Диссертация (1149252), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Далее, опираясь на (4.7) и (4.18), выберем положительнуюконстанту ∆, удовлетворяющую неравенству1570 < ∆ ≤{︀}︀≤ min (0, in ) − − ; + − (0, in ) min{0 − − ; + − 0 } − .(4.19)В заключение выберем свободный параметр ∈ (0, 1). Он устанавливаеткомпромисс между выбором параметров (, ) и регулятора: меньшее означает большую свободу для (, ) и меньшую — для .Существование такого * > 0, что (, ) ≥ (, )+* для всех (, ) ∈ op ,будем выражать записью 5 в op ; отношение 4 определяем по аналогии.Выбор параметров алгоритма управления:Начальное значение * (0) эталонного сигнала выбирается произвольно.Параметр из (4.3) выберем так, чтобы в op0<4∆,1+(4.20)где ∆ взято из (4.6). В силу (4.3) || ≤ , поэтому следующие величиныопределены корректно:−1Δ := (± − ) ,√︁ := 2 − [ + Δ ]2 .(4.21)Параметр из (4.3) выберем так, чтобы>.(4.22)Коэффициент выберем так, чтобы в op (1 + )+ ,⃒⃒2 ⃒⃒Δгде := ⃒⃒ 2 + κ − 2 Δ − 2 +− Δ ⃒⃒ ;(4.23){︃[︂]︂ [︂]︂ }︃√︀11 + >min max 2( + 1); ∇2κ + 2+1.
(4.24) +2 =1,2,...∆5Такой выбор возможен: достаточно последовательно выбрать малое и достаточно большие , , что можно рассматривать в качестве руководствадля экспериментальной настройки регулятора.158Теорема 4.1.2. Пусть выполнены предположения 4.1.1 и 4.1.2, неравенства(4.5), (4.6) и (4.7), а параметры регулятора удовлетворяют (4.20),(4.22)–(4.24). Тогда справедливо утверждение i) теоремы 4.1.1.Первое 1 () и второе 2 () выражение внутри max{. . .} из (4.24) являетсявозрастающей и убывающей функцией вещественного ≥ 1 соответственно.Поэтому min=1,2,...
достигается на округлении до целого числа (снизуили сверху) вещественного положительного корня квадратного уравнения1 () = 2 ().Если априори известна информация о поле, то неравенства (4.20),(4.22)–(4.24) можно использовать для аналитической настройки регулятора,основываясь на оценках рассмотренных параметров поля. Такой способ сильнозависит от доступной информации. В разделе 4.1.8 будет представленааналитическая настройка регулятора для простейшего сценария.4.1.7Доказательства теорем 4.1.2 и 4.1.1.Для доказательства теоремы 4.1.2 установим несколько лемм.Сначала покажем, как характеристики поля меняются при бесконечномалом смещении в пространстве и времени.Лемма 4.1.2.
Пусть поле (·) дважды непрерывно дифференцируемов окрестности (, ) и ∇(, ) ̸= 0. Тогда справедливы следующиесоотношения:(, + ) = + + (),(, + ) = − + ();(4.25) [, + ] = − κ + (), [, + ] = + κ + ();(4.26) (, + ) = + + (), (, + ) = − + ();(4.27) [ + , + ()] = − + (), [ + , + ()] = + + (),(4.28)159где + (∆) := + (∆|, ).Доказательство: Следующие выкладки обосновывают формулы (4.25):′ (, + )(, + ) == −=‖∇(, + )‖⟨∇′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩(4.13)=== (, ) − + ′+()‖∇‖‖∇‖2⟨∇′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩(4.13)== (, ) − − + () =‖∇‖‖∇‖⟨∇′ + ′′ ; ⟩(4.14) + () == + + ();= (, ) −‖∇‖⟨∇′ + ′′ ; ⟩(4.14)(, + ) = (, ) − + () == − + ().‖∇‖(4.13)Формулы (4.26) — классические уравнения Ферне-Серре. Кроме того,∇(, + )=‖∇(, + )‖′′ ⟨′′ ; ∇⟩ + () ==+ − ∇‖∇‖‖∇‖3′′ − ⟨′′ ; ⟩⟨′′ ; ⟩(4.15)=+ + () = + + () ==‖∇‖‖∇‖ (, + ) =(4.15)== + + (),откуда следует первая формула (4.27).
