Диссертация (1149334), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сигналы 1 (1 ()) и 2 (2 ()),генерируемые ЭГ и ПГ соответственно, поступают на входы аналогового перемножителя. Результирующий сигнал () = 1 (1 ())2 (2 ()) обрабатываетсяФНЧ. Сигнал (), полученный в результате фильтрации, является корректирующим сигналом частоты ПГ.8x(0)ЭГf1(θ1(t))ϕ(t)= f1(θ1(t))f2(θ2(t))ФНЧg(t)f2(θ2(t))ПГθ2(0)Рисунок 1.1: Модель классической СФС в пространстве сигналов.Цель работы СФС состоит в подстройке фазы 2 () ПГ к фазе 1 () ЭГ.Когда фаза ПГ подстраивается к фазе ЭГ, т.е. разность фаз ЭГ и ПГ становитсяпостоянной, ПГ генерирует сигнал той же частоты, что и ЭГ (см. рис.
1.2).1/ω1сигнал ЭГсигнал ПГ1/ω11/ω1корректирующий сигналсинхронизм0TlocktРисунок 1.2: Процесс втягивания СФС в синхронизм.Анализ модели СФС в пространстве сигналов является сложной задачей,так как данная модель описывается системой неавтономных дифференциальных уравнений(см., например, [68,75,76]).
Следуя классическим подходам, данная модель СФС с помощью методов усреднения [77, 78] может быть сведена9(см., например, [79–89]) к модели СФС в пространстве фаз сигналов, которая описывается с помощью системы автономных дифференциальных уравнений [9, 90, 91].x(0)ЭГθ1(t)ФДKdφ(θ1(t) - θ2(t))θ2(t)ПГФНЧG(t)θ2(0)Рисунок 1.3: Модель классической СФС в пространстве фаз сигналов.Рассмотрим модель СФС в пространстве фаз сигналов (см. рис. 1.3). ЭГ иПГ генерируют фазы 1 () и 2 (), соответственно. Эти фазы поступают на входФД.
Выход ФД в пространстве фаз сигналов называется характеристикой ФДи имеет вид (1 () − 2 ()).(1.1)Максимальное абсолютное значение характеристики ФД > 0 называетсякоэффициентом усиления ФД (см., например, [13, 70]). Периодическая функция (Δ ()) зависит от разности фаз 1 () − 2 () (эта разность называетсярасфазировкой и обозначается Δ ()). Форма характеристики ФД зависит отреализации СФС и форм сигналов ЭГ и ПГ – 1 (1 ) и 2 (2 ), соответственно(см., например, [79, 80, 82, 92, 93]).Выход ФД поступает на вход ФНЧ.
Вход ФНЧ (Δ ()) и выход ФНЧ() связаны следующим соотношением:⎧⎨()˙= () + (Δ ()),⎩() = * () + ( ()),Δ(1.2)10где – постоянная × матрица, () ∈ R – вектор состояния фильтра, и – постоянные -мерные векторы, – число. Передаточная функция ФНЧимеет вид () = −* ( − )−1 + , ∈ C1 .(1.3)Корректирующий сигнал () подстраивает фазу ПГ к фазе ЭГ:˙2 () = 2free + (),(1.4)где 2free – частота ПГ в разомкнутой цепи, а > 0 – коэффициент усиленияПГ.
Кроме того, частота сигнала ЭГ обычно предполагается постоянной:˙1 () ≡ 1 .(1.5)Система автономных дифференциальных уравнений, полученная из соотношений (1.2), (1.4) и (1.5), описывает математическую модель классической СФС впространстве фаз сигналов:⎧⎨˙ = + (Δ ),⎩˙ = free − * − ( ),Δ ΔΔ(1.6)freeгде Δ– разность частоты ЭГ и собственной частоты ПГ 1 − 2free .Стандартные характеристики ФД являются ограниченными кусочнодифференцируемыми1 2 -периодическими2 нечетными функциями [9, 90, 91].Для таких характеристик ФД преобразование(︀)︀(︀ free)︀freeΔ, (), Δ () → −Δ, −(), −Δ ()(1.7)не меняет систему (1.6).
При анализе системы (1.6) будем рассматривать толькоfreeΔ≥ 0 и использовать в дальнейших рассуждениях концепцию отклонениячастоты (frequency deviation)⃒ free ⃒ ⃒⃒⃒Δ ⃒ = ⃒1 − 2free ⃒ .1 т.е., кусочно-непрерывные функции, дифференцируемые на промежутках непрерывности.2 Методы анализа, используемые в работе, могут быть применены также для функций с некоторым периодомΔ.Например, для двухфазной схемы Костаса [37] периодΔ=(см., например, [94]).111.2Рабочие диапазоны СФСКлючевыми характеристиками работы СФС являются полоса удержания,захвата и захвата без проскальзывания, рассмотренные в основополагающихработах A.
