Диссертация (1149252), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ранее рисунок 1.1).Расстояние между роботом и областью вычисляется как минимальноерасстояние между роботом := (,)⊤ и точкой области :() := dist [(); ] , dist [; ] := min‖ − ⋆ ‖.⋆ ∈(2.3)Геометрическое место точек на расстоянии 0 от области , представленноена рисунке 2.1, называют 0 -эквидистантой этой области:E(0 ) := { : dist [; ] = 0 }.(2.4)Рисунок 2.1 — Эквидистанта E(0 ) области Задача отслеживания границы состоит в следующем: разработать законуправления, который асимптотически выводит робота на 0 -эквидистанту E(0 )и обеспечивает его дальнейшее движение вдоль эквидистанты E(0 ): () → 0при → +∞.
В то же время расстояние между роботом и областью должно85постоянно превышать определенное безопасное значение ⋆ ≤ () ∀ , где ⋆ ∈[ 0, 0 ).Рассматривается следующий закон управления:{︁}︁˙() = sgn () + () [ () − 0 ] ,⎧⎨,если || ≤ ,() :=⎩ sgn (), если || > ,(2.5)(2.6) := ,где () — линейная функция с насыщением (см. ранее рисунок 1.3), > 0и > 0 — параметры регулятора. Фактически это закон (1.2) для частногослучая скалярного поля, когда поле — это расстояние до области. Посколькурегулятор (2.5) разрывный, решения замкнутой системы, как и ранее,понимаются в смысле Филиппова [145; 167].Представленный в параграфе 2.1 результат справедлив и для регулятора{︁}︁˙() = − sgn () + () [ () − 0 ](2.7)с противоположным знаком. Единственное отличие состоит в том, чтопри применении (2.5) робот обходит область так, что остается слева от него,в то время как (2.7) меняет направление обхода, и в конечном счете находитсясправа от робота.2.1.2Предположения, необходимые условия и основной результатВвиду ограничений на кривизну пути робот с указанными ограничениямина угловую и линейную скорости не способен двигаться по сильно искривленнойэквидистанте.
Следовательно, существуют не зависящие от закона управленияусловия согласованности этих ограничений со свойствами области, нарушениекоторых влечет невозможность отслеживания эквидистанты. Данный разделчастично посвящен выявлению этих необходимых условий. Основной результатпараграфа 2.1 показывает, что при незначительном и частично неизбежномусилении этих условий задача решается предложенным регулятором86при условии его адекватной настройки, при этом приведены рекомендациипо настройке.Начнем с чисто технического предположения.Предположение 2.1.1. Область замкнута; ее граница является 3 -гладкой, компактной и регулярной кривой.При этом не предполагается, что область выпуклая.Пусть κ() — ориентированная кривизна границы в точке ∈ ,при этом κ() < 0 на вогнутостях и κ() ≥ 0 на выпуклостях (см.
ранеерисунок 1.5). Тогда κ () := |κ()|−1 — радиус кривизны. Точка ̸∈ называется фокальной, если dist [; ] = ‖ − * ‖ = κ ( * ) и κ( * ) < 0для некоторой проекции * ∈ точки на область , т.е. такой точки * ,что dist [; ] = ‖ − * ‖. Если имеет две различные проекции * , ⋆ , то онаназывается кратной, и кратной точкой излома, если , * , ⋆ не коллинеарны.Различные типы точек показаны на рисунке 2.2.кратная точка изломаточка минимального расстоянияфокальнаяточкакасательная окружностьточка минимального расстоянияРисунок 2.2 — Различные типы точекВыпуклые области не имеют ни фокальных, ни кратных точек.Для невыпуклых областей такие точки обычно связаны с особенностямиэквидистанты.
