Диссертация (1149252), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Особый интерес представляетослабление условия * = . В этой связи положительное вещественное +назовем допустимым * -приращением, если предположение 3.2.3 остаетсяверным при замене * = на |* − | ≤ 2+ . Чтобы отразить влияние +на ∆ в (3.27), соответствующее значение обозначим ∆ (+ ). Как было толькочто показано, допустимые * -приращения действительно существуют.Теорема 3.3.2.
Пусть выполнены предположения 3.2.1—3.2.4 и управлениероботом осуществляется в соответствии с законом управления (3.6).126Рассмотрим некоторое допустимое * -приращение + , и пусть параметры и = удовлетворяют следующим неравенствам:}︁{︁√︀220 < < min + ; 2∆ − − ,< ∆ (+ ). √︀ 22 − − 2 ∆ − (3.28)Тогда верно заключение теоремы 3.3.1.Для доказательства теоремы 3.3.2 предварительно установим нескольколемм. Для определенности сосредоточимся на случае, когда в регуляторе (3.6)в «±» взят «−»; противоположный случай исследуется аналогично. В фазовомпространстве робота рассмотрим поверхность S, описываемую уравнением := ˙ + ( − 20 ) = 0.
Символом Sop обозначим множество точек из S,лежащих в рабочей зоне ∈ [2− , 2+ ]. Вначале считаем, что выполнены толькопредположения 3.2.1—3.2.2, а параметры регулятора выбраны в соответствиис условиями теоремы 3.3.2.Лемма 3.3.1. Для любого состояния робота из Sop проекция скорости на вектор Φ−1 , определенный в (3.22), отлична от нуля, и| | ≥ ∆ − √︀ 2> 0.2 − − 2Область Sop , в которой положительна (отрицательна), являетсяповерхностьюскользящегорежима(двусторонне-отталкивающейповерхностью).Доказательство: На Sop имеем: ˙ = −( − 20 ) и в силу (3.7)˙ ≤ .||(3.29)√Согласно (3.5) 2* = ‖ − ‖2 + 2 , где * := ∈ [− , + ]. Следовательно,√︀‖ − ‖ = * := 2* − 2 , и аналогично (3.12):⟨; ⟩ = ⟨; ⟩ + √︀*,2* − 2˙где * := − ,21 ∑︁ :=⟨Δ ; − ⟩ ⇒ |* | ≤ + .
=12(3.30)127Отсюда⃒⃒⃒⃒ + 2 (3.8)*⃒⃒|⟨; ⟩| = ⃒⟨; ⟩ + √︀≤⃒ ≤ ‖ ‖ + √︀ 2⃒2* − 2 ⃒* − 2(3.8)(⋆)√︀√︀≤ ‖ ‖ + √︀+≤−∆+,2 2− − 22* − 2 2 2* − 2где (⋆) выполнено по предположению 3.2.2. Доказательство первогоутверждения леммы завершается следующим наблюдением:(†)⃒⟨︀(‡)⟩︀⃒ √︁−1⃒ ; Φ ⃒ = 2 − ⟨; ⟩2 ≥ − |⟨; ⟩| ≥ ∆ − √︀ > 0,2 2− − 2где (†) выполнено в силу |⟨; ⟩| ≤ , а (‡) — в силу (3.28).Для любой точки из Sop при замыкании регулятором (3.6) имеем:sgn⃒ ⃒ ⃒=±⃒ ⃒sgn ⃒= sgn ⇒ точка скольжения,= −sgn ⇒ точка неустойчивости,(3.31)=±где= ⏟ ¨⏞ +( − 20 ) .⏟⏞A(3.32)BПовторяя рассуждение, лежащее в основе (3.20) и (3.24), убеждаемся, что]︂[︂¨*+ ⟨; ⟩ ∓= ⟨ − ; ⟩ + 2 + ‖ ‖2 − 2 ⟨; ⟩20√︁⟨; Φ ⟩∓ 2 2 2* − (* + * ⟨; ⟩)2−*⏟⏞*− * ⟨; ⟩ +21 ∑︁(*)−⟨Δ ; − ⟩ = =11 ∑︁⟨; Φ ⟩= ⟨ − ; ⟩ ∓ 2*+ (,* ,) −⟨Δ ; − ⟩ ,* =1(*)(3.33)+ и − отвечают за положительное и отрицательное направление соответственно, а (*) следует из (3.16), где 0 := * .
