Диссертация (1149252), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Кроме того, по сравнению с последовательным обходомкаждой цели, предлагаемый метод пригоден для работы с кинематическинеоднородными группами, в которых некоторые цели эпизодически двигаютсябыстрее преследователя, но так, что средняя скорость группы остаетсяв пределах возможностей робота. С учетом такого сценария (кинематическинеоднородной группы целей) в данной главе систематически используютсятолько усредненные характеристики группы.Вместе с тем имеется ряд задач, когда робот должен в итогеперемещаться по периметру области, содержащей все цели или их «основнуюмассу».
В качестве примера можно привести защиту (захват) важных(опасных) подвижных объектов. В этих случаях во избежание нереалистичнойпостановки задачи следует уточнить понятие «группы», поскольку невозможно,например, обеспечивать окружение неограниченно разбегающихся целейс помощью единичного робота, перемещающегося с ограниченной скоростью.В связи с этим под «группой» будем понимать множество целей, среднийразброс положений которых ограничен с течением времени.
Как будетпоказано далее, в этом случае использование среднеквадратичного расстоянияобеспечивает обход всей группы, если заданное целевое значение этогорасстояния достаточно велико по сравнению с разбросом положений в группе.Когда требуется окружение только лишь «основной» части группы, выборэтого значения позволяет регулировать процент «заведомо окруженных» целей.Более того, в случае преднамеренного или случайного «отвлекающего побега»нескольких целей от основной группы, такой подход способствует концентрациипреследователя на основной части, что совершенно не гарантируетсяпри использовании (вместо среднеквадратичного расстояния) расстояния112до ближайшей цели или расстояния до центроида группы за вычетомрасстояния до самой дальней цели [135].В данной главе представлены свидетельства того, что предложенныйзакон управления является в определенном смысле почти исчерпывающим.«Исчерпываемость» при этом понимаем следующим образом: если задачав принципе разрешима с помощью робота с заданными значениямилинейной скорости и максимальной скорости вращения его ориентации,то ее можно решить с помощью предложенного закона управленияпри условии его адекватной настройки, причем рекомендации по настройкедолжны быть представлены.
Для этого сначала выявлены необходимыеусловия разрешимости задачи: они раскрывают должное соответствиемежду способностями робота к маневрированию и усредненными параметрамиперемещения мобильных целей. Далее показано, что при незначительноми в определенном смысле неизбежном усилении этих необходимых условийпредлагаемый регулятор решает поставленную задачу.
Это сделано в видематематически строгого доказательства нелокальной сходимости, котороесопровождается рекомендациями по настройке регулятора. Эти рекомендацииданы в аналитической форме с точностью до оценки скорости изменениязначения явно указанной функции по отношению к изменению одногоиз аргументов. Данная оценка обычно сводится к элементарному упражнениюпо математическому анализу, однако ее детали, как правило, сильно зависятот доступной информации о характере движения целей.
Поэтому такаяоценка детально проиллюстрирована для специальных сценариев, включаясценарий доступной информации, на основании чего также конкретизированывышеупомянутые рекомендации. Наконец, сходимость и эффективностьпредложенного регулятора подтверждают представленные в конце главырезультаты компьютерного моделирования.3.1Описание системы и постановка задачиНеголономный робот «преследователь» движется в плоскостис постоянной скоростью , его угловая скорость изменяется с течением113времени, ограничена по абсолютной величине сверху константой и является управляющим параметром.
Имеется группа из точечныхцелей (занумерованных целым индексом в диапазоне от 1 до ), двигающихсясогласно неизвестному закону. Требуется приблизиться к целям и обеспечитьих дальнейшее сопровождение на заданном расстоянии: среднеквадратичноерасстояние от робота до целей должно достичь заданного значения 0и в дальнейшем сохранять его; точнее, речь идет о достижении этих установокв асимптотике. В замечании 3.1.1 будет показано, что за счет адекватнойнастройки регулятора такой подход способен гарантировать захват всейгруппы: робот окружает ее и образует своего рода охватывающий барьер.Разработка системы управления усложняется дефицитом данных: роботоснащен дальномером и может определять только расстояния := ‖ − ‖от своего положения до целей , = 1, .