В силу (2.2) робот может двигаться только вдоль гладкихрегулярных кривых. Поэтому отслеживание эквидистанты возможно только,если она не содержит особых точек, как утверждает следующая лемма.Лемма 2.1.1. Пусть робот движется вдоль требуемой 0 -эквидистанты(2.4). Тогда его путь не содержит ни кратных точек излома, ни фокальныхточек.87Постановка задачи подразумевает, что робот должен пройти (причеммногократно) всю 0 -эквидистанту. Поэтому по лемме 2.1.1 указанные в нейточки должны отсутствовать по всей длине эквидистанты, иначе цельуправления не достижима. Кратные точки (но не кратные точки излома)являются либо точками самопересечения 0 -эквидистанты, в которых онакасательна к самой себе, либо появляются в результате коллапса эквидистантыв точку.
Такие точки возможны только в случае невыпуклых областейи для множества значений 0 меры ноль (в смысле Лебега). На практикевероятность выбора такого 0 ничтожно мала, поэтому данная ситуацияне рассматривается.Предположение 2.1.2. 0 -эквидистанта (2.4) не содержит ни кратных,ни фокальных точек.Следующее наблюдение заключается в том, что робот (2.2) не можетотслеживать сильно искривленные кривые, поскольку радиус его поворотаограничен снизу положительной константой −1 .
Данное обстоятельствонакладывает дополнительные условия, необходимые для отслеживанияэквидистанты.Лемма 2.1.2. Пусть робот движется вдоль 0 -эквидистанты (2.4).Тогда в любой момент времени| 0 + κ sgn κ | ≥ () −1 ,(2.8)где кривизна κ и радиус кривизны κ вычисляются в точке, являющейсяпроекцией положения робота на .Если распространить (2.8) на все допустимые в (2.1) значения скорости(что разумно, поскольку профиль скорости заранее неизвестен) и на всюкривую E(0 ) (в силу изложенных ранее причин), получится следующеепредположение.Предположениенеравенство:2.1.3.
Всюдуна0 -эквидистанте| 0 + κ sgn κ | > , := −1 .(2.4)выполнено(2.9)88Здесь левая часть — это радиус кривизны E(0 ), а — минимальныйрадиус поворота робота, движущегося с максимальной скоростью ≡ .Таким образом, данное предположение означает, что робот способен оставатьсяна кривой E(0 ) при движении с любой допустимой скоростью ∈ [ , ].Предположение 2.1.3 покрывает предположение 2.1.2 в части, касающейсяфокальных точек.Перечисленныхпредположенийдостаточнодлялокальнойасимптотической устойчивости робота, управляемого регулятором (2.5).Чтобы обеспечить нелокальную сходимость к заданному расстоянию 0 ,как правило, требуется определенная степень управляемости регулируемоговыхода . Можно показать, что условие (2.9) также отвечает за локальнуюуправляемость вблизи E(0 ): робот может не только двигаться вдоль даннойкривой, но и отклониться от нее в любую сторону.
Если распространитьэту управляемость на переходный процесс, получим следующее предположение,покрывающее предположения 2.1.2 и 2.1.3.Предположение 2.1.4. Существует промежуток [ − , + ], 0 < − < +расстояний (2.3) до границы со следующими свойствами:i) предположения 2.1.2 и 2.1.3 справедливы при замене 0 любой точкойданного промежутка;ii) − > ⋆ и 0 ∈ [ − , + ];iii) для начального расстояния in от робота до границы выполненоследующее неравенство:− + † ≤ in ≤ + − † ,† := 4 − 2 , := −1 ,где := −1 .(2.10)Последнее предположение относится к начальному состояниюи «активно» только для невыпуклых областей.
Для его формулировкинеобходимо ввести ряд конструкций. Обозначим через Pr () множествовсех проекций точки ∈ R2 на . Для множества ⊂ R2 объединение⋃︀∈ Pr () называется проекцией на . Пусть — такое компактноевыпуклое множество, что ∩ = Ø. Это множество называется частичноотделимым от области , если и его проекция на могут быть отделеныдруг от друга прямой.89Предположение 2.1.5. Диск радиусом † (2.10) с центром в начальномположении робота in частично отделим от области .По предположению 2.1.1 граница компактна. Поэтомутакже компактны и -эквидистанты с из интервала, указанногов предположении 2.1.4.