Аналогично (3.23):⟨; − ⟩ = ± * . Повторяя рассуждение, лежащее в основе (3.21), получаем,128что последнее слагаемое из (3.33) лежит в [− , + ]. Здесь ± по-прежнемувыбирается согласно (3.21), где соответствует (3.30) и тем самым лежитв [− , ]. Значит, существет такое ∈ [−1, 1], что¨ = ± 2* [ − Ω ], где√︁√︁22 − 2 2 −(,* ,) − 2 ⟨; Φ ⟩Ω := 2∓∓***22С учетом (3.17) |Ω| ≤ (, , * , ), где 0 := * , |* − | ≤по предположению 3.2.3 и в силу неравенств (3.28).2.Тогда|Ω| ≤ − ∆ (+ ).В то же время для второго слагаемого из (3.32) имеем:⎧⎨ ,˙ если | − 2 | < (3.29)0=⇒ |B| ≤ .B=⎩0,если | − 20 | > Теперь рассмотрим ситуацию, когда и Φ−1 одинаково ориентированы.Тогда ⃒⃒= 2* [ ± − ] ,⃒ =±где := Ω ±|| ≤ − ∆ (+ ) +√︃* = *(︂2 −)︂2*+ ⟨; ⟩*(3.30)≥*;2*√︃(︂2 −[︃B;2* +*]︃2)︂2+ ‖ ‖ ≥(3.26)√︀≥ * − √︀ 2−‖‖−≥− − 22 2− − 2√︀√︁(3.26)2 2− − 2 ∆ − 2 − 2 ∆ − > 0.√︀≥ *≥−22 2− − 2Таким образом,|| ≤ − ∆ (+ ) + √︀ 22 − − 2 ∆ − (3.28)<.129Отсюда следует истинность первой импликации из (3.31), что завершаетдоказательство.
Лемма 3.3.2. Предположим, что (0 ) ∈ [2− , 2+ ] и (0 ) = 0 в моментвремени 0 . Также пусть либо проекция (0 ) положительна, либо () ̸=0 ∀ < 0 , ≈ 0 . Тогда () → 20 при → +∞ и () ∈ [2− , 2+ ] при ≥ 0 .Доказательство: Поскольку (0 ) ∈ [2− , 2+ ], то в момент времени = 0робот находится в Sop .
Если () ̸= 0 ∀ < 0 , ≈ 0 , то по лемме 3.3.1проекция (0 ) положительна, в противном случае оказалось бы, что в момент = 0 робот прибыл на двусторонне-отталкивающую часть поверхности Sop ,что невозможно. Таким образом, > 0 в любом случае. Согласно лемме 3.3.1в момент времени = 0 начинается движение в скользящем режиме и онопродолжается, пока ∈ [2− , 2+ ]. Во время этого движения ˙ = −(), где := − 20 , и () > 0 ∀ ̸= 0 и (0) = 0. Любое решение этогодифференциального уравнения, очевидно, монотонно стремится к 20 ∈ [2− , 2+ ].Следовательно, никогда не покидает интервал [2− , 2+ ], скользящий режимне прерывается и → 20 при → +∞.
