Диссертация (1149252), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Параметрырегулятора и выбираются согласно рекомендациям теоремы 2.1.1и одинаковы для всех роботов.Таким образом, управление угловой скоростью используем для выводаробота на эквидистанту (2.4). Управление с помощью выбора линейной скоростибудем использовать для регулирурования расстояния между роботами.Для этого воспользуемся законом управления, ключевые особенности которогобыли рассмотрены в параграфе 1.2 (и который по существу совпадает с этимзаконом в случае, когда расстояния вдоль эквидистанты недоступны и область«проницаема» для системы технического зрения робота). Для удобствачитателя в данном параграфе дается полное описание всех компонент законауправления.Именно, введем вспомогательные геометрические конструкции,в частности, выберем углы , − > 0 и радиусы , > 0 так, что<,2− <,2 < 0 , <.(2.14)Искусственно ограничим зону видимости vz каждого робота дискомрадиусом с центром в текущем местоположении робота: все, что находитсяза пределами диска, регулятором не учитывается.

Разобъем зону видимостина секторы в соответствии с рисунком 1.6. Напомним, что большой Sи малый Z секторы называются основной и дополнительной зоной учетасоответственно, а их объединение — просто зоной учета. Роботы ∈ называются соседями робота . Пусть U — объединение Z и двухрадиусов, ограничивающих S . За () обозначим расстояние от до U ;пусть ⋆ := min ( ), где min берется по всем соседям робота . Если соседиотсутствуют, то ⋆ := .Наконец, выберем гладкую и строго возрастающую функцию : [ 0, ] → ( , ] ,′ () > 0 ∀ ,(2.15)92которая проиллюстрирована рисунком 2.3.Рисунок 2.3 — Функция (·), используемая при формированиирегулятора линейной скоростиКак и в параграфе 1.2, закон управления линейной скоростью подвергаемкоррекции с помощью относительно малой тормозящей компоненты ().Окончательно закон управления выглядит следующим образом: () = [ ⋆ ] − ().(2.16)По-прежнему для точного определения тормозящей компонентыиспользуемследующиеобозначения,проиллюстрированныеранеерисунком 1.12:∙ | — полярный угол соседнего робота в относительной системекоординат, связанной с роботом ;— угол ориентации робота в этой системе координат.∙ |Затем выберем три непрерывные функции, : [−, ] → [ 0, + ∞), : [ 0, + ∞) → [ 0, + ∞),которые тождественны нулю вне интервала [−− , − ] и [ 0, ] соответственно,достигают своих максимальных значений в нуле (см.

рисунок 2.4) и достаточномалы: := max{1; } < [ (0) − ] −1 ,(2.17)где = (0) > 0, = (0) > 0, = (0) > 0. Эти функции используем,чтобы конкретизировать влияние робота на тормозящую компоненту робота посредством следующего определения веса соседа относительно робота :⎧⎨( ) ( ) (‖ − ‖) , если ∈ S ,||| :=(2.18)⎩( ) (‖ − ‖) ,если ∈ Z .|93Рисунок 2.4 — Функции, используемые для формированиятормозящей компонентыСоседний робот называется ближайшим, если | > 0. Цепочкаближайших соседей (ЦБС) — это последовательность, в которой за каждымроботом идет его ближайший сосед.По лемме 1.2.1 любая ЦБС содержит не более, чем роботов, причемони попарно различны. Каждый робот является корневым элементомконечного числа ЦБС и может определить каждую из них, так как расстояниемежду ближайшими соседями не превосходит и < −1 , где ≤ 0 ,а 0 — радиус зоны видимости робота.

Ранг робота — это максимальная длинаЦБС, для которой робот является корнем. Заметим, что ранг уменьшаетсяпри продвижении вперед по ЦБС.Тормозящую компоненту в (2.16) определяем рекурсивно. Для роботовранга 1 эта компонента равна нулю. Пусть уже определена для роботов,ранг которых не превосходит r. Пусть робот имеет ранг r + 1. Любой егоближайший сосед обладает рангом, не превышающим r, следовательно,компонента уже определена.

Положим|⎧ [︀⎨ 1 + −1 −1 −1 ]︀, если ∈ S ,|:=[︀]︀⎩ 1 + −1 −1 ,если ∈ Z ,| = max | .Здесь max берется по всем ближайшим соседям робота .Ранее по умолчанию предполагалось, что расстояние от роботадо множества U = Z ∪ R1 ∪ R2 (см. рисунок 1.6) измеряетсяпо прямой. Тогда вычисление является относительно простой задачей.Однако такой метод в общем случае не может обеспечить равномерноераспределение роботов вдоль эквидистанты (2.4) в ситуации, когда расстояниямежду ними понимаются как расстояния вдоль этой кривой, что представляетинтерес для многих приложений. Поэтому в данной главе параллельнорассматривается модифицированный закон управления.

Его единственное94отличие от уже описанного базового закона (2.16) заключается в способевычисления :1. через интересующую точку проводится эквидистанта EC и измеряетсядлина ее дуги между данной точкой и множеством U ;2. эта длина принимается за (), если ≤ − , где − < — ещеодин параметр регулятора;3. если > − , то объект на позиции не принимается во внимание.Таким образом, соседи робота не только находятся в его зоне учета,но и удовлетворяют требованию ≤ − .Вычисление EC требует дополнительных сенсорных возможностей: роботдолжен иметь доступ не только к значению минимального расстояниядо области , но и к значениям расстояний до граничных точек из достаточнобольшой окрестности своей проекции на область.

