Диссертация (1149252), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Другими словами, предполагаем, что существует такаяконстанта ∆ > 0, что в op|| ≤ − ∆ .(4.6)Если поле стационарно, а рабочая зона (без учета времени) компактна,то 1) предположение 4.1.2 обязательно выполнено; 2) неравенство (4.6)(для некоторой ∆ > 0) выполнено тогда и только тогда, когда в op || < ;3) в предположении 4.1.1 второе предложение следует из первого.Также естественно ограничиться рассмотрением начальных положений inиз рабочей зоны op :− < (0, in ) < + .(4.7)В качестве примера, когда выполнены сделанные предположения,рассмотрим поле, которое эволюционирует только посредством сдвига (, ) =* [ − * ()] (см. рисунок 4.1). «Базовое» стационарное поле * () 2 -гладкое,неотрицательное и такое, что: * () → 0 при ‖‖ → +∞, ∇* () ̸= 0 ∀ ̸= 0и max := * (0) > 0; робот быстрее вектора смещения > sup ‖˙ * ()‖,а его положение в начальный момент времени in ̸= * (0).

Выбрав 0 < − <min {0 , (0, in )} ≤ max {0 , (0, in )} < + < max , остается заметить,что все изолинии перемещаются посредством сдвига на * (), и поэтомуих фронтальные скорости || ≤ ‖˙ * ‖ < .4.1.3Формализация задачиРассмотрим сценарий, характерный для реальных приложений,когда целевую изолинию требуется отследить с заранее заданной точностью| − 0 | ≤ , > 0, ≈ 0. Другими словами, робот должен достичь ближнихизолиний и далее двигаться вдоль них. Для более точной постановки задачивведем базис Френе (см. далее рисунок 4.2) [ , ] = [ (, ), (, ) ]пространственной изолинии := [, , ], , := (, ).

Здесь (, ) =∇(, ),‖∇(, )‖(4.8)151а единичный касательный вектор ориентирован таким образом, что областьбольших значений поля лежит слева. Пусть — тангенциальная компонента = ⟨; ⟩ скорости робота, где вычисляется в его текущей локации.Рисунок 4.1 — Отслеживание 0 -изолинии динамического скалярного поляБудем говорить, что робот отслеживает 0 -изолинию с точностью > 0, если lim |() − 0 | ≤ , начиная с некоторого момента→+∞времени поддерживается определенное направление движения вдоль изолиний( сохраняет свой знак) и lim | ()| > 0.→+∞4.1.4Сходимость алгоритма управленияСначала покажем, что предложенный закон управления (4.2) в принципеспособен успешно решать задачу локализации и отслеживания (в определенномв предыдущем разделе смысле) целевой изолинии при условии правильнойнастройки.

Более того, эта способность имеет место при минимальныхпредположениях, описанных в разделе 4.1.2.Теорема 4.1.1. Пусть выполнены предположения 4.1.1, 4.1.2 и справедливынеравенства (4.5), (4.6), (4.7). Тогда для любого > 0 существуют такиепараметры регулятора (4.2), что верно следующее утверждение:i) под действием регулятора (4.2) робот достигает целевой изолиниии отслеживает ее с точностью ; в течение всего маневра роботдвижется с максимальной скоростью ≡ в рабочей зоне.152Более того, для любого компактного множества R начальных положений,которое лежит во внутренности множества { : (0, ) ∈ op }, существуетобщий набор параметров регулятора, при которых утверждение i) вернодля любого начального положения in ∈ R.Поскольку эта теорема следует из теоремы 4.1.2, представленной далее,ее доказательство будет дано после доказательства теоремы 4.1.2. Перейдемк обсуждению настройки регулятора.4.1.5Некоторые характеристики динамического поляРекомендации по выбору параметров регулятора используют следующиеобозначения и физические характеристики поля:)︁⊤(︁∙ ∇ = , — пространственный градиент;∙ ′′ — пространственный гессиан, т.е.

