Диссертация (1149252), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Эти характеристики определены следующим образом:1 ∑︁ := = ¨ , где := ¨ , =1⎯⎯⎸ ⎸∑︁⎸1⎸ 1 ∑︁ := ⎷‖ − ‖2 = ⎷ 2‖ − ‖2 . =12 ,=1(3.14)1 ∑︁1 1 ∑︁:=⟨ − ; − ⟩ =‖ − ‖2 . =12 =1(3.15)Как показано в [55], даже в случае единичной цели требованияк ускорениям не могут быть выражены в замкнутой форме: они аппелируютк вычислению максимума функции, заданной в замкнутой форме,119на множестве, заданном аналогично. Покажем, что данный формат сохраняетсяи для случая множественных целей.Обозначим через 01 единичную окружность с центром в начале координат,а через Φ := ( 01 −10 ) — матрицу поворота против часовой стрелки на угол 2 .Определим две функции (·) и (·) переменных ∈ [ 0, ], ∈ [− , ],* ≈ , ∈ 01 , которые также зависят от параметров группы , , , , :(,,) = (,, | , , , , ) :=[︃]︃ √︁:= 2 + ‖ ‖2 − 2 ⟨; ⟩ √︀ 2+ ⟨; ⟩ − 20 − 2 ⟨; ⟩ + 2 , (3.16)0 − 2 (,,* ,) = (,,* , | , , , , ) :=⃒⃒√︁√︁2⃒ ⃒222 − 2 − 2 + ⃒(,* ,) − 2 ⃒| ⟨; Φ ⟩ |+ √︂2 √︀ 2(︁)︁2 .√︀0 − 2 2 (20 − 2 ) − * + 20 − 2 ⟨; ⟩(3.17)Если = 0, то = 0 и может принимать только значение = 0; тогдав формуле выше полагаем 00 := 0.Утверждение 3.2.2.

Пусть скорости и ускорения целей 1 , . . . , , 1 , . . . , таковы, что робот способен поддерживать требуемое значение√среднеквадратичного расстояния ≡ 0 независимо от положенияцелей при условии, что они удовлетворяют (3.8). Тогда помимо (3.11)в любой момент времени справедливо следующее соотношение:max (,,* , | , , , , ) ≤ ,(3.18)где max берется по всем ∈ [ 0, ], = * , || ≤ , ∈ 01 .Для доказательства потребуется следующая лемма.Лемма 3.2.1.

Пусть H — гильбертово пространство, даны , ∈ H, > 0и ∈ R, где || ≤ ‖ ‖. Тогдаmax / min∈H: ‖‖=, ⟨; ⟩=⟨; ⟩ =120⎧⃦⃦⃦⃦⟨;⟩⎪⎨⃦ , если =⃦ −̸ 0,⟨;⟩±⃦⃦22‖‖‖‖=⎪⎩± ‖‖ ,если = 0,√︃где :=2(3.19)2.−‖ ‖2Доказательство: = 0. Тогда = 0. Следовательно, max / min берется по всей -сфереи (3.19) очевидно выполнено. ̸= 0. Рассмотрим гильбертово подпространство H0 := { ∈ H :⟨; ⟩ = 0}, нормальное к , и сделаем замену переменной на 0 ∈ H0и ∈ R, полагая = 0 + .

Множество {}︁{︁ ∈ H : ‖‖ = , ⟨; ⟩ = }в терминах новых переменных выглядит как 0 , : ‖0 ‖ = , = ‖ ‖2 .Отсюда следует, что левая часть (3.19) равна⟨max0 ∈H0 : ‖0 ‖=⟩0 +; =‖ ‖2⟨ ; ⟩ + max / min ⟨0 ; ⟩ =‖ ‖20 ∈H0 : ‖0 ‖=⟨⟩⟨; ⟩⟨;⟩+max/min;− ==02‖ ‖2‖‖0 ∈H0 : ‖0 ‖=⏟⏞∈H0⃦⃦⃦⃦⟨;⟩⃦⃦. −⟨;⟩±=⃦⃦22‖ ‖‖ ‖=Доказательство утвержденияи используя (3.10), имеем:3.2.2:Дифференцируя(3.12)2‖ − ‖ +⟨ − ; − ⟩+21 ∑︁=⟨Δ ; − ⟩ . =1(3.20)Пусть Δ пробегает всю область D, описываемую соотношениями (3.12)и (3.13), при этом , , , не меняются.

Тогда правая часть (3.20)∑︀пробегает промежуток [− , + ], где ± = maxD / minD 1 =1 ⟨Δ ; − ⟩.Чтобы вычислить ± , рассмотрим гильбертово пространство H-последовательностей Δ = (Δ1 , . . . , Δ ) ⊂ R2 , удовлетворяющих первому121уравнению в (3.13). Скалярное произведение в H задается как1 ∑︁ ⋆ *⟨Δ ; Δ ⟩ :=⟨Δ ; Δ ⟩ , =1⋆*где индексированные символы справа обозначают элементы соответствующихпоследовательностей. Нетрудно заметить, что := ( 1 − , . . .

