Диссертация (1149252), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. . , −1 () роботов на 0 расположеныпо часовой стрелке;ii) расстояние между соседними роботами стремится к значению,которое соответствует их равномерному распределению > 20 sin|⊕1 () − ()| →2 0при → +∞∀,где ⊕ — суммирование по модулю .Рисунок 1.19 — Критическое расстояниеДоказательство i) теоремы 1.5.1: Это утверждение немедленноследует из утверждений ii) и iii) теоремы 1.4.1 вместе с последнимутверждением теоремы 1.1.1. Таким образом, при доказательстве утверждения ii) теоремы 1.5.1можно опираться на утверждение i) этой же теоремы. Очевидно, можнососредоточиться на анализе ситуации, складывающейся при ≥ , где момент66времени заимствован из теоремы 1.4.1. Далее символом o () (с возможныминдексом) обозначаем функции, которые экспоненциально стремятся к нулюпри → +∞.Лемма 1.5.1.

˙ () − () = o,* () для каждого робота .Доказательство: С одной стороны, ˙ () = ˙ () [ ()], где () —единичный вектор, касательный к окружности в точке . С другой стороны,вектор скорости робота () = () [ () ]. При этом () = () + ()∇[ ()]. Тогда, дифференцируя, получаем следующие соотношения: () = ˙ () + () ′′ [ ()] ˙ () + ˙ ()∇[ ()] ⇒⟨⟩′′˙⇒ ˙() = ⟨˙(); [()]⟩ = () − () [()] ˙() − ()∇[()]; [()] .Продолжим, принимая во внимание, что градиент ∇() ортогоналенкасательному вектору (),˙ () = ⟨ (); [ ()] ⟩ − () ˙ () ⟨′′ [ ()] [ ()]; [ ()] ⟩⇒ () ⟨ [ ()]; [ ()] ⟩⇒ ˙() = 1 + ().⟨ ′′ [ ()] [ ()]; [ ()] ⟩Остается заметить, что при → +∞ знаменатель экспоненциально стремитсяк 1, поскольку () = o (), тогда как в числителе ⟨ [ ()]; [ ()] ⟩ − 1 = o* ()в силу второго соотношения (1.10).

Пусть робот лежит на окружности 0 и ориентирован по касательнойк ней. Рассмотрим точку на 0 , расстояние по прямой от которой до роботане превосходит радиуса основной зоны учета. Простые тригонометрическиевыкладки демонстрируют, что в терминах расстояния вдоль окружностиэто равносильно неравенству ≤ := 20 arcsin 20 . Следовательно, точканаходится в основной зоне учета робота, а расстояние () до радиусов этой зонынепрерывно зависит от и в силу (1.28) увеличивается с ростом .

Используя (·) и из (1.12), положим V() := [ ()], если 0 ≤ ≤ , и V() := [ ( )]при ≥ . Также заметим, что V() строго возрастает на отрезке [ 0, ].Лемма 1.5.2. При всех достаточно больших справедливы следующиеутверждения:67i) если робот ⊕ 1 находится в основной зоне учета робота , то ˙ () =V [ |⊕1 () − ()| ] + o () − ();ii) в противном случае ˙ = ( ) + o,⋆ ().Доказательство:и леммы 1.5.1.

Обаутвержденияследуютиз(1.10),(1.12)Обозначим через R множество всех -предельных распределений R = −1{ }=0, через (R) — натуральный параметр точки на окружности,и через |⊕1 (R) − (R)| — длину дуги от до ⊕1 (по часовой стрелке).Лемма 1.5.3. Предположим, что робот ⊕ 1 находится в основной зонеучета робота в любой момент времени = , где → +∞ при → +∞.Тогда lim →+∞ |⊕1 () − ()| ≤ .Доказательство: Из теоремы Данскина [147] следует, что для > 0функция () := max{ |⊕1 ()− ()|; +} абсолютно непрерывна и для почтивсех , во-первых, ˙() = 0, если |⊕1 () − ()| ≤ + , и во-вторых, ˙() =˙ ⊕1 () − ˙ (), если |⊕1 () − ()| > + .