матрица вторых производных по и ;∙ (, 0 ) := { : (, ) = 0 } — пространственная изолиния поля (, ·)со значением 0 (см. рисунок 4.1);∙ [ , ] = [ (, ), (, ) ] — базис Френе (правый) пространственнойизолинии [, ], := (, ) в точке ;∙ κ(, ) — кривизна (со знаком) пространственной изолинии в точке (κ ≥ 0 на выпуклостях области { ⋆ : (, ⋆ ) ≥ } );∙ + (∆|, ) — ближайшая (к ) точка, в которой ось рассмотренноговыше базиса Френе пересекает изолинию с тем же значением поля в момент времени = + ∆ (см.

рисунок 4.2);∙ (∆|, ) — ордината точки + (∆|, ), т.е. смещение (со знаком)по нормали, которое претерпевает изолиния на отрезке времени от до + ∆;∙ (, ) — фронтальная скорость пространственной изолинии:(∆|, );Δ→0∆(, ) := lim153Рисунок 4.2 — Две близкие изолинии∙ (, ) — фронтальное ускорение пространственной изолинии: [ + ∆, + (∆|, ) ] − [, ];Δ→0∆(, ) := lim(4.9)∙ ∆(∆|, ) — угловое смещение вектора [ + ∆, + (∆|, ) ]относительно вектора [, ] (см. рисунок 4.2);∙ (, ) — угловая скорость вращения пространственной изолинии:∆(∆|, );Δ→0∆(, ) := lim∙ — длина дуги вдоль изолинии;∙ (, ) — плотность изолиний:(, ) := limΔ→0∆,(∆|, )где (∆|, ) — ордината ближайшей к точки пересечения оси базиса Френе и изолинии (|, + ∆), := (, ) с близкимзначением поля + ∆; 1∙ (, ) — «удельная» скорость изменения плотности (т.е.

скоростьизменения ln ) с течением времени: (, ) :=11 [ + ∆, + (∆|, ) ] − [, ]lim;(, ) Δ→0∆(4.10)Эта плотность характеризует «количество» изолиний в пределах единичного расстояния от базовойизолинии (,), где «количество» оценивается диапазоном значений, которое принимает поле (·) на этихизолиниях в момент времени .154∙ (, ) — «удельная» скорость изменения плотности в момент времени при инфинитеземальном тангенциальном смещении: (, ) :=1(, + ∆) − (, )lim;(, ) Δ→0∆(4.11)∙ (, ) — «удельная» скорость увеличения плотности в момент времени при инфинитеземальном нормальном смещении: (, ) :=(, + ∆) − (, )1lim;(, ) Δ→0∆(4.12)∙ ∇ (, ) — угловая скорость вращения градиента ∇ в моментвремени в точке .Следующая лемма явно связывает эти величины с распределением поля (·).Лемма 4.1.1.

Если поле (·) дважды непрерывно дифференцируемов окрестности (, ) и ∇(, ) ̸= 0, то вышеуказанные величины определеныкорректно и в точке (, ) выполнены следующие соотношения:′=−, = ‖∇‖, + (|, ) = + + (),(4.13)‖∇‖⟨∇′ + ′′ ; ⟩′′ + ⟨∇′ ; ⟩ =, = − , = −− , (4.14)‖∇‖‖∇‖⟨∇′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩κ=−, ∇ = −, =, =. (4.15)‖∇‖‖∇‖‖∇‖‖∇‖Доказательство: Положим := (, ), := (, ), (∆, ) :=( + ∆, + ) − , где ∆, ∈ R. Тогда частные производные ′ (0, 0) =′⟨∇(, ); ⟩ = ‖∇(, )‖ ≠ 0 и Δ(0, 0) = ′ (, ). По теореме о неявнойфункции [161] уравнение (∆, ) = 0 имеет единственное решение = (∆)в достаточно малой окрестности 0 при любом достаточно малом ∆ ; кроме того, ′ (0, 0)это решение гладко зависит от ∆ и (Δ)(0) = − Δ′ (0, 0) .