Лемма 3.3.3. Пусть выполнены предположения теоремы 3.3.3. Тогдамомент времени 0 с указанными в лемме 3.3.2 свойствами действительносуществует.Доказательство: Если изначально = 0 и положительна,утверждение тривиально с 0 = 0. Если изначально = 0, но отрицательна,то по лемме 3.3.1 робот сразу же попадает в область ̸= 0. Таким образом,не умаляя общности, доказательство можно сфокусировать на ситуации, когда(0) ̸= 0. Пусть для определенности (0) < 0 (при (0) > 0 доказательствоаналогично).Предположим, что утверждение леммы неверно: не существует 0c указанными свойствами. По лемме 3.3.1 в области D и при ∈ [2− , 2+ ]величина может обращаться в ноль, только когда положительна.Следовательно, пока робот находится в D, справедливо неравенство < 0.Поэтому в силу (3.6) ≡ , и робот движется вдоль начальнойокружности + , выполняя один полный оборот за = 2 −1 единиц времени.По предположению 3.2.4 эта окружность лежит в области D в течение130[︀]︀всего временного интервала 0, 3 −1 .
Таким образом, на протяжении этоговремени движение происходит по + и < 0, ≡ .(3.34)[︀]︀Согласно предположению 3.2.4 при ∈ 0, 3 −1 окружность + и центргруппы целей постоянно разделены неподвижной прямой. Поэтому полярныйугол вектора () − () непрерывно эволюционирует в пределах интервала,длина которого не превосходит . В то же время значения полярного угла непрерывно и монотонно зачерчивают промежуток длиной 3. Следовательно,[︀]︀неизбежно существуют два момента времени ∈ 0, 3 −1 , = 1, 2 такие,что ( ) и (−1) [ ( )− ( ) ] колинеарны и одинаково направлены для = 1, 2.Тогда в силу (3.12) при = , = 1, 2 имеем:[︀]︀ = ˙ + [ − 20 ] = 2 ‖ − ‖ (−1) + , где⟩⟨∑︁[ − 20 ]1 − ⟨ Δ ; − ⟩ +; −.
:= −‖ − ‖ ‖ − ‖ =12 ‖ − ‖√√︀Положим * := ∈ [− , + ]. Учитывая, что ‖ − ‖ = 2* − 2 в силу (3.5),⃒⃒2 ⃒⃒и что [ − 0 ] ≤ в силу (3.7), имеем:(3.8)≤+ √︀2* − 2 2 2* − 2(3.8)(3.26), (3.28)√︀≤ ‖ ‖ + √︀+≤ − ∆ + ∆ ≤ .2222* − 2 * − | | ≤ ‖ ‖ + √︀Таким образом, при = , = 1, 2 непрерывная функция () принимаетзначения противоположных знаков. Следовательно, она обращается в нольв некоторой точке между 1 и 2 , что нарушет (3.34). Полученное противоречиезавершает доказательство.
Доказательствоиз лемм 3.3.1—3.3.3. теоремы3.3.2:ЗаключениетеоремыследуетДоказательство теоремы 3.3.1: Данная теорема напрямую вытекаетиз теоремы 3.3.2. 131Параметры регулятора и всегда могут быть выбраны таким образом,чтобы условия теоремы 3.3.2 выполнялись: первая строка в (3.28) справедливапри достаточно малых ; для фиксированного вторая строка справедливапри достаточно малых . Данными соображениями можно руководствоватьсяпри экспериментальной настройке регулятора. Для аналитической настройкидолжны быть известны оценки используемых в (3.28) параметров группыцелей. Также должны быть известны оценки допустимых * -приращенийи соответствующих «зазоров» ∆ (+ ), что, как правило, достигаетсяв результате элементарных упражнений по математическому анализу.
Вместес тем их детали существенно зависят от имеющихся данных о группе целей.В этой связи иллюстрацию этих оценок целесообразно привязать к болееконкретным сценариям (две такие иллюстрации рассмотрены в следующемпараграфе).Чтобы обеспечить нелокальную сходимость, в предыдущих теоремахтребовалось не только усиление необходимых условий (3.11), (3.18) путем ихпреобразований в строгие неравенства, но и их распространение с требуемогосреднеквадратичного расстояния 0 на все расстояния, возможные в рабочейзоне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
