Диссертация (1149252), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

− −1 ln (4.52)Для работы с коэффициентом , введем следующие обозначения: cos − − −Δ ( + ) − (1 + ) ↔ :=,cos − −Δ [︀]︀ [︀]︀1 + −Δ + −1−κ :=,cos − −Δ (1 + )0↔ .Δ:=−Δcos − (4.53)Коэффициент выберем так, чтобы)︀ ]︃0 2++κΔ0>2 + 3 + 2 Δ++−1 + ( + − )]︀ 0 (1 + ) ↔ ↔ [︀ 0[︀]︀ ++Δ ;+4Δcos − −Δ {︀ (︀)︀(︀)︀}︀1min max + 1 ; −1 + 1 , где> =1,2,...]︂[︂−Δ√+cos+(−)[︁]︁ := 2 ↔κ . (4.54), := + 2 2−Δ∆ cos − [︃(︀Теорема 4.2.2. Пусть выполнены предположения теоремы 4.2.1,а параметры регулятора , , , удовлетворяют (4.49), (4.51), (4.52)и (4.54).

Тогда справедливо утверждение i) теоремы 4.2.1.Доказательство: Чтобы воспользоваться теоремой 4.1.2, определимполе с помощью (4.47) и положим − := − , + := + − −1 ln , 0 := 0 ,* := 12 [ − −1 ln + −1 ]. В силу (4.49) и (4.52) * + −1 ln < и > * .По лемме 4.2.2 и в силу (4.4) и (4.49) выполнены неравенства (4.7) и (4.18)(для := * ), а в рабочей зоне op (4.4):| − 0 | < * ⇒ | − 0 | < ,op ⊂ Zop , − < 0 < + ,180и ∆(4.19) ≥ ∆(4.50) , где нижний индекс соответствует формуле, по которой∑︀−вычисляется ∆. Также рассмотрим поле D := ; тогда = (D),=1 где () = −−1 ln .

Таким образом, ∇ = ′ ∇D и оба поля имеютобщие изолинии. Следовательно, их «связанные с изолинией» характеристики, , , ∇ одинаковы. В то же время в рабочей зоне −+ ≤ D ≤ −− .Дальнейшие действия заключаются в получении оценок (4.17) и в проверкенеравенства (4.6), предположений 4.1.1 и 4.1.2 (последнее — в ослабленнойформе, приведенной в замечании 4.1.1).Используем из доказательства леммы 4.2.1, а за Δ обозначим− ,множество остальных («удаленных») целей. Также положим := ‖−‖ := () и заметим, что⃦⃦⃦⃦⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦⃦⃦∑︁∑︁∑︁⃦⃦⃦⃦−( −) ⃦− ⃦−−⃦⃦ ⃦ . ⃦ − ⃦ ≥ ⃦‖∇D‖ = ⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦=1∈Δ∈⃦∑︀⃦⃦⃦Здесь ⃦ ∈ .

. .⃦ не меньше, чем модуль проекции этой суммы на осевуюлинию сектора из доказательства леммы 4.2.1. Проекции всех слагаемыхсонаправлены, при этом -ая из них не меньше, чем − cos . Поскольку ≥ ∀ и ≥ + ∆ ∀ ∈ Δ , имеем:‖∇D‖ ≥ −[︁cos ∑︁−( −)−−Δ]︁|Δ | ,(4.55)∈где || — мощность множества . Здесь = для некоторого ∈ .Следовательно, ‖∇D‖ ≥ −+ [ cos − −Δ ] и предположение 4.1.1выполнено:[︀]︀1‖∇‖ ≥ −+ cos − −Δ × min≥op D[︀]︀≥ ∇ := −(+ −− ) cos − −Δ ;‖∇D‖ ≤ −∑︁−( −) ≤ −− ,=1−− = ‖∇‖ ≤D(4.56)≤ := (+ −− ) .(4.57)181Обозначив Λ :=−( −) ≥ 1, имеем:∑︀∈⃒ ∑︀⃒⃒[︀]︀∑︀⃒⃒− ⃒⃒⃒ D′ ⃒ ⃒ =1 ⟨˙ ; ⟩ 1 + Λ−1 ∈Δ −( −)⃒≤]︁ ≤≤ [︁|| = ⃒⃒‖∇D‖ ⃒‖∇D‖−Δ−1cos − Λ |Δ |≤ [︁1 + |Δ | −Δcos − −Δ |Δ |]︁ ≤ [︁1 + −Δcos − −Δ (4.49)]︁ < .(4.58)Таким образом, (4.6) справедливо при cos − − −Δ ( + )∆ :=.cos − −Δ В силу (4.56) неравенства (4.20) и (4.22) вытекают из (4.51) и (4.52)соответственно.