Отсюда следует,что (∆|, ) = (∆) при ∆ ≈ 0, скорость определена корректно и выполненопервое соотношение в (4.13). Аналогично уравнение (∆, ) := (, + ) − − ∆ = 0 имеет единственное решение = (∆) в достаточно малойокрестности 0 при любом достаточно малом ∆ ; более того, это решение гладко′ (0, 0)1зависит от ∆ и (Δ)(0) = − Δ′ (0, 0) = ‖∇(, )‖ . Таким образом, определена155корректно, и выполнено второе соотношение в (4.13).

Третье соотношениеследует непосредственно из определений + (∆|, ), (∆|, ) и .Далее положим + (∆) := + (∆|, ). Тогда в силу (4.13)∇ [ + , + ()] = ∇[ + , + + () ] == ∇ + [ ∇′ + ′′ ] + (),[ + ∆, + () ] = ‖ ∇ [ + , + () ] ‖ == ‖ ∇ + [ ∇′ + ′′ ] + () ‖ =⟨∇; ∇′ + ′′ ⟩ + () == ‖∇‖ +‖∇‖= + ⟨ ; ∇′ + ′′ ⟩ + () |⇒ первая формула в (4.14),(4.16)∇ [ + , + () ]=‖ ∇ [ + , + () ] ‖[︂]︂∇∇′ + ′′ ′′′−=+3 ⟨∇; ∇ + ⟩ + () =‖∇‖‖∇‖1(⋆)=+[ ∇′ + ′′ − ⟨ ; ∇′ + ′′ ⟩ ] + () =‖∇‖⟨ ; ∇′ + ′′ ⟩(⋆)=+ + (),‖∇‖ [ + , + () ] =где (⋆) выполнено, поскольку = ⟨, ⟩ + ⟨, ⟩ ∀ ∈ R2 . Для базисаФрене ( , ) имеем:(︃ [ + , + () ] =(︃=+− cos 0− sin 0− sin ∆(|, )cos ∆(|, ))︃=)︃ + () = − + ().Приравнивая коэффициенты перед в последних двух выражениях, имеем:′′′; ⟩ = − ⟨∇ +, тем самым получили вторую формулу в (4.14).

Кроме‖∇‖того,′ [ + , + () ] (4.16)( + , + ()) = −=‖ ∇( + , + ()) ‖(4.13)156′′′′′ + ⟨∇′ ; + () − ⟩(4.13)′ ⟨ ; ∇ + ⟩= −+ +()=‖∇‖‖∇‖2′′ + ⟨∇′ ; ⟩⟨ ; ∇′ + ′′ ⟩(*)(4.13)= − − + () =‖∇‖‖∇‖′′ + ⟨∇′ ; ⟩(*)= − − + (),‖∇‖(4.16)где (*) следует из первой формулы в (4.14). Определение завершаетдоказательство (4.14). Первые два уравнения в (4.15) хорошо известны, третьеполучается в результате преобразования:⟨′′ ; ∇⟩ + () = (, + ) = ‖ ∇[, + ] ‖ = (, ) +‖∇‖= (, ) + ⟨′′ ; ⟩ + (),аналогичным образом получается и четвертое уравнение. Из леммы 4.1.1 следует, что = ∇ − , = − ∇ + .4.1.6Настройка регулятораВ силу леммы 4.1.1 и предположений 4.1.1 и 4.1.2 в op следующиевеличины ограничены по абсолютной величине конечными константами: ≤ ,|| ≤ ,|κ| ≤ κ ,| | ≤ ,|∇ | ≤ ∇.(4.17)Уменьшая (если необходимо) > 0, добъемся, чтобы отслеживание изолиниис точностью | − 0 | ≤ гарантировало попадание в рабочую зону ∈ [− , + ]: < min{+ − 0 , 0 − − }.(4.18)Здесь правая часть положительна в силу (4.5), и поэтому требуемое уменьшениевозможно.

Характеристики

Список файлов диссертации