, − ) ∈ H, := (1 − , . . . , − ) ∈ H, а ± — это max / min линейного функционалана пересечении сферы с гиперплоскостью:± =max / min⟨Δ; ⟩ .Δ∈H: ‖Δ‖=, ⟨Δ; ⟩=⟨− ; − ⟩Здесь ‖ ‖2 = 2 в силу (3.10), ‖‖2 = 2 в силу (3.14), а ⟨; ⟩ = в силу(3.15). Следовательно, лемма 3.2.1 гарантирует, что⎧√︃√︃22⎪⎪⎨ ± 2 − 2̸ 0, − 2 , если =22± =⎪⎪⎩± ,если = 0,(3.21)∑︀где = 1 =1 ⟨∆ ; − ⟩ может быть произвольно выбрано из [− , ].Рассмотрим единичный вектор и матрицу поворота против часовойстрелки на угол 2 : − :=,Φ := ( 01 −1(3.22)0 ),‖ − ‖и заметим, что√︁:= 20 − 2 ,‖ − ‖ = 0+ ⟨; ⟩ ,⟨; ⟩ =0√︃(︂)︂2⟨︀ −1⟩︀⟨; Φ⟩ = Φ ; = ± 2 −+ ⟨; ⟩ ,0(3.6) = Φ,√︁⟨; − ⟩ = 0 ⟨Φ; ⟩ = ± 2 20 − ( + 0 ⟨; ⟩)2 ,(3.23)122где + и − отвечают за обход по часовой стрелки и против нее соответственно.Левая часть (3.20) может принимать значения только из промежутка[︂]︂ 2 + ‖ ‖2 − 2 ⟨; ⟩+ ⟨; ⟩ − 0 ⟨; ⟩ + 2 +0⏟⏞(︂)︂√︁⟨;Φ⟩22.+ 2 0 − ( + 0 ⟨; ⟩) × [−, ] ∓ 20⏞⏟(3.24)Таким образом, этот промежуток покрывает интервал [− , + ], в которомменяется правая часть.

Учитывая, что знак в ∓ может принимать оба значения,отсюда следует:(︂)︂| ⟨; Φ ⟩ |max { − − ; + − } ≤ − 2.0В силу (3.21) это соотношение можно переписать в следующей форме:⎧ √︁⎨ 2 −−1⎩22√︁2 −22⎫⃒⃒⃒ ⃒+ ⃒ 2 − ⃒ , если ̸= 0, ⎬| ⟨; Φ ⟩ |+ 2≤ .⎭0 + || , если = 0,Остается использовать (3.16), (3.17) и учесть, что величинами , и можносвободно манипулировать в пределах [ 0, ], [− , ] и 01 соответственно. В случае одной стационарной цели неравенство (3.18) принимает вид−1≤ 0 , где min — минимальный 0 ≤ , что эквивалентно min := радиус поворота машины Дубинса (3.1). Тем самым (3.18) означает, чтотребуемый радиус обхода цели 0 соответствует «поворотным» возможностями2робота.

Это же условие может быть записано в виде 0 ≤ . Здесь леваячасть — это центростремительное ускорение, необходимое роботу для того,чтобы оставаться на окружности радиусом 0 с центром в положении цели,а правая часть — максимально возможное ускорение робота: действительно,в соответствии с (3.1):2[︃ :=¨¨]︃[︃= − sin cos ]︃= Φ,‖‖ = || ≤ .(3.25)123Таким образом, условие (3.18) означает, что робот способен двигатьсяс ускорением, необходимым для обхода цели на расстоянии 0 .Теперь допустим, что цель движется с постоянным вектором скорости .В относительной системе координат, связанной с целью, скорость робота равна − . Чтобы поддерживать постоянное расстояние 0 между роботом и целью : 1) относительная скорость − должна быть перпендикулярнаединичному вектору , направленному от к , и 2) центростремительное2‖робота должно осуществляться в направлении −.ускорение ‖−0√︁В силу 1) ⟨; ⟩ = ⟨ ; ⟩, поэтому ⟨Φ; ⟩ = ± 2 − ⟨ ; ⟩2 , где знакзависит от направления обхода.

