Диссертация (1149252), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Сначала выберем настолько большим, чтобы он превышал момент времени из леммы 1.4.2и при ≥ регуляторы (1.2) всех роботов находились в скользящем режиме;в соответствии с леммами 1.1.3 и 1.1.4 такой выбор возможен. Согласнолемме 1.1.5 движение обоих роботов происходит по интегральным кривымодного и того же дифференциального уравнения ˙ = (), для которого 0— предельный цикл. Для любого робота «домашняя» интегральная криваяпроходит вершину основной зоны учета по касательной к ее биссектрисе .(︀)︀Выберем † ∈ ( 0, ) и ∈ 0, min{ 2 − , − } настолько малыми, чтобы[︀]︀при условии dist ; 0 < † были справедливы следующие утверждения:1. диск D( , † ) делится на две части дугой A ∋ «домашней»интегральной кривой;2.
множество := Z ∩ D( , † ) ∖ { }, где Z – вспомогательная зонаучета робота , полностью лежит в одной P+ из этих частей;3. зеркальное отражение относительно осевой линии робота не пересекается с P+;4. всякий раз, когда какой-нибудь робот находится в P+ и угловоерасхождение между вектором его ориентации и аналогичным векторомробота меньше , его вспомогательный сектор учета не содержит .61Теперь положим () := [ () ] и увеличивая (если необходимо) , добьемся,чтобы при ≥ [︀]︀dist (); 0 < † ∀,‖ () − ()‖ < † ,^ ( (), ()) < .
(1.25)Начнем с рассмотрения случая, когда в некоторый момент времени ≥ один из роботов, скажем, находится во вспомогательной зоне учета Z другогоробота . В силу (1.25) () ∈ D( , † ) ∀ ≥ и ( ) ∈ P+ ( ). Такимобразом, ( ) лежит на интегральной кривой, которая отличается от кривой,содержащей ( ). Поскольку интегральные кривые не пересекаются, робот не пересекает дугу A из свойства 1. Следовательно,4. и (1.25) () ∈ P+ () =====⇒ () ̸∈ Z () ∀ ≥ .(1.26)Тем временем следствие 1.4.3 гарантирует, что некоторое время спустя =* > робот покинет вспомогательную зону учета Z через ее переднийрадиус FRZ , тем самым попадет в основную зону учета S и в последствиине сможет покинуть S через тот же самый радиус FRZ , т.е.
через радиусограничивающий S «сверху» (см. рисунок 1.6). По свойству 3 и в силу первоговключения из (1.26) робот не может покинуть S через другой граничныйрадиус S . Из этого следует, что при ≥ * робот постоянно находитсяв основной зоне учета робота .
Для таких робот не лежит в основнойзоне учета робота в силу элементарных планиметрических соображенийи последнего неравенства в (1.25), где < 2 − . Также, согласно (1.26),он не лежит во вспомогательной зоне учета робота . Таким образом, при ≥ *робот не принадлежит зоне учета робота в целом. Чтобы завершитьдоказательство, достаточно взять := * .Остается рассмотреть случай, когда при всех ≥ ни один из роботов и не находится во вспомогательной зоне учета другого робота. Из элементарныхпланиметрических соображений и второго соотношения в (1.25) следует, чтотем не менее один из них, скажем, находится в зоне учета другого робота ,а точнее, — в основной зоне учета S . Робот не может покинуть зону Sчерез радиус, ограничивающий ее «сверху», поскольку тогда он попадетво вспомогательную зону учета Z , что не согласуется с рассматриваемойситуацией. Аналогично он не может уйти через другой ограничивающий62радиус, так как в противном случае в силу последнего соотношения в (1.25)и неравенства < − робот окажется в Z .
Таким образом, робот все времянаходится в S . Из этого и (1.25) следует, что ̸∈ S , тогда как ̸∈ Sпо предположению. Следующая лемма фактически завершает доказательство теоремы 1.4.1.Лемма 1.4.4. Каждый кластер состоит только из одного робота.Доказательство: Предположим обратное: некоторый кластер содержит больше роботов. Пусть Γ — ориентированный граф с множествомвершин , в котором ребро направлено от к тогда и только тогда, когдапри всех ≥ , где — из леммы 1.4.3, робот постоянно находитсяв основной зоне учета робота и при этом никогда не попадает в зону учета .)︀(︀Увеличивая , добьемся, чтобы ^ ( , ) < 2 − −1 при всех ≥ .Тогда из элементарных планиметрических соображений следует, что графне содержит циклов.
Следовательно, существует вершина ∈ , из которойне выходит ребер. В то же время по лемме 1.4.3 обязательно существует ребро,«идущее» в из некоторой вершины ∈ .∞Пусть R = [ ∞1 , . . . , ] — -предельное распределение. Рассмотрим→+∞соответствующую возрастающую последовательность < 1 < . . . < −−−−→+∞. Поскольку и линейная, и угловая скорости робота ограничены,‖ () − ∞ ‖ → 0,^ ( (), (∞ )) → 0при ∈ ( − , + ), → +∞, → 0.∞Рассмотрим «виртуального» робота vir (∞ ), который находится в точке и ориентирован по касательной к 0 в отрицательном направлении.
