Диссертация (1149252), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть → 0, тогда vir→ 0, [ ] → 0, | → , |vir|→ 0 и (А.4) превратится в − ≥ 0. Но > 0, > 0, > 0.Полученное противоречие завершает доказательство. 217Будем говорить, что роботы и , ̸= образуют кластер в смысле-предельного распределения R, если ∞= ∞ . Из леммы А.3.1 вытекаетследующий факт.Следствие А.3.1.i) Если роботы , , ̸= не образуют кластер в смысле некоторого-предельного распределения, то они не образуют кластер и для всехдругих -предельных распределений.ii) Наоборот, если роботы , , ̸= образуют кластер в смысленекоторого -предельного распределения, они образуют кластерв смысле всех прочих -предельных распределений.iii) Если роботы , , ̸= образуют кластер в смысле некоторого-предельного распределения, то () − () → 0 при → +∞.Действительно, если iii) неверно, существует такая последовательность{ } и > 0, что → +∞ при → +∞, и ‖ ( ) − ( )‖ ≥ ∀ .
Переходяк подпоследовательности, получим ( ) → ∞ при → +∞ для любого .В соответствующем -предельном распределении роботы и будут отделеныдруг от друга расстоянием не меньше , что противоречит ii).Кластер — это максимальная группа роботов такая, что () − () →0 ∀ , ∈ при → +∞. В силу замечания А.3.2 роботы одного кластераасимптотически сонаправлены:‖ () − () ‖ → 0 при → +∞.(А.5)Следствие А.3.2. Существуют > 0 и > 0 такие, что для любых двухроботов , , ̸= выполнено одно из следующих утверждений:i) роботы находятся в одном кластере;ii) ‖ () − ()| ≥ и ‖ () − ()| ≥ при всех ≥ .Лемма А.3.2. Существуют момент времени и константа − > 0 такие,что при ≥ для любых двух роботов , , ̸= из одного кластерасправедливо следующее утверждение:i) если робот находится в ДЗУ робота , то вектор скорости робота относительно образует с вектором угол |≤ * := min{,2−− } ,а значение его относительной скорости не меньше − .218Доказательство: В силу (А.5) не только () − () → 0 при → +∞,но и |() → 0 при → +∞.
Таким образом, достаточно показать, что () ≥ () + − при всех достаточно больших , удовлетворяющих условиям леммы.(︀ )︀Для таких имеем: ⋆ = 0 и | = | ( ‖ − ‖ ) → при → +∞.Значит, робот — ближайший сосед робота при условии, что достаточновелико. Из определения тормозящей компоненты следует, что[︂]︂||+ | − ≥ − 1 − + | ≥ − ≥ [︂]︂|→+∞≥− 1− + + | −−−−→ . Используя (2.16), получим − = [ ⋆ ] − − [ ⋆ ] + ≥→+∞≥ [ 0 ] − [ 0 ] + − = − −−−−→ > 0,что завершает доказательство. Из двух радиусов, ограничивающих ДЗУ (см. рисунок 1.6), одинполучается путем поворота другого против часовой стрелки.
Будем называтьего передним радиусом.Следствие А.3.3. Начиная с момента из леммы А.3.2 для любых роботов, , ̸= из одного кластера справедливы следующие утверждения:i) если робот находится в ДЗУ робота , он может покинутьвнутренность этой зоны, только если пересечет и оставит позадипередний радиус;ii) робот не может попасть внутрь ДЗУ путем пересеченияего переднего радиуса.Лемма А.3.3. Для любого достаточно большого момента времени среди любых двух роботов , , ̸= из общего кластера один, скажем ,постоянно находится в ОЗУ робота , и при этом робот не попадает в зонуучета .Доказательство: Достаточно доказать утверждение для любойконкретной пары роботов одного кластера.
Сосредоточим рассмотрение219на ≥ с достаточно большим . Основываясь на замечаниях А.1.1 и А.1.2,выберем таким, что движение обоих роботов происходит по интегральнымкривым автономного дифференциального уравнения ˙ = (); для него E(0 )является предельным циклом. Увеличим и выберем † ∈ (0, ) так, чтодиск D[ (), † ] радиусом † с центром в точке () разбивается дугойA ∋ интегральной кривой на две компоненты связности.
Увеличивая и уменьшая † (если необходимо), получим, что для () ∈ D[ (), † ]часть Z () ∩ D[ (), † ] ∖ { } ДЗУ Z () полностью находится в одной+из этих комопонент P + (), и при нахождении () в P () ДЗУ робота ()не содержит (). Нетрудно заметить, что † и могут быть выбраны такимобразом, что вышеуказанные свойства сохранятся при взаимной перестановкеиндексов и .Предположим, что в некоторый момент времени ≥ один из роботов,скажем , находится в ДЗУ Z ( ) другого робота . Тогда ( ) ∈ P + ( )и ( ) ̸∈ A ( ).
Поскольку разные интегральные кривые не пересекаются,робот никогда не пересечет A (). Таким образом, () ∈ P + () ⇒ () ̸∈ Z () ∀ ≥ .(А.6)Согласно следствию А.3.3 со временем робот покидает ДЗУ Z (), пересекаяее передний радиус FR (), и тем самым попадает в ОЗУ S (), в дальнейшемне покидая S () через FR ().
Таким образом, множество S () является«непроходимым» для робота . Также робот не может покинуть S ()через другой радиус, поскольку он не покидает P + (), а также через дугуна границе ОЗУ (см. рисунок 1.6), так как ‖ () − ()‖ ≤ † < < .Итак, робот постоянно находится в ОЗУ робота при ≥ * . Следовательно,робот не находится в ОЗУ робота при ≈ +∞ в силу (А.5) и элеменатрныхпланиметрических соображений (см. рисунок 1.6).
Также робот не находитсяи в ДЗУ робота в силу (А.6). В результате убеждаемся, что робот находитсявне зоны учета робота .Остается рассмотреть случай, когда ни один из роботов , не находитсяв ДЗУ другого ни при каком ≥ . Опираясь на (А.5), заметим, что при ≈+∞ один из роботов, скажем , будет находиться в зоне учета () другогои тем самым в ОЗУ S (). Робот не сможет покинуть S () через «верхний»ограничивающий радиус (см. рисунок 1.6), поскольку тогда он должен попасть220в ДЗУ Z (), что невозможно в рассматриваемом случае. Он также не можетпересечь другой ограничивающий радиус, поскольку тогда робот окажетсяв Z () при ≈ +∞, что следует из (А.5) и рисунка 1.6.
Таким образом, робот будет постоянно находиться в S (). Суммируя вышеизложенное, получаем, что () ̸∈ S (), и при этом в нашем случае () ̸∈ Z (). То есть робот находитсявне зоны учета робота . Следующаялеммапосутипри доказательстве утверждения 2.4.2.являетсяосновополагающейЛемма А.3.4. Любой кластер может содержать только одного робота.Доказательство: Предположим обратное: что некоторый кластер содержит более одного робота.
Приняв во внимание лемму А.3.3, рассмотримориентированный граф Γ с множеством вершин , у которого ребро направленоиз в в том и только в том случае, если робот постоянно находится в ОЗУробота (при достаточно большом ) и при этом робот никогда не лежит в зонеучета робота .
В силу (А.5) и элементарных геометрических соображений(см. рисунок 1.6) такой граф не содержит циклов. Следовательно, существуетвершина ∈ , из которой не выходит ни одного ребра, но при этом естьвходящее в ребро от некоторой другой вершины ∈ .∞Пусть R = [ ∞1 , . . . , ] — -предельное распределение, { } — временнаяпоследовательность, порождающая R. Рассмотрим ∈ ( −, +) и устремим → +∞, → 0.
Поскольку линейные и угловые скорости роботов ограничены,‖ () − ∞ ‖ → 0,(︀)︀^ (), (∞)→0∀ .Так же, как в доказательстве леммы А.3.1, сопоставим R виртуальных∞роботов. Всякий раз, когда ∞ ̸= , предположение 2.4.3 гарантирует, чтоОЗУ робота vir не содержит vir и расстояние | от ∞до радиуса,ограничивающего ОЗУ робота vir , отлично от нуля. По непрерывностиэти свойства можно распространить на реальных роботов и рассматриваемые при условии, что достаточно большое, а > 0 достаточно малое.По лемме А.3.3 отсюда следует, что ДЗУ любого робота пуста (бытьможет, за исключением ее переднего радиуса), а соответствующая ОЗУ можетсодержать робота из другого кластера, и в этом случае ( ) ≥ :=}︀{︀∞ > 0.;min 21 min∞≠|221Если ОЗУ робота пуста, ⋆ = и в силу (2.16) − = (⋆ ) − [ (⋆ ) − ] ≥ () − ( ‖ − ‖ ),lim( − ) ≥ () − (0),(А.7)→+∞, →0где предел берется по всем , для которых имеет место вышеуказанная«пустота».
Если же данная ОЗУ не пуста, то она может содержать толькороботов другого кластера. Таким образом, ⋆ ≥ и (⋆ ) − (⋆ ) ≥ () − ( ‖ − ‖ ),lim( − ) ≥ 0,→+∞, →0так что (А.7) снова выполнено. Поэтому для любых достаточно больших и достаточно малых () − () ≥ :=1[ () − (0) ] > 0 ∀ ∈ ( − , + ).2Воспользовавшись (А.3), получим(2.1)‖ − ‖ ≥ ( − ) cos | − ‖ − ‖ ≥(А.5) 1 cos ∀ ≈ +∞.≥ cos − ‖ − ‖ ≥2Из этого следует, что ‖ ( + ) − ( + ) ‖ ≥ 12 cos , что нарушаетутверждение iii) в следствии А.3.1. Полученное противоречие завершаетдоказательство.
Доказательство утверждения 2.4.2: Утверждения i) и iii) нетруднополучить из следствия А.3.1 и леммы А.3.4; утверждение ii) следует из(2.19), поскольку E(0 ) — регулярная кривая по предположениям 2.1.1 и 2.1.4;а утверждение iv) вытекает непосредственно из iii). .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
