+2 . Вто-рое множество состоит(︁ из точек, которые)︁ лежат на устойчивых сепаратрисахсостояния равновесия + 2,Δ = Δ+ 2 .free1 Δ0, и ограничено прямыми Δ = Δ− 2 ,30xτ1ωfreeΔK0sθequθeq-2̟sθeq-2̟uθeqsθeq+2̟θΔuθeq+2̟freeРисунок 3.2: Пример области 0 Δдля синусоидальной формыхарактеристики ФД.(︀)︀Справедливо следующее соотношение:lock−in ((−˜, ˜ )) =⋂︁freelock−in (Δ)=⋃︁⋂︁free (Δ).(3.9)∈Z | free |<˜Δ|Δfree |<˜Заметим, что в силу 2 -периодичности системы (3.1) по переменной Δ обfreefreeласть +1 (Δ) получается из области (Δ) сдвигом Δ на 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