Это также обосновывает и вторуюформулу, поскольку = Φ 2 , = − Φ 2 , где Φ 2 — матрица вращенияна угол 2 против часовой стрелки. Формулы (4.28) вытекают из определения .Положим := . В силу (4.20)–(4.24) в op выполнены следующиесоотношения: −1 < ,⃒⃒2 ⃒⃒Δ > ⃒⃒ 2 + κ − 2 Δ − 2 +− Δ ⃒⃒ +, √︁± − гдеΔ :=, := 2 − [ + Δ ]2 , < , + < ∆ ,(4.29)(4.30)160{︃[︂]︂ [︂]︂ }︃√︀ + 1 > min max 2( + 1); ∇2κ + 2+1. +2=1,2,...∆(4.31)Лемма 4.1.3. Предположим, что в момент времени из некотороговременного интервала = [ 0 , )|˙ + ( − 0 )| ≤ < .(4.32)Тогда (0 ) ∈ := [ 0 − −1 , 0 + −1 ] ⇒ () ∈ ∀ ∈ . Если (0 ) ̸∈ ,тогда (), ∈ монотонно стремится к до тех пор, пока, возможно,не попадет в .
Если = +∞, то lim→+∞ |() − 0 | ≤ −1 .Доказательство: Поскольку − − ( − 0 ) ≤ ˙ ≤ − ( − 0 ),имеем: − () ≤ () ≤ + (), ≥ 0 , где ± — решение обыкновенногодифференциального уравнения ˙± = ± − ( − 0 ) с начальным условием± (0 ) = (0 ) [162]. Это уравнение обладает глобально устойчивой точкойравновесия 0 ± −1 и в силу (4.3), (4.29) ± () → 0 ± −1 при → +∞.Отсюда вытекает первое утверждение леммы. Таким образом, если (0 ) ∈ ,то 0 − −1 ≤ ± () ≤ 0 + −1 и поэтому () ∈ ∀ ∈ . Второеутверждение леммы верно, поскольку > 0 + −1 ⇒ ˙ ≤ − ( − 0 ) < 0и < 0 − −1 ⇒ ˙ ≥ − − ( − 0 ) > 0.
Третье утверждение следуетиз первых двух. Следствие 4.1.1. Пусть (4.32) выполнено при ∈ . Если робот находитсяв рабочей зоне в момент времени = 0 , он остается в ней при всех ∈ .Доказательство: Если (0 ) ∈ , то () ∈ ∀ ∈ и утверждениеследует из (4.18), (4.29). Если (0 ) ̸∈ , тогда () монотонно смещаетсяот (0 ) ∈ [− , + ] к 0 ± −1 ∈ [− , + ], пока, возможно, не попадает в .Следовательно, до этого момента (если он существует) остается в [− , + ],а робот находится в op .