Чтобы получить оценки (4.17), заметим, чтоD =′′∑︁− , := ⊤ −где=1∇D′= −∑︁ − ⊤,− ˙ ,=1D′′=∑︁⟨¨ ; ⟩ =1−+∑︁⟨ ˙ ; ˙ ⟩ − .=1[︀]︀Положим Ξ := − Λ + −Δ |Δ | , тогда аналогично (4.58) получаем:‖ ‖ ≤ + −1− ,[︀]︀‖∇D′ ‖ ≤ Ξ + −1− ,[︀]︀‖D′′ ‖ ≤ Ξ + −1− ,(︀[︀]︀)︀2|D′′ | ≤ Ξ + + −1.−Используя (4.55) и тот факт, что⟨∇D′ + D′′ ; ⟩⟨∇D′ ; ⟩=−,∇ = −,‖∇D‖‖∇D‖D′′ + 2 ⟨∇D′ ; ⟩ + 2 ⟨D′′ ; ⟩ = − ,‖∇D‖⟨D′′ ; ⟩κ=−,‖∇D‖182заметим, что согласно лемме 4.1.1]︀1 + Λ−1 −Δ |Δ | [ + −1] (4.53)[︁]︁−|κ| ≤≤ κ ,−Δ−1cos − Λ |Δ |[︂]︂2|| ≤ [ + ] κ ,|∇ | ≤ κ ,|| ≤ κ.−1 + ( + ) + −[︀В то же время ∇ = ′ ∇D, ′′ = ′ D′′ + ′′ ∇D(∇D)⊤ , ∇′ = ′ ∇D′ + ′′ D′ ∇D,и по лемме 4.1.1 =⟨∇′ + ′′ ; ⟩,‖∇‖ =⟨′′ ; ⟩,‖∇‖ =⟨′′ ; ⟩,‖∇‖где верхний индекс величины указывает на принадлежность соответствующемуполю.

Тем самым | | = |D | (поскольку ⟨∇D; ⟩ = 0) и|D | = | | ≤ κ ,|D | ≤ κ ,⃒⃒⃒‖∇D‖ (4.57) ′′ ⟨∇D; ⟩ ⟨∇D; ⟩ ⃒⃒D⃒≤ κ +≤ κ + ↔ ,| | = ⃒ − + ′⃒‖∇D‖D| ′′ | |D′ | ‖∇D‖ + || ‖∇D‖2| | ≤ |D | + ′≤| |‖∇D‖‖∇D‖≤ [ + ] κ + 2|| ≤ [ + ] κ + 2 ↔ .D|D | ≤ [ + ] κ ,Исходя из (4.56), оцениваем величины (4.21) следующим образом:(4.53)|Δ | ≤0Δ,(4.6)| + Δ | ≤ − ∆ + |Δ | ≤ − ,√︀ ≥ ≥ (2 − ) ≥ .Основываясь на приведенных выше оценках, легко проверить, что из (4.54)следуют (4.23) и (4.24). Теорема 4.1.2 завершает доказательство.

Доказательство теоремы 4.2.1: Эта теорема непосредствнно следуетиз теоремы 4.2.2. 1834.3Компьютерное моделированиеВ таблице 6 представлены численные значения параметровкомпьютерного моделирования2 . Частота обновления управляющего сигналасоставила 0,1 с. Показания датчиков были искажены аддитивным белымгауссовским шумом со среднеквадратичным отклонением 0,1 м.Таблица 6 — Параметры моделирования = 0,5 м/с = 0,4 м/с0 = 10 м = 0,08 с−1 = 0,3 = 4,2 рад/мРисунок 4.8 связан с простейшим сценарием, когда группа целейстационарна и организована как жесткая формацией в форме стрелы,состоящей из 28 объектов; зеленым изображена целевая аппроксимирующаякривая (4.47).

На рисунке 4.8 а), б) показано, как робот локализует группуи успешно приближается к ней, причем этот маневр занимает относительномалое время. Затем робот отслеживает требуемую кривую с высокой точностьюнесмотря на зашумленность датчиков, что демонстрирует рисунок 4.8 в)–е).а)б)в)г)д)е)Рисунок 4.8 — Близкое окружение группы неподвижных целей2Наглядные результаты в виде анимации доступны по ссылке http://goo.gl/lQMI60184В эксперименте, представленном на рисунке 4.9, та же группа хаотичноперемещается в пределах стационарной и достаточно малой области плоскости.Рисунок 4.9 а)–г), е) показывает, что робот по-прежнему успешно справляетсяс задачей и обходит всю группу на близком расстоянии, однако хаос ухудшаеткачество: точность отслеживания на рисунке 4.9 е) хуже, чем на рисунке 4.8 е).а)б)в)г)д)е)Рисунок 4.9 — Близкое окружение группы хаотично перемещающихся целейДва эпизода данного моделирования нацелены на анализ последствийнарушения некоторых из сделанных предположений.