Согласнопредположению 1.4.1 вспомогательная зона учета любого vir (∞ ) не содержит∞других виртуальных роботов ∞̸= ∞ , а расстояние | от до радиусов, ограничивающих основную зону учета vir (∞ ), не равно нулю.По непрерывности эти утверждения распространяются и на реальных роботовв моменты времени ∈ ( − , + ), где и > 0 достаточно большоеи малое соответственно. Отсюда следует, что вспомогательная зона учеталюбого робота пуста (может, за исключением переднего радиуса), в то времякак в основной зоне учета может находиться робот из другого кластера, в этом}︀{︀∞ > 0.;случае ( ) ≥ := min 21 min∞≠|63Пусть ∈ ( − , + ).
Если основная зона учета робота пуста,то ⋆ = , и в силу (1.12)(︀)︀ − = (⋆ ) − [ (⋆ ) − ] ≥ () − ‖ − ‖ ,lim( − ) ≥ () − (0),(1.27)→+∞, →0где предел касается только тех ∈ ( −, +), для которых рассматриваемаяситуация имеет место. Если эта зона не пуста, она может содержать толькороботов из других кластеров. Поэтому ⋆ ≥ , и(︀)︀ (⋆ ) − (⋆ ) ≥ () − ‖ − ‖ ,lim( − ) ≥ 0,→+∞,→0т.е. (1.27) снова выполнено.
Следовательно, существуют такие 0 и > 0, что () − () ≥ :=1[ () − (0) ] > 0 ∀ ∈ ( − , + ), ≥ 0 .2Аналогично (1.21), уменьшая и увеличивая 0 (если необходимо), добьемся,чтобы‖ − ‖ ≥ cos ∀ ∈ ( − , + ), ≥ 0 .2Тогда ‖ ( + ) − ( + )‖ ≥ 2 cos ∀ ≥ 0 , что нарушает iii)в следствии 1.4.1. Полученное противоречие завершает доказательство. Доказательство теоремы 1.4.1: Утверждение i) обосновываеттеорема 1.1.2; утверждение ii) следует из лемм 1.4.1 и 1.4.4; утверждение iii)вытекает из ii). 1.5Теорема о равномерном распределении роботовДальнейшая характеристика итогового распределения роботовна изолинии 0 подразумевает сравнение расстояний вдоль этой кривоймежду соседними парами роботов; например, равномерное распределениеозначает, что для всех пар это расстояние одно и то же.
Вместе с тем64измерение расстояния вдоль неизвестной изолинии неизвестного поляявляется сложной задачей для робота. В этой связи предложенный регуляториспользует измерения расстояний не вдоль изолинии, а по прямой. Посколькуаналитическая характеристика итогового распределения требует явной,и желательно — максимально точной, оценки расстояния между роботамивдоль кривой при ≈ +∞, и вместе с тем закон управления не используетобратной связи от этого расстояния, такая характеристика оказываетсядостаточно проблематичной в случае общей кривой 0 .
(Этот вопросисследуется далее в параграфе 1.6 с помощью компьютерного моделирования.)Теоретическое же исследование данного параграфа, ограничим ситуацией,когда целевая линия уровня 0 представляет собой окружность. В этом случае(1.9) состоит только из одной компоненты связности: = 1, и 10 = 0 .Следовательно, все роботы принадлежат одной группе 1 и сходятсяк окружности 0 .Чтобы обеспечить равномерное распределение вдоль окружности,радиус основной зоны учета не должен быть чрезмерно большим.Для конкретизации этого требования рассмотрим ситуацию, когда роботынаходятся на окружности 0 и ориентированы по касательной к ней(см. рисунок 1.19).
Пусть † — расстояние от точки ∈ 0 до объединениядвух лучей, соответствующих радиусам основной зоны учета. Пусть движетсявперед вдоль 0 от точки положения робота. Тогда † будет возрастатьдо тех пор, пока не будет пройдена определенная критическая точка cr ∈ 0 .Согласно рисунку 1.19 расстояние по прямой от cr до робота составляет20 sin 2 , где 0 — радиус 0 .
Радиус основной зоны учета выбираем так,чтобы она не выходила за пределы критической точки, другими словами,обеспечиваем монотонное возрастание † (вдоль окружности 0 ) в этой зоне: < 20 sin .2(1.28)Теорема 1.5.1. Пусть выполнены предположения теоремы 1.4.1, требуемаяизолиния (1.7) — окружность 0 , и для определенности множество { :() > 0 } лежит внутри 0 .
Пусть также верно (1.28) и при равномерномраспределении роботов вдоль 0 основная зона учета каждого роботане пуста, но при этом первый предшественник не является ближайшим65соседом:> .(1.29)Здесь 0 — радиус 0 , — количество роботов, а и заимствованыиз рисунка 1.6. Тогда роботы асимптотически приходят к равномерномураспределению вдоль 0 .А именно, заключение теоремы 1.4.1 справедливо для := 1, 1 := [ 1 : ], 10 := 0 , и после надлежащей нумерации роботов ∈ [ 0 : − 1 ] имеютместо следующие утверждения:i) при ≥ проекции 0 (), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