. . , . Здесь := (, )⊤ — векторабсолютных декартовых координат , центра робота в плоскости R2 , а :=( , )⊤ — аналогичный вектор для -й цели. Для робота цели анонимны, т.е. оннеспособен их различать: например, если поменять местами две цели, роботне заметит разницы. Другими словами, роботу недоступен истинный порядокв наборе показаний 1 , . . . , . Это означает, что закон управления должен бытьинвариантен относительно всех перестановок этого набора. Другая сложностьзаключается в отсутствии каких-либо данных о поведении целей. Априорироботу неизвестны кинематика и динамика целей, их количество, плотностьгруппы, ее геометрия и т.д. Поэтому система управления должна бытьспособна справиться с этими неопределенностями, по крайней мере, в разумныхпределах.Кинематическая модель робота выглядит следующим образом:˙ = cos ,˙ = sin ,˙ = ,|| ≤ ,(0) = in ,(0) = in ,(0) = in ,(3.1)где — угол ориентации робота (см. рисунок 1.1).
Необходимо разработатьзакон управления, который при → +∞ обеспечивал бы следующуюсходимость:1 ∑︁() :=‖() − ()‖2 → 20 .(3.2) =1114Удобно переписать в другой форме. Для этого введем центроиди среднеквадратичный разброс положений целей1 ∑︁ :=, =1⎯⎯⎸ ⎸⎸ 1 ∑︁⎸ 1 ∑︁‖ − ‖2 = ⎷ 2‖ − ‖2 . := ⎷ =12 ,=1(3.3)(3.4)Тогда функцию (·) можно представить в виде:1 ∑︁=‖ − + − ‖2 = =1]︀1 ∑︁ [︀‖ − ‖2 + ‖ − ‖2 + 2 ⟨ − ; − ⟩ == =1⟨⟩∑︁1(⋆)= ‖ − ‖2 + 2 + 2 − ;( − ) == ‖ − ‖2 + 2 , =1(3.5)∑︀где (⋆) выполнено, поскольку (3.3) 1 =1 ( − ) = 0. Следовательно,цель управления может быть достигнута, только если 0 по крайней мерене меньше () при больших .
Кроме того, «идеальное» решение поставленной√︀задачи ≡ 20 означает, что робот находится на окружности радиуса 20 − 2с центром в . Основная сложность состоит в том, что роботу неизвестныни центр окружности, ни ее радиус, ни текущее расстояние до ее центра; и всеэти параметры могут меняться со временем.Замечание 3.1.1. Предположим, что цель управления достигнута: ≡ 20 .Тогда выполнены следующие утверждения:i) путь робота охватывает все цели ( := ‖ − ‖ < ‖ − ‖ ∀),√если 0 > 2 max ;ii) если 0 > , то доля целей, не охваченных траекторией робота,2не превышает := 2−2 100 процентов.0Утверждение i) верно, поскольку(3.5)(3.4)2 max 2 < 20 = == ‖ − ‖2 + 2 ==1151 ∑︁ 2 ≤ ‖ − ‖2 + max 2== ‖ − ‖ + =1(3.4)2⇒ max < ‖ − ‖.Что касается ii), пусть := { : ≥ ‖ − ‖} — множество неохваченныхцелей. Если его мощность || = 0, то ii) очевидно.
Если || > 0, тогда201 ∑︁ 2 ,− == ‖ − ‖ ≤||2 (3.5)2∈(3.4) 2 ==1∑︁2 ≥=1⇒|| 1 ||∑︁2 ≥∈]︀|| [︀ 20 − 22||≤ 2.0 − 2В ii) может принимать только значения вида 100 , = 0, . . . , . Поэтому√2если 0 > + 1 ⇒ 2−2 < 1 , то = 0, т.е. охвачены все цели.0В данной главе исследуем два закона управления, одинаковых с точностьюдо знака в следующем выражении:˙ + [ () − 2 ] }¯() = ± sgn { (),0(3.6)где (·) — линейная функция с насыщением (см. рисунок 1.3):⎧⎨,если || ≤ ,() :=⎩sgn (), иначе, := .(3.7)Здесь > 0 и > 0 — параметры регулятора.Поскольку переменная (·) из (3.2) не зависит от нумерации целей, законуправления (3.6) инвариантен относительно перестановок набора 1 , .
. . , показаний дальномера, как и требуется. Для разрывного регулятора (3.6)уравнение скользящего режима (желаемой динамики) выглядит следующим˙образом: ()= −[ () − 20 ]. Насыщение правой части разумно, учитывая,что для робота с ограниченной скоростью перемещения большие значения ˙нереалистичны. Очевидно, при → +∞ решения этого уравнения сходятсяк 20 .