Именно, нарушаетсяпредположение 4.2.1: целевая группа теряет связность и распадаетсяна подгруппы. В результате идеальный путь близкого окружения ≡ 0разделяется на несколько компонент связности, и поэтому его полноеотслеживание при ≡ 0 становится невозможным. Небольшое нарушениесвязности, как на рисунке 4.9 г) (расстояние от «беглеца» в правом верхнемуглу до ближайшей цели из основной части группы не намного превышает 0 ),не вызывает серьезных негативных последствий: регулятор управляет роботомтак, что последний по-прежнему обходит всю группу; хотя качествоотслеживания ожидаемо ухудшается. Рисунок 4.9 д) демонстрирует, чтобольшее нарушение связности может привести к тому, что из-за невозможностиполного отслеживания целевой траектории робот вынужден отслеживать185только какую-то из ее компонент; на рисунке 4.9 д) эта компонента включаетв себя все цели, кроме одной; такой «выбор» из двух компонент связностивыглядит как «оптимальный».На рисунке 4.10 жесткая формация из восьми целей движется вдольсинусоидальной кривой со скоростью 0,08 м/с, при этом ось формации всегданаправленна по касательной к траектории.

Рисунок 4.10 демонстрирует, чторобот успешно справляется с задачей, в то время как рисунок 4.10 е) показывает,что качество отслеживания в данном эксперименте лучше, чем в случаехаотичной группы. Поскольку робот движется быстрее целей, его путьожидаемо выглядит как деформированная циклоида, петляющая вокруг центрагруппы.а)б)в)г)д)е)Рисунок 4.10 — Окружение группы с жесткой формацией,двигающейся вдоль синусоидальной кривой186На рисунке 4.11 представлен самый сложный сценарий, в которомсовмещено и хаотичное «внутригрупповое» перемещение, как на рисунке 4.9,и движение в целом, как на рисунке 4.10, но вдоль эллипса; предположение 4.2.1выполнено на протяжении всего времени, в отличие от рисунка 4.9.Как показано на рисунке 4.11 б)–д), предлагаемый закон управлениявыводит робота на целевую аппроксимирующую кривую (изображена зеленым)и обеспечивает его последующее стабильное движение вдоль этой кривой,при этом группа целей всегда охвачена этой кривой, и робот движетсябыстрее, чем цели.

Это означает, что цель окружения успешно достигается.Аналогично моделированию на рисунке 4.9, хаотичное перемещение целейвлечет за собой ухудшение качества отслеживания по сравнению с ситуациейжесткой формации (см. рисунки 4.8 и 4.10).а)б)в)г)д)е)Рисунок 4.11 — Окружение хаотичной группы, двигающейся вдоль эллипса187ЗаключениеВ рамках диссертационной работы предложены новые локальныеалгоритмы и методы управления робототехническими системами со строгимигарантиями достижения цели управления, конструктивными рекомендациямипо настройке параметров соответствующих регуляторов и акцентомна минимальной априорной информации и потреблении ограниченных(сенсорных, вычислительных, энергетических, коммуникационных) ресурсов.А именно, основные результаты диссертации заключаются в следующем.1.

Установлены условия нелокальной сходимости и некластеризациидля разработанного децентрализованного алгоритма управлениялинейными скоростями неголономных роботов с целью распределенияансамбля роботов вдоль изолинии неизвестного скалярногостационарного поля в процессе локализации и отслеживания изолиниипо измерениям каждым роботом значения поля в его текущей позиции.2. Доказано, что в упомянутых условиях ансамбль сходитсяк равномерному распределению в случае, когда изолиния —окружность.3. Установлены условия нелокальной сходимости к равномерномураспределениюпоэквидистантенеизвестнойобластиансамбля неголономных роботов, управляемых разработаннымдецентрализованным алгоритмом регулирования их линейныхскоростей.4. Разработан и обоснован метод децентрализованного устранениябоковой и продольной кластеризации мобильных роботов.5.

Разработан метод -предельных распределений асимптотическогоисследования внутригруппового поведения многоагентных систем.6. Установлены условия, необходимые для того, чтобы мобильныйробот с ограниченным радиусом поворота и фиксированнойлинейной скоростью движения был способен поддерживать заданноесреднеквадратичное расстояние до группы движущихся целей.7.

Установлены условия нелокальной сходимости разработанного методауправления угловой скоростью неголономного робота с целью188локализации и сопровождения группы непредсказуемых скоростныхмобильных целей на заданном среднеквадратичном расстоянии от нихна основе измерения расстояний до целей.8. Разработан и обоснован теоремами о нелокальной сходимости методлокализации и отслеживания изолинии неизвестного скалярногонестационарного поля по измерениям значения поля в текущей точкебез использования производных поля и разрывных законов управления.9.

Характеристики

Список файлов диссертации