Учитывая это, неравенство (3.18) простыми2‖преобразованиями превращается в ‖−≤ |⟨Φ; ⟩|, где согласно (3.25)0 |⟨Φ; ⟩| = max||≤ −⟨; ⟩ — максимально возможное (при выполнении 1))ускорение робота в направлении −. Таким образом, условие (3.18) сноваозначает, что робот способен к ускорению, необходимому для обхода целина расстоянии 0 .Фактически при доказательстве утверждения 3.2.2 была показанасправедливость этого результата в общем случае: условие (3.18) означает,что робот способен к ускорению, необходимому для обхода группы целейс сохранением величины 0 среднеквадратичного расстояния.Предполагаем, что необходимые условия в виде неравенств (3.11)и (3.18) выполнены со знаком строгого неравенства, которое не деградируетв нестрогое неравенство с течением времени.

Именно, накладываем следующеепредположение.Предположение 3.2.2. Существуют ∆ > 0 и ∆ > 0 такие, чтоследующие усиления неравенств (3.11) и (3.18) выполнены в любой моментвремени и для любых ∈ [ 0, ], * = , || ≤ , ∈ 01 :‖ ‖ + √︀20 − 2≤ − ∆ , (,,* , | , , , , ) ≤ − ∆ .(3.26)(3.27)Далее будет показано, что это «почти необходимое» условие достаточно√для того, чтобы робот мог окружить группу целей на расстоянии ≡ 0 .Более того, это окружение обеспечивается регулятором (3.6) при его корректной124настройке, причем решение соответствующего дифференциального уравнениязамкнутой системы устойчиво по Ляпунову и локально асимптотическиустойчиво.Что касается нелокальной устойчивости, заметим, что рассматриваемую√задачу можно трактовать как задачу регулирования выходной переменной к заданному значению.

Имеющийся опыт теоретического исследования такихзадач указывет, что для успешного решения требуется управляемость√выхода. По крайней мере, робот должен быть способен по своемуусмотрению увеличивать, уменьшать или сохранять неизменным значениевыхода хотя бы в рабочей зоне. Согласно утверждениям 3.2.1 и 3.2.2, сохранениезначения выхода возможно, только если неравенства (3.11) и (3.18) выполнены√для любого значения 0 , которое может принимать в этой зоне. Как будетпоказано, незначительное усиление этого условия, с учетом его расшифровкив предположении 3.2.2, достаточно для нелокальной устойчивости.Перейдем к точным формулировкам, предполагая для удобства,√что рабочая зона определена крайними значениями − ≤ + выхода в этой зоне.Предположение 3.2.3. Существуют ∆ > 0 и ∆ > 0 такие, чтонеравенства (3.26) и (3.27) выполнены в любой момент времени для любых ∈ [ 0, ], || ≤ , ∈ 01 и для любого значения 0 из промежутка[− , + ].

Здесь [− , + ] ∋ 0 , и аналогично (3.9) − > .Как будет показано далее, применение закона управления (3.6)приводит к тому, что в течение некоторого начального промежутка времениробот движется с управлением ≡ ± . Соответствующее движениепроисходит по однозначно определенной начальной окружности ±inиз начального положения, указанного в (3.1). Последнее предположениечисто техническое и необходимо для того, чтобы в результате этого начальногодвижения замкнутая система приходила в скользящий режим (подробнее —см.

лемму 3.3.3).Предположение 3.2.4. В течение первых 3 −1 единиц времени начальныеокружности и центр группы лежат в непересекающихся стационарныхполуплоскостях, причем эти окружности остаются в рабочей зоне2− ≤ ≤ 2+ .125Первое требование означает, что робот начинает движение достаточнодалеко от преследуемой группы, а второе требование гарантирует, что в течениевышеупомянутого начального временного интервала он не покидает рабочуюзону.3.3Основные результатыПервая теорема главы 3 показывает, что предложенный законуправления (3.6) обеспечивает достижение цели управления при минимальныхи естественных предположениях, изложенных в предыдущем параграфе.Теорема 3.3.1.

Пусть выполнены предположения 3.2.1—3.2.4 и управлениероботом осуществляется в соответствии с законом управления (3.6).Тогда параметры и = этого закона могут быть выбраны такимобразом, что цель управления (3.2) достигается, и робот не покидает рабочейзоны 2− ≤ ≤ 2+ . При этом по истечении некоторого времени векторот центроида целевой группы к роботу постоянно вращается против часовойстрелки, если в (3.6) взят знак +, и по часовой стрелке в противном случае.Поскольку это утверждение легко вытекает из следующей теоремы 3.3.2,доказательство теоремы 3.3.1 будет дано после доказательства теоремы 3.3.2.Рассмотрим подробнее настройку регулятора. Для этого заметим, чтов предположении 3.2.3 область изменения значений , , * , из (3.27)может быть увеличена за счет уменьшения ∆ в силу непрерывности.Строго говоря, данный факт можно гарантировать, только если параметрыгруппы ‖ ‖, ‖ ‖, , с течением времени остаются ограниченными, что,как правило, имеет место на практике.

Характеристики

Список файлов диссертации