Это иллюстрирует эвристику, на которую опирается предложенный116закон управления: цель управления (3.2) достигается в скользящем режиме.Вместе с тем его возникновение и поддержание априори не гарантируетсяи является предметом последующего анализа, связанного с адекватнойнастройкой параметров регулятора.В (3.6) доступ к значению ˙ может быть получен путем численногодифференцирования () по времени. Знак ± определяет направление обходагруппы — против или по часовой стрелке.3.2Предположения и необходимые условияЧтобы избежать чрезмерно ограничительных предположений, сначалаопределим минимальные требования, при выполнении которых цельуправления может быть достигнута.
Окончательные предположения будутпредставлять собой незначительные уточнения этих необходимых условий.Постановка задачи подразумевает, что на обход группы роботомс ограниченной скоростью выделено конечное время. Для этого естественнопредположить, что разброс целей должен быть ограничен.Предположение 3.2.1. Среднеквадратичный разброс положений целей (3.4)остается ограниченным с течением времени: ≤ < +∞ ∀,0 > .и(3.8)(3.9)Здесь условие (3.9) необходимо в силу (3.5).Очевидно также, что, ввиду ограничения на скорость, робот можетсправиться с поставленной задачей, только если цели двигаются не слишкомбыстро. Для уточнения этого требования обозначим через = ˙ скоростьробота, а через = ˙ — скорость цели и рассмотрим среднюю скоростьвсей группы и соответствующий среднеквадратичный разброс:1 ∑︁ = ˙ , := =1117⎯⎯⎸ ⎸⎸ 1 ∑︁⎸ 1 ∑︁2⎷⎷ :=‖ − ‖ =‖ − ‖2 . =122 ,=1(3.10)Следующее утверждение раскрывает требования к скорости робота,необходимые для того, чтобы цель управления могла быть достигнута.Оно также учитывает тот факт, что положения целей неизвестны роботуи поэтому он должен быть работоспособен при любых состоянияхгруппы, удовлетворяющих неравенству (3.8).
При этом предполагаем, чтовозможные скорости и ускорения целей не коррелированы с их позициями.(Это предположение также традиционно принимается при отсутствиикакой-либо информации об этой корреляции).Утверждение 3.2.1. Пусть скорости 1 , . . . , целей таковы, что робот√способен поддерживать требуемое среднеквадратичное расстояние ≡ 0независимо от положений целей при условии, что они удовлетворяют (3.8).Тогда имеет место следующее соотношение:‖ ‖ + √︀20 − 2≤ .(3.11)Доказательство: Воспользовавшись (3.4) и (3.5) и дифференцируя ≡20 , имеем:˙1 ∑︁0 = = ⟨ − ; − ⟩ +⟨ − ; − ⟩ ;2 =11 ∑︁⟨ − ; ⟩ = ⟨ − ; ⟩ +⟨Δ ; − ⟩ . =1(3.12)Здесь векторами Δ := − можно свободно манипулировать при соблюденииследующих условий∑︁Δ = 0,1 ∑︁‖Δ ‖2 = 2 , (3.13)при этом , , и не меняются. Нетрудно проверить, что в силу (3.13)минимальное и максимальное значения второго слагаемого√︁ ∑︀ правой части (3.12)достигаются при Δ = ±−1 [ − ] ∀, := 1 1 ‖ − ‖2 и равны118соответственно ± .
В то же время в силу (3.5) в первом слагаемом можноизменять независимо от Δ (не изменяя при этом , , ) при условии,2 2 = ‖ − ‖2 . Следовательно,первое слагаемое пробегает отрезокчто[︁ 0 −]︁√︀√︀−‖ ‖ 20 − 2 , ‖ ‖ 20 − 2 . В целом правая часть может принимать[︁]︁√︀√︀любое значение из отрезка −‖ ‖ 20 − 2 − , ‖ ‖ 20 − 2 + .]︁[︁ √︀√︀2222Аналогично левая часть всегда лежит внутри − 0 − , 0 − .Таким образом, из (3.12) следует, что√︁√︁2 0 − 2 ≥ ‖ ‖ 20 − 2 + ;.
≥ ‖ ‖ + √︀ 20 − 2Максимизация с учетом (3.8) завершает доказательство. Согласно (3.11) не только величина средней скорости целей не должнапревышать скорость робота, но и разброс их скоростей не должен бытьбольшим. Далее в главе 3 неравенство (3.11) считаем выполненным.Чтобы справиться с поставленной задачей, доступные роботу ускорениятакже должны быть достаточно большими. Покажем, что требованияк ускорению полностью определяют три усредненные характеристики целевойгруппы: среднее значение ускорения, среднеквадратичный разброс ускоренийразличных целей и скорость изменения среднеквадратичного отклоненияскорости целей от средней скорости группы (для удобства нормированнаякоэффициентом 12 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