В последнем случае при достаточнобольшом робот ⊕ 1 находится за пределами основной зоны учета робота .Тогда по лемме 1.5.2 ˙ ⊕1 () ≤ ( ) + o⊕1,† (), ˙ () = ( ) + o,⋆ ()и поэтому ˙() ≤ o () (где в данной ситуации o () = o⊕1,† () − o,⋆ ()).Последнее, очевидно, распространяется на почти все . Поскольку ( ) = + при достаточно больших , при ≥ имеем:∫︁o ( ) () ≤ ( ) +∫︁∞lim () ≤ + +→+∞∫︁∞ ≤ + +o ( ) ,→+∞o ( ) ==⇒ lim () ≤ + ,→+∞откуда lim→+∞ | ⊕1 () − () | ≤ + . Остается устремить → 0. Лемма 1.5.4. | ⊕1 (R) − (R) | ≤ для всех и R ∈ R.Доказательство: Предположим обратное, — что |⊕1 (R) − (R)| > для некоторого и R ∈ R.

Введем множество := { ≥ 0 : робот ⊕ 1 лежит восновной зоне учета робота } и := { : |⊕1 (R)− (R)| ≥ , mes < +∞}.По лемме 1.5.3 ∈ , и потому ̸= Ø.68Заметим, что |⊕1 (R) − (R)| < ⇒ mes = +∞. Действительно,→+∞для таких существуют последовательность −−−−→ +∞ и > 0 такие, что|⊕1 ( ) − ( )| ≤ − 3 ∀.

По лемме 1.5.2 |˙ ()| ≤ < +∞ при ≈[︀]︀+∞ и для всех . Следовательно, при ≈ +∞ и ∈ − , + имеем:| () − ( )| ≤ ,| |⊕1 () − ()| − |⊕1 ( ) − ( )| | ≤ 2 ⇒ |⊕1 () − ()| ≤ − .]︀[︀Отсюда следует, что − , + ⊂ ∀ ≈ +∞. Следовательно,mes = +∞.> 20 , поэтому любая цепочкаВ силу (1.29) := 20 arcsin 20последовательно соседних роботов ( и ⊕ 1) из прерывается.

Таким образом,существует ∈ , для которого ⊕ 1 ̸∈ . Пусть () := 1, если ∈ ,и () := 0 в противном случае, и пусть — дополнение . По лемме 1.5.2[︀]︀˙ () ≥ ( ) + o,⋆ () (),[︀]︀[︀]︀ ();˙ ⊕1 () ≤ V( ) + o⊕1 () ⊕1 () + ( ) + o⊕1,† () ⊕1 () − ( ) () + o () ≤˙ ⊕1 () − ˙ () ≤ V( ) ⊕1 () + ( ) ⊕1 ∩ () + o () ≤≤ − [ ( ) − V( ) ] ⊕1 ∩ () + V( ) ⊕1 ∩ () + ( ) ⊕1≤ − [ ( ) − V( ) ] E () + [ V( ) + ( ) ] () + o ().Здесь E := ⊕1 ∩ = ⊕1∖ . Таким образом, mes E ≥ mes ⊕1 − mes ,причем уменьшаемое — это +∞, а вычитаемое конечно.

Следовательно,mes E = +∞. Произвольно выберем . Тогда для () := ⊕1 () − () имеем:∫︁∞lim [ ⊕1 () − () ] ≤ ( ) − [ ( ) − V( ) ]E () +∫︁ ∞∫︁ ∞+ [ V( ) + ( ) ] () +o () .→+∞Второе слагаемое в правой части равняется −∞, а остальные конечны.Следовательно, () → −∞ при → +∞,что нарушает неотрицательность() ≥ 0. Полученное противоречие завершает доказательство. 69Лемма 1.5.5. Существует R ∈ R такое, что |⊕1 (R) − (R)| < ∀.Доказательство: Предположим обратное.

По лемме 1.5.4 при любомR ∈ R для некоторого индекса : |⊕1 (R)− (R)| = . Пусть R — распределениес минимальным количеством таких индексов. Среди них существует такойиндекс , что := |⊕2 (R) − ⊕1 (R)| < , поскольку согласно (1.29) >→+∞20 . Рассмотрим последовательность −−−−→ +∞, которая порождает R.Также рассмотрим ∈ ( − , + ), и пусть → +∞, → 0. По лемме 1.5.2lim ˙ ⊕1 () ≤ V(),lim ˙ () ≥ V( ),lim [ ˙ ⊕1 () − ˙ () ] ≤ V() − V( ) < 0.Следовательно, существуют > 0 и ∈ ( , +) такие, что ⊕1 ( )− ( ) ≤⊕1 ( ) − ( ) − ∀ ≈ +∞.

