Диссертация (1149252), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Покажем, что если пренебречь таким распространением, имеет местопо крайней мере локальная устойчивость.Теорема 3.3.3. Пусть выполнены только предположения 3.2.1—3.2.3,при этом в предположении 3.2.3 ± может быть сколь угодно близкок 0 . Тогда робот способен сохранять требуемое среднеквадратичное√расстояние до целей ≡ 0 . Более того, это достигается с помощьюрегулятора (3.6), при условии его настройки согласно условиям теоремы 3.3.2.Соответствующее решение дифференциального уравнения движениязамкнутой системы устойчиво по Ляпунову и локально асимптотическиустойчиво.Доказательство теоремы 3.3.3: Заключение теоремы следует из лемм3.3.1 и 3.3.2.
Обычно предположение 3.2.3 можно опустить, поскольку для ± ≈ 0в силу непрерывности оно следует из предположения 3.2.2 при условии,что параметры группы ‖ ‖, ‖ ‖, , с течением времени не возрастаютнеограниченно. Последнее условие, как правило, справедливо на практике.1323.4Частные случаиВышеизложенные предположения и требования частично используютинформацию о движении целей, которая в общем случае может бытьнедоступна. Как правило, априори известны только некоторые качественныехарактеристики и оценки, которые могут определять целый класс перемещенийцелевой группы.
На практике это влечет необходимость распространенияпредположений и требований на любое движение этого класса. В данномпараграфе представлены примеры такого распространения.3.4.1 Окружение группы целей,двигающихся вокруг стационарного объектаПусть известно, что цели кружат вокруг некоторого стационарногообъекта так, что их центроид остается на месте (см. рисунок 3.1).
О количествецелей и корреляции между их скоростями и ускорениями ничего не известно,но известны верхние оценки разброса этих величин: ≤ , ≤ . Разбросположений удовлетворяет (3.8), и выполнено (3.9).Рисунок 3.1 — Группа подвижных целей с неподвижным центромУтверждение 3.4.1.i) Предположим, что робот способен поддерживать требуемое значение√среднеквадратичного расстояния до целей ≡ 0 всякий раз, когдасправедливы вышеуказанные оценки и ограничения на параметры движения133целей.
Тогда линейная скорость робота и его максимальная угловая скоростьдостаточно велики:√︀≤ ,20 − 2 + 2 + 2√︁≤ .√︀ 2 22220 − − 2 −2(3.35)0ii) Пусть параметры движения группы целей удовлетворяютизложенным в данном разделе ограничениям, и пусть (3.35) выполненосо знаком < вместо ≤.а)Тогдароботспособенсохранятьтребуемоезначение√среднеквадратичного расстояния до целевой группы ≡ 0 . Более того,корректная настройка регулятора (3.6) не только обеспечивает это,но и делает соответствующее решение дифференциального уравнениядвижения замкнутой системы устойчивым по Ляпунову и локальноасимптотически устойчивым.б) Предположим, что − ∈ ( , 0 ) может быть выбрано таким образом,что предположение 3.2.4 верно для + := +∞, а (3.35) выполнено со знаком< вместо ≤ и для 0 := − .
Тогда корректной настройкой регулятора (3.6)достигается цель управления (3.2).в) Чтобы выполнялось б), при настройке регулятора достаточновыбрать ∆ и ∆ как разность левой и правой части соответствующихнеравенств из (3.35) (для 0 := − ), найти положительный корень = +следующего уравнения:)︀ )︁ (︀ + + 2 + 2 =2[︁(︁ )︁]︁3/222= ∆ (− − ) ∆ − +,2(︁(3.36)и выбрать и в соответствии с (3.28), где вместо ∆ (+ ) беретсяΔ2 . Чтобы выполнялось a), достаточно провести указанную процедурунастройки для − := 0 .Доказательство:i) Поскольку = 0 и = 0, необходимое условие (3.11) представляетсобой первое неравенство из (3.35), а участвующая в (3.17) функция134 (, , * , ) принимает следующий вид:√︁2−22⃒⃒√︁2⃒ 2 ⃒22 − 2 + ⃒ + − 2 ⃒√︀.2 2 (0 − 2 ) − 2*(3.37)Согласно утверждению 3.2.2 max (, , * , ) ≤ , где max берется по всем ∈ [ 0, ], * = , || ≤ , ∈ 01 .
После замены переменных = * =± , ∈ [ 0, 1 ] легко заметить, что этот max равен максимуму следующеговыражения, взятому по всем ∈ [ 0, ], ∈ [ 0, 1 ]:√︁√︀22 1−2 − 2 + 2 + 2 +√︀22 (0 − 2 ) − 2 2 2.Поскольку о корреляции между скоростями и ускорениями целей ничегоне известно, может принимать любые значения из промежутка [ 0, ].Следовательно, рассматриваемый максимум не должен превышать для всехтаких .