Опираясь на эти наблюдения несложно показать,что в силу непрерывности неравенство (2.9) распространяется на все этикривые и выполняется на них равномерно: существует ∈ (0, 1) такая, что| + κ sgn κ | ≥ −1 (2.11)на -эквидистанте для любого ∈ [ − , + ].Следующая теорема является ключевым результатом параграфа 2.1.Теорема 2.1.1.
[139] Пусть выполнены предположения 2.1.4 и 2.1.5. Тогдапараметры > 0 и > 0 закона управления (2.5), (2.6) могут быть выбранытаким образом, что минимальное расстояние (2.3) от робота до области экспоненциально стремится к требуемому значению() → 0при → +∞,(2.12)и робот постоянно находится на безопасном расстоянии от области() ≥ ⋆ ∀ .
По истечении достаточно большого времени робот движетсявдоль 0 -эквидистанты (2.4) так, что область расположена слева от него.Для справедливости сформулированных утверждений достаточновыбрать параметры регулятора так, чтобы выполнялись следующиенеравенства:< (1 − ) −1 .(2.13) < 1 и √︀21−Для конкретных и ∈ (0, 1) неравенства (2.13) будут заведомо√︀выполнены при достаточно малом : < −2 − 1 (1 − ) −1 .Заключение теоремы 2.1.1 верно и для закона управления (2.7)с точностью до замены «слева» на «справа» в формулировке теоремы.902.2Постановка задачи многоагентного децентрализованногоотслеживания границы областиРассмотрим мобильных роботов на плоскости. Управление -ымроботом осуществляется не только угловой , но и линейной скоростью,а сам робот описывается уравнениями (2.1) и (2.2), где переменные, , , , снабжены нижним индексом .
Все роботы имеют общие ограничения, , .1 Требуется вывести каждого робота на общую 0 -эквидистанту (2.4)области и обеспечить их дальнейшее движение вдоль данной кривойв одном направлении, исключая при этом столкновения роботов другс другом. Эффективное решение данной задачи подразумевает, что роботыне сбиваются в тесные группы, т.е. не происходит кластеризации; более того,предпочтительно их равномерное распределение вдоль кривой.Каждый робот может определять относительные положенияи направления других роботов в пределах своей зоны видимости vz ,которая состоит из множества точек, удаленных от текущего местоположенияробота не более, чем на 0 . Исследуем два сценария:С.1) данные об относительном положении робота-компаньона доступнытолько тогда, когда компаньон лежит в vz и «не закрыт» областью ;С.2) область не влияет на измерения относительных положений, и данныевсегда доступны в пределах диска видимости.Примером первого сценария может служить группа колесных роботов,отслеживающих область, ограниченную стеной, которая не пропускаетсигналы, необходимые для определения относительных положений.
Примервторого сценария — патрулирование «с воздуха» некоторой области на землегруппой летательных аппаратов.Роботы анонимны друг для друга: они не обладают никакойидентификацией, благодаря которой одного робота можно было бы выделитьсреди остальных. Также отсутствует какое-либо общение роботов друг с другомили с «третьей стороной».1При необходимости данное условие может быть эмулировано путем уменьшения значений , и увеличения для конкретных роботов, при условии, что интервал допустимых скоростей каждого роботасодержит общий подинтервал ненулевой длины. Другими словами, роботы должны обладать соизмеримымивозможностями касательно скорости.912.3Закон управленияПусть предположения теоремы 2.1.1 выполнены для каждого робота .Управление угловой скоростью происходит согласно закону (2.5), где := , := и := — расстояние от данного робота до области .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