J. Viterbi [91], F. M. Gardner [9], В. В. Шахгильдяна и А. А. Ляховкина [90]. Данные полосы, соответствующие множествам значений частотной расстройки, описывают способность функционирования СФС в желаемыхрежимах. Строгие математические определения рассматриваемых полос приведены в соответствии с работами [95, 96].Одним из приложений СФС является отслеживание частоты ЭГ подстраиваемым генератором (режим удержания, режим слежения, tracking process),т.е. при плавном изменении частоты ЭГ 1 СФС автоматически компенсируетрасстройку частот и тем самым не выходит из синхронизма.
Для определения диапазона частотной расстройки Δ , внутри которого возможно такое отслеживание, была предложена концепция полосы удержания (hold-in range) (см.,например, [9, 90, 91]). Строгое математическое определение полосы удержанияможет быть сформулировано следующим образом:Определение 1. Полосой удержания называется максимальный интервал от⃒ free ⃒клонений частот ⃒Δ ⃒ ∈ [0, ℎ ) таких, что математическая модель (1.6) СФСв пространстве фаз сигналов имеет асимптотически устойчивое состояние равновесия, которое непрерывно изменяется3 внутри данного интервала [0, ℎ ).Приведенное определение полосы удержания является актуальным с инженерной точки зрения. Следует отметить, что вообще говоря, множество отклонеfree ⃒ний частот ⃒Δ, для которых система (1.6) имеет асимптотически устойчивое⃒⃒состояние равновесия, не обязательно является связным [96].Для анализа асимптотической устойчивости состояний равновесия могутбыть использованы классические критерии устойчивости, например, критерийРауса-Гурвица [97, 98] (см., например, [99, 100]).
Состояния равновесия системы(1.6) могут быть найдены приравниванием правой части системы (1.6) к нулю.Для проверки асимптотической устойчивости вычисленных состояний равнове3 Устойчивые состояния равновесия можно рассматривать как многозначную функцию переменнойfreeΔ.Поэтому требуется⃒⃒ существование непрерывной ветви функции асимптотически устойчивых состояний равновесия для⃒ free ⃒ ∈ [0, ℎ )).Δ12сия к линеаризованной вокруг состояний равновесия системе (1.6) применяютклассические критерии устойчивости.Рассмотрим теперь процесс втягивания СФС в синхронизм. Для определе ния диапазона частотных расстроек Δтаких, что СФС достигает синхрониз-ма при любых начальных состояниях, используется концепция полосы захва-та (pull-in range) (см., например, [9, 90, 91]).
Приведем строгое математическоеопределение данной полосы:Определение 2. Полосой захвата называется максимальный интервал отклоfree| ∈ [0, ) таких, что что математическая модель (1.6) СФСнений частот |Δв пространстве фаз сигналов глобально асимптотически устойчива (то есть любое решение системы (1.6) стремится при → +∞ к некоторому состояниюравновесия).Для анализа полосы захвата используются методы анализа фазового пространства (см., например, [91,101–106]), методы построения функций Ляпунова(см., например, [107–111]), а также численные методы анализа. Стоит отметить,что применение каждого из методов анализа полосы захвата влечет определенные сложности.Применение методов анализа фазового пространства оказывается трудоемким даже для двумерного случая. Так, в работе [101] для анализа полосы захвата СФС с ПИФ первого порядка и треугольной формой характеристики ФДбыли получены условия возникновения устойчивого предельного цикла второго рода из гетероклинической траектории, идущей из седла в седло.
Позднее,в работе [103] были рассмотрены другие возможные варианты изменения качественного поведения траекторий фазовой плоскости (в частности, бифуркацияполуустойчивого предельного цикла второго рода), и получены новые выражения для вычисления полосы захвата. Однако, работа [103] содержала ряднеточностей, которые были устранены в [104].Применение метода построения функций Ляпунова в [107] позволило доказать бесконечность полосы захвата для СФС с идеальным ПИФ первого порядка.
Однако, применение данного метода к системам дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством в общем случае требует модификации классических критериев глобальной устойчивости [109, 111].13В случае применения методов численного интегрирования известны примеры [86,112], для которых численное моделирование является сложной задачей иможет приводить к неверным заключениям в силу возможного существованияскрытых колебаний (hidden oscillations) [113–119]).Рассмотрим теперь еще одну характеристику работы СФС.
Достижение режима синхронизма СФС может быть продолжительным по времени и сопровождаться нежелательным ростом разности фаз ЭГ и ПГ. Во многих приложениях СФС такой рост нежелателен, и для описания быстрого достижения СФСсинхронизма без проскальзывания (внутри одного цикла подстраиваемого генератора) используется концепция полосы захвата без проскальзывания (lock-inrange), предложенная IEEE Fellow F. M. Gardner [9]: “ If, for some reason, thefrequency difference between input and VCO is less than the loop bandwidth, the loopwill lock ,up almost instantaneously without slipping cycles. The maximum frequencydifference for which this fast acquisition is possible is called the lock-in frequency”.Однако, начальные состояния элементов СФС могут влиять на достижение синхронизма (см., например, [85,86,89]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