В силу того, что на большихрасстояниях результат такого рода вычислений чувствителен к погрешностямв измерениях, данную альтернативную технику имеет смысл применять тольков непосредственной близости к требуемой кривой: | − 0 | < , где > 0 —еще один параметр в законе управления.2.4Отсутствие столкновений между роботами и кластеризацииДалеерассматриваемроботов,управляемыхвсоответствиис предложенным алгоритмом и считаем выполненным следующеепредположение.Предположение 2.4.1. Каждый робот удовлетворяет предположениямтеоремы 2.1.1 и управляется регулятором (2.5), параметры которого и удовлетворяют неравенствам (2.13).Утверждение 2.4.1.

Роботы постоянно находятся на безопасномрасстоянии от области и сходятся к ее 0 -эквидистанте (2.4), т.е.выполнено (2.12) иdist [ (); E(0 )] → 0 при → +∞ ∀ .(2.19)95Пусть начальное расстояние между любыми двумя роботами превышает3 −1 + † , где † из (2.10). Тогда роботы не сталкиваются друг с другом: () ̸= () ∀ ̸= , ≥ 0.Данный результат справедлив как для основного, так и длямодифицированного регулятора скорости и для обоих сценариев С.1) и С.2).Доказательство этого утверждения аналогично доказательствутеоремы 1.3.1 и поэтому вынесено в приложение А.В общем случае целевая эквидистанта E(0 ) может содержать несколькокомпонент связности, как например, на рисунке 2.5.

Тогда из (2.19) следует,что вся группа роботов разбивается на непересекающиеся подгруппы такимобразом, что роботы из одной подгруппы сходятся к общей компоненте,отличной от компоненты для роботов другой подгруппы. В этом случаедальнейшие результаты главы 2 следует рассматривать отдельно для каждойкомпоненты связности и отвечающей ей подгруппы.

Поэтому, не умаляяобщности, можно наложить следующее условие.Предположение 2.4.2. Кривая E(0 ) является связной.компоненты эквидистантыРисунок 2.5 — Эквидистанта с двумя компонентами связностиЧтобы избежать кластеризации роботов не только при их боковомсближении, но и при движении по «разным» участкам кривой, следуетправильно настроить зоны учета в соответствии с рекомендациями следующегопредположения и рисунком 2.6.Предположение2.4.3. Всякийраз,когдароботдвижетсявдоль 0 -эквидистанты (2.4) и при этом ориентирован касательно к ней96и так, что область находится слева от него, справедливы следующиеутверждения:i) за исключением вершины, дополнительная зона учета роботане имеет общих точек с эквидистантой E(0 );ii) за исключением вершины сектора, радиусы, ограничивающие основнуюзону учета робота, не имеют других общих точек с E(0 ).эквидистантаПоскольку кривая E(0 ) регулярна, то утверждения i) и ii) выполненыпри любых значениях углов 0 < − < < 2 для достаточно малых радиусов , > 0.

Более того, i) обязательно выполнено, если область выпуклая.а)б)Рисунок 2.6 — Предположение 2.4.3 выполнено для а)и не выполнено для б)Следующий результат утверждает, что роботы не только не сталкиваютсядруг с другом, но и не сбиваются в кластеры даже при → + ∞ ;тем самым предложенный закон управления обеспечивает в некотором смыслеэффективное распределение роботов вдоль эквидистанты.Утверждение 2.4.2. Пусть выполнены соотношения (2.14), (2.15), (2.17)и предположения 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3. Тогда существуют такие > 0, > 0и > 0, что при всех ≥ справедливы следующие утверждения:i) расстояние между любыми двумя роботами превышает ;ii) проекция любого робота на эквидистанту E(0 ) единственна;iii) проекции любых двух роботов отделены друг от друга расстояниемне менее, чем ;iv) с течением времени эти проекции поддерживают определенныйциклический порядок вдоль замкнутой кривой.97Данный результат справедлив как для основного, так и длямодифицированного регулятора скорости и для обоих сценариев С.1) и С.2).В i) и iii) расстояние измеряется по прямой и вдоль эквидистанты E(0 )соответственно.

Поскольку доказательство данного утверждения аналогичнодоказательству теоремы 1.4.1, оно вынесено в приложение А.2.5Теорема о равномерном распределении роботовПерейдем к обсуждению условий, при выполнении которых происходитравномерная расстановка роботов вдоль целевой эквидистанты E(0 ), при этомрасстояние измеряется вдоль E(0 ). Первое условие заключается в том, чтоколичество роботов и их сенсорные возможности достаточны для того, чтобынаходиться в сенсорном контакте при равномерном распределении. Уточнимданное предположение.Пусть ориентация кривой E(0 ) задана таким образом, что область находится слева от E(0 ). Под идеальным равномерным распределениемпонимается любое распределение роботов вдоль E(0 ), при которомкаждый робот касается данной кривой и одинаково с ней ориентировани расстояния между соседними роботами, вычисленные вдоль кривой, равныдруг другу.

Далее рассматриваем циклическое упорядочение роботов, котороесоответствует ориентации E(0 ).Предположение 2.5.1. При любом идеально равномерном распределениикаждый робот обладает следующими свойствами:i) для сценария С.1) первый сосед спереди + робота не закрыт от негообластью ;ii) − > per , где per — периметр кривой E(0 );iii) если евклидово расстояние от робота до точки ∈ E(0 ),находящейся в ОЗУ данного робота , не превышает ,то расстояние от до вдоль E(0 ) не превышает per .Пусть E(0 ) — круг радиусом 0 . Учитывая предположение 2.4.3,00свойства 2) и 3) можно переписать как − > 2 , 2 sin > .98По утверждениям 2.4.1 и 2.4.2 проекция () любого робота () на E(0 )единственна при достаточно большом и ‖ () − ()‖ → 0 при → +∞.Когда речь идет о «распределении роботов вдоль E(0 )», имеется в видураспределение 1 (), .

Характеристики

Список файлов диссертации