Максимизируя левую часть этого неравенства по и по , приходимк следующему условию: + 2 + 2√︀≤ . 2 (20 − 2 ) − 2 2В итоге, максимизируя по всем ≤ , ≤ , ≤ , получаем второенеравенство в (3.35).ii.а) Непосредственно следует из вышеизложенного и теоремы 3.3.3.ii.б) В силу вышеизложенного числитель в (3.37) не превосходит + 2 + 2 . Заменим его на 1 и, используя теорему Лагранжа о среднем значении,оценим разность полученных таким образом дробей, вычисленных для и * ,где | − * | ≤ 2+ . Модуль этой разности не превышает+2max|† −|≤+[ 2 (20|† |≤− 2 ) − 2† ]3/2|| + 2++≤[︀(︀2 2 (2 − 2 ) − 2 − + || +0+ )︀ ]︀3/22≤135 + 2++≤[︀(︀2 2 (2 − 2 ) − 2 2 − + +−+ )︀ ]︀3/22.Обозначив через ∆ невязку в первом неравенстве (3.35), заметим, что 2 (2− − 2 ) − 2 2 =]︃ [︃]︃[︃ √︀= (2− − 2 ) − √︀ 2+≥ (2− − 2 ) ∆ .222− − − − В итоге убеждаемся, что вышеуказанный модуль не превосходит + 2++(︀2 (2 − 2 ) ∆ − + +−+ )︀3/22.Объединив полученные результаты с учетом (3.36), имеем:| (, , * , ) − (, , , )| ≤∆.2Следовательно, + — допустимое * -приращение, и ∆ (+ ) =завершает доказательство.
Δ2 .Теорема 3.3.3В пункте ii.в) утверждения 3.4.1 + существует и единственно, поскольку возрастает от 0 до положительного корня * правой части (3.36), а леваяи правая части уравнения (3.36) монотонно изменяются в противоположныхнаправлениях и взаимно мажорируют друг друга в точках = 0, * со сменойполярности. Для численно заданных − , , , , , скалярное уравнение(3.36) может быть решено численно относительно = + , тогда рекомендуемыйдиапазон (3.28) (где ∆ (+ ) := Δ2 ) параметров регулятора принимает явныйвид. Более узкий диапазон может быть найдет в замкнутой форме путем заменыкорня + в (3.28) любой его оценкой снизу −+ ≤ + . Эту оценку можнонайти, решая уравнение, которое получается при замене правой части в (3.36)на некоторую миноранту, убывающую от = 0 до неположительного значения = * .
Следующий пример такого рода основан на простейшем неравенстве]︀[︀]︀√ [︀3( − ) 2 ≥ − 32 ∀ , > 0, ∈ 0, , которое приводит к замене(3.36) уравнением вида:(︁)︀ )︁ (︀ + + 2 + 2 =2136[︂]︂√︁3 (︁ )︁2222= ∆ (− − ) ∆ (− − ) ∆ − +.22Поскольку это уравнение является квадратным относительно , егоположительный корень −+ может быть записан в замкнутой форме. Подставляяполученное выражение в (3.28) (где ∆ (+ ) := Δ2 ) вместо + , получаемзамкнутую форму диапазона параметров и , которые обеспечиваюткорректную настройку регулятора для достижения свойств из пункта б)утверждения 3.4.1.Небольшая модификация предложенной стратегии управленияобеспечивает глобальную сходимость при выполнении «почти необходимых»условий, которые получаются путем замены ≤ в (3.35) на <.
Для этогодостаточно ввести предварительный маневр, в ходе которого робот движетсяс ≡ 0 до тех пор, пока не превысит 42 + 20 , где := −1 —минимальный радиус поворота робота. Только после этого подключаетсяосновной регулятор (3.6). Момент, когда > 42 + 20 , обязательно наступает,поскольку в силу (3.5) = ‖− ‖2 + 2 , где движется по прямой с постояннойскоростью > 0 при ≡ 0, центр неподвижен, а = () ограничено.При обосновании глобальной сходимости анализ можно начинать c моментавремени, когда завершен описанный начальный маневр.
Пусть * — положениеробота в этот момент. Согласно (3.5) ( * ) = ‖ * − ‖2 + 2 , где ≤ ≤ 0в силу (3.8) и (3.9). Таким образом, ( * ) > 42 + 20 ⇒ ‖ * − ‖ > 2, где 2— диаметр начальной окружности ±in . Следовательно, неподвижный центргруппы находится за пределами диска, ограниченного ±in , и поэтому и ±in лежат в непересекающихся стационарных полуплоскостях, как и требуетпредположение 3.2.4.
Более того,minin () ≥∈±min: ‖− * ‖≤2‖ − * + * − ‖2 + 2 == ( ‖ * − ‖ − 2 )2 + 2 = 42 − 4 ‖ * − ‖ + ( * )‖ * − ‖>2>‖ * − ‖>2>( * ) − 42 > 20 .Остается заметить, что условия пункта б) в утверждении 3.4.1 выполнены,поскольку выполнено второе требование предположения 3.2.4 (для − = 0 ,+ = +∞).1373.4.2 Окружение группы целей,двигающихся вдоль неизвестной кривойс сохранением жесткой групповой формацииГруппа целей движется как жесткая формация неизвестной геометриитак, что все внутригрупповые расстояния между целями постоянны(см. рисунок 3.2). Движение группы происходит только параллельнымсмещением самой формации. По-прежнему априори неизвестно количествоцелей, а информация об их скоростях и ускорениях доступна только в видеверхних оценок для средних значений ‖ ‖ ≤ , ‖ ‖ ≤ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