После этого момента робот остается в op в силупервого аргумента доказательства. Утверждение 4.1.1. Пусть робот (4.1) движется со скоростью ≡ в области, где поле (·) дважды непрерывно дифференцируемо и ∇(, ) ̸=1610. Тогда для значения поля ()соотношения::=[, ()] справедливы следующие˙ = [ ⟨ ; ⟩ − ] ,[︁(︁)︁]︁2¨˙() = − 2 − κ + 2 Δ + 2 Δ − + Δ .(4.33)(4.34)Здесь , , , , , , , κ — параметры поля из раздела 4.1.5,˙ (4.33)Δ :=== ⟨ ; ⟩ − = ⟨ ; ⟩ − ,√︁ := ⟨; ⟩ = sgn 2 − [ + Δ ]2 , где := ⟨; ⟩ ,(4.35)а базис Френе [ , ] построен в текущей локации робота.Доказательство: Формула (4.33) верна, поскольку[︂ ⟨⟩]︂′∇(⋆)˙ == ⟨∇; ⟩ + ′ = ‖∇‖ ; += [ ⟨ ; ⟩ − ] ,‖∇‖|∇‖(4.1)где (⋆) выполнено в силу (4.8) и первых двух формул (4.13).Для доказательства (4.34) заметим, что в силу (4.35) ⟨ ; ⟩ = Δ + .Поэтому = ⟨ ; ⟩ + ⟨ ; ⟩ = + (Δ + ) ,Δ + = =+.(4.36)Это в свою очередь обосновывает переход (*) в следующих преобразованиях:(4.1)(*) ( + ) == () + + () =(*)=() + ⏟⏞+ [Δ + ] + () == + ()+() в силу (4.13)= + () + [Δ + ] + ().Продолжим, используя (4.33) и опуская аргумент [, ()]:(4.37)162˙ = [ + , ( + ) ]˙ ( + ) − ()(︁− [ + , ( + ) ] +)︁+ ⟨ [ + , ( + ) ], ( + ) ⟩ − (− + ⟨ , ⟩) ={︀}︀= [ + , ( + ) ] − (︁)︁− [ + , ( + ) ] + ⟨ [ + , ( + ) ], ( + ) ⟩ −⏟⏞= − + ⟨ , ⟩+ (), где ()→0 при →0{︀}︀− [ + , ( + ) ] − +⟨︀⟩︀⟨︀⟩︀+ [ + , ( + ) ] − , + , ( + ) − ={︀}︀= [ + , ( + ) ] − (− + ⟨ , ⟩) − { [ + , ( + ) ] − } +⏟⏟⏞⏞⏟⏞=: = Δ в силу (4.35)=: ⟨︀⟩︀⟨︀⟩︀+ [ + , ( + ) ] − , + , ( + ) − + ().
(4.38)⏟⏞⏟⏞=: 1=: 2Проанализируем по отдельности , , 1 и 2 :(4.37) == [ + , + () + Δ + + () ] − ={︁= [ + , + () + Δ + () + ]−}︁− [ + , + () + Δ + () ] +(4.11)+ [ + , + () + Δ + () ] − ==(4.11)== { + () } + [ + , + () + Δ + () ] − ={︂}︂= + [ + , + () + () +Δ ] − [ + , + () + () ] +(4.12)+ [ + , + () + () ] − + () ==(4.12)== + { Δ + ()} + [ + , + () + () ] − + () =(4.10)= [ + Δ ] + [ + , + ()] − + () ==(4.10)== [ + Δ + ] + ().Аналогично:(4.37) = [ + , ( + ) ] − ==(4.37)== [ + , + () + Δ + + () ] − =163{︁= [ + , + () + Δ + () + ]−}︁− [ + , + () + Δ + () ] +(4.25)+ [ + , + () + Δ + () ] − ==(4.25)== { + ()} + [ + , + () + Δ + () ] − =}︂{︂= + [ + , + () + () +Δ ] − [ + , + () + () ] +(4.25)+ [ + , + () + () ] − + () ==(4.25)== + {−Δ + ()} + [ + , + () + () ] − + () =(4.9)= [ − Δ ] + [ + , + () ] − + () ==(4.9)== [ + − Δ ] + ();(4.37)1 = [ + , ( + ) ] − ==(4.37)== [ + , + () + Δ + + () ] − ={︁= [ + , + () + Δ + () + ]−}︁− [ + , + () + Δ + () ] +(4.26)+ [ + , + () + Δ + () ] − ==(4.26)== {− κ + ()} + [ + , + () + Δ + () ] − ={︁= − κ + [ + , + () + () +Δ ]−}︁− [ + , + () + () ] +(4.27)+ [ + , + () + () ] − + () ==(4.27)== − κ + {Δ + ()} + [ + , + () + () ] − + () =(4.28)= [ Δ − κ ] + [ + , + () ] − + () ==(4.28)== [− + Δ − κ ] + ().Наконец,˙(4.1)(4.36)2 = ( + ) − == ˙ Φ 2 + () = Φ 2 + () ==164˙Φ [ + (Δ + ) ] + () = 2]︀˙ [︀˙= Φ 2 + (Δ + ) Φ 2 + () = [− ( + Δ ) + ] + ().(4.36)==Подставим полученные выражения для , , 1 , 2 в (4.38), тогда левая˙ + ) − ()˙ = ()¨часть (4.38) (+ ().