Уменьшая и смещая к , добьемся,чтобы |⊕1 (R) − (R)| < ⇒ |⊕1 ( ) − ( )| ≤ − κ ∀ ≈ +∞.Тогда, выбрав из { [ 1 ( ), . . . , ( )] } сходящуюся подпоследовательностьи перейдя к ее пределу, получим -предельное распределение, для которогоиндексы со свойством |⊕1 − | = образуют собственное подмножествоаналогичного множеству, связанному с исходным распределением R, чтопротиворечит выбору его как распределения с минимальным количествомтаких индексов.

Лемма 1.5.6. |⊕1 (R) − (R)| < для всех и R ∈ R.Доказательство: По лемме 1.5.5 существует такое распределениеR ∈ R, что |⊕1 (R) − (R)| < < + < для всех . Здесь число выбрано таким образом, что при достаточно больших условие |⊕1 () − ()| ≥ влечет отсутствие у тормозящей компоненты. Из временнойпоследовательности, порождающей R, выберем момент такой, что |⊕1 ( ) −∫︀ ∞ ∑︀ ( )| < и |o ()| < + − , где o (·) взято из леммы 1.5.2; при этомиз неравенства |⊕1 () − ()| ≤ + следует, что если ≥ , то робот ⊕ 1лежит в основной зоне учета робота .

Согласно [147] функции () :=max |⊕1 ()− ()| и () := max{ (); } абсолютно непрерывны, и для почтивсех производная ()˙= ˙ 0 ⊕1 () − ˙ 0 (), где 0 — любой из индексов, прикоторых достигается соответствующий максимум, причем () ≤ ⇒ ˙() = 0,в то время как () ≥ ⇒ ˙() = ().˙Тогда при ≥ из леммы 1.5.2 следует:70[︀]︀ () ≤ + ⇒ ˙() = ˙ 0 ⊕1 () − ˙ 0 () = V | 0 ⊕2 () − 0 ⊕1 () | + o0 ⊕1 () −∑︁[︀]︀− 0 ⊕1 − V | 0 ⊕1 () − 0 () | + o0 () ≤ oΣ () :=|o ()|.Следовательно, () ≤ + ⇒ ˙() ≤ oΣ () почти при всех ≥ . Для крайнейлевой компоненты связности [ , + ) множества { ≥ : () < + } имеем:∫︁ ∈ [ , + ) ⇒ () ≤ ( ) +oΣ () < + (+ − ) = + .Отсюда следует, что + = +∞, т.е.

() < + < ∀ ≥ . Это соотношениеочевидно завершает доказательство. Доказательство ii) теоремы 1.5.1: По теореме Вейерштрассанепрерывное отображение R ∈ R ↦→ M(R) := max =0,..., −1 |⊕1 (R) − (R)| достигает своего максимума ∆max в некоторой «точке» R. Рассмотримпорождающую -предельное распределение R последовательность { } .0Сначала покажем, что ∆max ≤ 2 .0Предположим обратное: ∆max > 2 .

Тогда существует индекс такой,что | − ⊕1 | = ∆max > |⊕2 − ⊕1 | (в символах (R) опущен аргумент R).Здесь по лемме 1.5.6 ∆max < , и в силу (1.29) ∆max > . Тогдапри ∈ ( − , + ), достаточно малом > 0 и большом у робота в момент времени отсутствует торможение, робот ⊕ 2 находится в основной[︀]︀[︀]︀зоне учета робота ⊕ 1, а V | () − ⊕1 () | ≥ 2 + V | ⊕1 () − ⊕2 () | ,где > 0 не зависит от , , .

Таким образом, по лемме 1.5.2 при таких и ≈ +∞ верно неравенство ˙ ⊕1 () − ˙ () ≥ . Следовательно,⊕1 ( ) − ( ) ≥ ⊕1 ( ) − ( ) + , где := + . Выбравиз { [ 1 ( ), . . . , ( )] } сходящуюся подпоследовательность и перейдя к еепределу, получим -предельное распределение, при котором ⊕1 − ≥ ∆max + , что нарушает определение ∆max . Полученное противоречие доказывает,0что ∆max ≤ 2 .0Отсюда следует, что |⊕1 (R)− (R)| ≤ 2 для всех и R ∈ R, что в свою0очередь влечет неравенство lim→+∞ |⊕1 () − ()| ≤ 2 ∀, при этом−1∑︁=0|⊕1 () − ()| ≡ 2 0 .71Таким образом, lim→+∞ |⊕1 () − ()| =завершает доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации