Диссертация (1149252), страница 35
Текст из файла (страница 35)
211210Список таблиц123Параметры первой серии моделирования . . . . . . . . . . . . . .Параметры второй серии моделирования . . . . . . . . . . . . . .Параметры третьей серии моделирования . . . . . . . . . . . . . .7273734Параметры моделирования . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1045Параметры моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416Параметры моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183211Приложение АДоказательство второстепенных результатов главы 2А.1Вспомогательные технические фактыВ данном параграфе частично изложены результаты работы [139],которые используются далее в приложении, однако не выносятся на защитуи принадлежат Овчинникову К.С. Соответственно, доказательства опущены,интересующийся читатель может найти их в [139].Рассматриваем ситуацию, описанную в разделе 2.1.1. В системеуправления, замкнутой законом (2.5), поверхность разрыва определяетсяследующим уравнением в фазовом пространстве: := cos + [ () − 0 ] = 0,где — угол, на который ориентирован робот относительно подвижнойсистемы координат с началом в проекции * точки на область и осьюабсцисс, направленной к (см.
рисунок А.1). Через M обозначим часть этойповерхности разрыва, где ∈ [ − , + ], а через M+ — участок, на которомsin > 0.Рисунок А.1 — Подвижная система координатЗамечание А.1.1. При выполнении (2.13) M+ является поверхностьюскольжения, а движение в скользящем режиме по этой поверхностиудовлетворяет дифференциальному уравнению ′ = ().212Здесь ∈ { : − ≤ dist [; ] ≤ + }, а единичный вектор () ∈ R2получается вращением из (− * ) ‖− * ‖−1 , где * ∈ — точка минимальногорасстояния до области .
Вращение осуществляется против часовой стрелкина угол такой, что cos = −( − 0 ), sin > 0. Можно показать, чтовведенное векторное поле липшицево.Лемма А.1.1. Если робот либо начинает движение из M+ , либо достигаетM, то → 0 при → +∞, и () ∈ [ − , + ] ∀ ≥ 0 . При этом сходимость → 0 экспоненциально быстрая.Замечание А.1.2. Робот, управляемый согласно (2.5), при выполнении (2.13)проходит следующие последовательные этапы (продолжительность первогоможет быть нулевой):i) движение с постоянным управлением ≡ ± в течение не более,чем 3 −1 единиц времени;ii) движение в скользящем режиме по поверхности M+ .А.2Доказательство утверждения 2.4.1Для доказательства потребуется следующая лемма.Лемма А.2.1. Столкновение двух роботов возможно только в том случае,если оба находятся на этапе ii), описанном в замечании А.1.2.Доказательство: Предположим обратное: два робота и сталкиваютсяв момент времени ⋆ , когда один из них, скажем , находится на этапе i).Тогда ⋆ ≤ 3 −1 , и по лемме A.2 из [112] (⋆ ) лежит в диске D радиусом †с центром в начальном положении данного робота.
За это время робот проходит расстояние не больше, чем 3 −1 . Поскольку † + 3 −1меньше, чем начальное расстояние между роботами, то по утверждению 2.4.1столкновение невозможно, что нарушает начальное предположение.Полученное противоречие завершает доказательство. Доказательство утверждения 2.4.1: Кривая E(0 ) может бытьгладко параметризована точками границы , которая компактна213по предположению 2.1.1. Поэтому кривая E(0 ) также компактна и (2.19)немедленно следует из (2.12).Предположим, что в нарушение заключения теоремы роботы и , ̸= сталкиваются, т.е. ℳ := { ≥ 0 : () ̸= ()} ≠ [ 0, + ∞).
Тогда существуеттакой момент времени ∈ ( 0, + ∞), что () ̸= () ∀ ∈ [ 0, ), ( ) = ( ).По лемме А.2.1 и замечанию А.1.1, начиная с некоторого момента времени⋆ < , оба робота двигаются по интегральным кривым автономногодифференциального уравнения ′ = (). Ввиду столкновения эти кривыепересекаются и, значит, совпадают. Пусть () и () — натуральныекоординаты (соответствующие длине дуги, пройденной вдоль этой общейкривой) роботов в окрестности точки столкновения ( ) = ( ). Тогда ˙ = ,˙ = , ( ) = ( ) и () ̸= () при < , ≈ .
Из непрерывностифункций (·) и (·) следует, что одна из них, скажем (·), всегда превосходитдругую: () < () при < , ≈ . Далее будем рассматривать толькотакие .Нетрудно заметить, что робот — ближайший сосед робота и находитсяв его основной зоне учета. Поэтому () ≥ | () [ 1 + (0)−1 (0)−1 (0)−1 () ],| () = [ |() ] [ | () ] [ ‖ () − ()‖ ].При → − 0 имеем: () − () → 0,| () → 0, () − () → 0,⋆ () → 0,|() → 0,| () → 0 := (0) (0) (0);(2.16)lim ˙ () − ˙ () = lim () − () ==→ −0(2.16)→ −0]︀== lim [ ⋆ ()] − () − [ ⋆ ()] + () ≥→ −0[︀(︀)︀]︀≥ lim [ ⋆ ()] − [ ⋆ ()] + | () + | () 0−1 − 1 () ≥[︀→ −0≥ [ 0 ] − [ 0 ] + 0 = 0 > 0.214Таким образом, () > () ∀ < , ≈ ⇒ ( ) > ( ), тогда как ( ) = ( ). Полученное противоречие завершает доказательство. А.3Доказательство утверждения 2.4.2Для доказательства утверждения дополнительно установим нескольколемм и вытекающих из них следствий.
Прежде всего заметим, что в силупредположения 2.1.1 верен следующий факт.Замечание А.3.1. Эквидистанта E(0 ) и любое множество вида { : 0 < 1≤ dist [; ] ≤ 2 < +∞} компактны.Пусть () — единичный вектор направления робота . Объединивзамечания А.1.1 и А.3.1, получим следующее утверждение.Замечание А.3.2. Для любого > 0 существуют > 0 и такие, что^ ( (), ()) < при ≥ и ‖ () − ()‖ < .Обозначим через () проекцию текущего положения () робота на кривую E(0 ) при ≈ +∞.
В силу (2.19) и замечаний А.1.1, А.3.2‖ () − ()‖ → 0,‖ () − [ ()] ‖ → 0 при → +∞.(А.1)∞Напомним, что -предельное распределение R = [ ∞1 , . . . , ] — это любойпредел lim→+∞ [ 1 ( ), . . . , ( ) ], связанный с неограниченно возрастающей→+∞временной последовательностью 1 < 2 < . . . < −−−−→ +∞. Из (2.19)и замечания А.3.1 следует, что множество -предельных распределенийне пусто и компактно, при этом ∞∈ E(0 ) ∀ . Кроме того, любаянеограниченно возрастающая временная последовательность порождаетпо меньшей мере одно такое распределение: существование требуемого пределаобеспечивается переходом к соответствующей подпоследовательности.Будем говорить, что роботы и , ̸= -приближаются друг к другув момент времени , если ‖ ( ) − ( )‖ = и ‖ () − ()‖ > при < , ≈ .215Лемма А.3.1.
Для любого достаточно малого > 0 существует такоймомент времени , что -приближения роботов друг к другу невозможныпри ≥ .Доказательство: Предположим обратное. Тогда найдется множество ,составленное из чисел > 0, для которых не существует такого моментавремени , и содержащее сколь угодно малые числа. Выберем ∈ .
Для него→+∞существует последовательность −−−−→ +∞ и роботы , , ̸= такие,что и -приближаются друг к другу при = для любого . Болеетого, переходя к соответствующей подпоследовательности, можно обеспечитьсходимость ( ) → ∞ ∈ E(0 ) при → +∞ для всех . В силу (А.1)без ограничения общности можно считать, что ОЗУ робота в моментвремени сходится (в метрике Хаусдорфа и при → +∞) к ОЗУвиртуального робота vir , расположенного в точке ∞ и сонаправленногос E(0 ) так, что область находится слева от него.
Величины, используемыерегулятором скорости робота, могут быть вычислены и для виртуальныхроботов. Эти величины (например, (), , | и т.д.) будем отмечать верхниминдексом vir .∞∞Заметим, что ‖∞ − ‖ = , а касательная ( ) к E(0 ) соответствуетосевой линии ОЗУ робота vir . Теперь выберем ∈ настолько малым, чтосреди любых двух точек из E(0 ) на расстоянии друг от друга, одна лежитвнутри ОЗУ виртуального робота, расположенного в другой точке. Тогда однаиз точек, скажем ∞ , находится строго внутри ОЗУ робота vir . В моментвремени = при ≈ +∞ это обстоятельство распространяется и на реальныхроботов: робот находится в ОЗУ робота . Таким образом, при → +∞∞ [ ( ) ] → vir [ ],(2.18),(А.1)vir| ( ) −−−−−−→ |,∞∞∞где vir [ ] ≤ ‖ − ‖ = .
Уменьшая еще раз (если необходимо), такжеvirможем добиться, чтобы |> 0. При этом для достаточно больших в моментвремени = робот будет ближайшим соседом робота .Положим := (0), := (0), := (0) и заметим, что(2.16)lim [ () − () ] ≤ { ( [ ( )] ) − [ 0 ] } + lim [ () − () ] ≤→→216{︁}︁−1 −1 −1≤ { ( [ ( )] ) − [ 0 ] } + lim () − | () [ 1 + () ] .→Поскольку () ≤ + , где + := max{1, } , имеем:lim lim [ () − () ] ≤[︃]︃vir{︀ (︀)︀}︀|∞vir≤ vir. [ ] − [ 0 ] − | + + 1 − →+∞ →(А.2)С другой стороны, положим | := ( − ) ‖ − ‖−1 и заметим, что при ≈ , ≈ +∞⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀‖ − ‖ = | ; ˙ − ˙ = | ; − =⟨︀⟩︀⟨︀⟩︀= ( − ) | ; + | ; − ≥|≥ ( − ) cos | − ‖ − ‖ ≥ ( − ) cos | − 2 sin.2(А.3)В то же время ‖ ( ) − ( )‖ = и ‖ () − ()‖ > при < , ≈ .Тогда при таких , имеем:∫︁‖ − ‖ ⇒[︂ ]︂|=⇒ 0 ≥ lim‖ − ‖ ≥ lim ( − ) cos | − 2 sin2→ →0≥= cos | ( ) lim ( − ) − 2 sin→|( )2 ( )sin |2⇒ lim ( − ) ≥ −2 .→cos | ( )Устремляя → +∞ и используя (А.2), получим[︃{︀(︀)︀}︀∞virvir [ ] − [ 0 ] − | + + 1 −vir| ]︃≥ −2 ,vir|sin 2.vircos |(А.4)В силу вышеизложенного это неравенство имеет место для всех достаточно,vir∞virмалых ∈ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