В результате имеем:¨ = [ + Δ + ] Δ − [ + − Δ ] +()⏟⏞⏟⏞∼∼⟩ (4.36)⟨︀⟩︀˙+ [− + Δ − κ ] , + , [− ( + Δ ) + ] ==⏟⏞⏟⏞⟨∼1∼2]︁== ( + Δ + ) Δ − ( + − Δ ) +⟨⟩Δ + + ++ [− + Δ − κ ] ;⟨⟩˙+ ; − ( + Δ ) + =[︁]︁= ( + Δ + ) Δ − ( + − Δ ) +(4.36)[︁+ (− + Δ − κ ) + ˙ =[︁]︁˙= ( + Δ + ) Δ − ( + − Δ ) + (− + Δ − κ ) + =[︁]︁2˙= ( − 2 − κ + 2 Δ ) + 2 Δ − + Δ ,что завершает доказательство (4.34). Отметим, что замкнутая система подчиняется следующим уравнениям:˙ = ,˙ = (),где := ˙ + ( − 0 ).(4.39)Лемма 4.1.4. Для := ⟨ ; ()⟩ в op справедливы следующие импликации:22|| ≤ ⇒ || ≥[︁ − || ++]︁2(4.6), (4.29)>0;2⎧ ⎨− sgn , если < 0,˙|| = ⇒ sgn =⎩sgn ,если > 0.(4.40)(4.41)165Доказательство: Ниже (⋆) — это равенство (4.33): Δ(4.39)(⋆) − ( − 0 ) == ˙ = (− + ⟨ , ⟩) ⇒ ⟨ , ⟩ = +,−где Δ :=√︁[︁]︁22⇒ = ( + Δ ) + sgn − [ + Δ ] −1 , = −1 .⏟⏞(4.42)(4.43)=: Пусть || ≤ .
Тогда |Δ | ≤ + и (4.40) ⇐ (4.43).Пусть || = , т.е. = ± . Заметим, что в силу (4.39) ˙ = , и используемвыражение (4.34) для ¨:¨ = ()[︂]︂2ΔΔ˙ − 2 − κ + 2 Δ + 2 −+ ;˙ = ¨ + ˙ = [ − ], где2Δ˙Δ+− −. := 2 + κ − 2 Δ − 2 Здесь ||˙ ≤ . Согласно (4.30) || < , и || = ⇒ sgn [ − ] = sgn .Остается заметить, что в силу (4.43) = . Перейдем к техническим оценкам.Лемма 4.1.5.
Пусть робот движется с максимальной скоростью ≡ и таким образом, что вектор () поворачивается в постоянном направлении˙ ≥ . Тогда его (робота) отклонение от начальногос угловой скоростью ||положения удовлетворяет неравенству]︀ 2 ⌈︁ ⌉︁2 ⌊︁ ⌋︁ [︀‖()−(0)‖ ≤ () :=+1− cos min { HI ; } ≤, (4.44) 2 2⌊︀ ⌋︀где := |() − (0)|, HI := − 2 2, а ⌊⌋ и ⌈⌉ — целочисленный «пол»и «потолок» соотвественно вещественного числа .Доказательство: не умаляя общности можно считать, что (0) = 0,(0) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
