Диссертация (1149252), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Необходимо вывести робота на линию уровня { : () = 0 },где поле принимает заданное значение 0 , и обеспечить дальнейшее движениеробота вдоль нее: [(), ()] → 0 при → +∞.Системе управления доступно значение поля () := (,) в текущей˙локации робота = (), = () и она способна определять скорость (),с которой меняются эти значения с течением времени , например, используячисленное дифференцирование показаний датчика значения поля.Рисунок 1.2 — Скалярное поле () и линия уровня34Рассматривается следующий закон управления:{︁}︁˙() = sgn () + () [() − 0 ] ¯ ,⎧⎨,если || ≤ ,где () :=⎩sgn () , если || > , := ,(1.2)(·) — линейная функция с насыщением (см.
рисунок 1.3), коэффициентусиления > 0 и порог насыщения > 0 — параметры регулятора.Рисунок 1.3 — Линейная функция с насыщением ()Уравнение скользящего режима для данного закона управления˙ = −() [ () − 0 ] или ′ = −[ () −записывается следующим образом: ()0 ]. Поскольку (0) = 0 и () > 0 ∀ ̸= 0, все решения этого уравнениясходятся к 0 при → +∞, где — пройденный путь (что эквивалентно → +∞, так как ()˙= () ∈ [ , ], 0 < < < +∞). Таким образом,цель управления достигается в скользящем режиме.Вышеизложенное позволяет предположить, что любая функция (·),для которой (0) = 0 и () > 0 ∀ ̸= 0, может быть использованав законе управления (1.2) при условии, что замкнутая система рано или поздноприходит в непрекращающийся скользящий режим.
Последнее условие влечетдополнительные требования к (·). Главное из них заключается в том, чтоиз-за ограничений на скорость робота большие значения ˙ не могут быть˙ = −() [ () −достигнуты. Поэтому в уравнении скользящего режима ()0 ] разумно насыщение правой части; в противном случае возникаютсомнения в реалистичности скользящего режима. Наконец, технически выгодноограничить производную (·). В (1.2) линейная функция с насыщением выбранакак простейший пример функции с указанными свойствами: () > 0 ∀ ̸=0, (0) = 0, (·) и ее производная ограничена.
В то же время основные35результаты главы 1 могут быть распространены на многие другие функциис этими свойствами, например, на () = arctan .Основные результаты главы 1 справедливы и для противоположного знакав (1.2), т.е. при замене () = sgn {. . .} на () = −sgn {. . .}; знак отвечаеттолько за направление движения робота вдоль линии уровня (против илипо часовой стрелке соответственно).Решения замкнутой разрывной обратной связью (1.2) системы управления(1.1) понимаются в смысле Филиппова [144; 145]. В случае неединственностирассматриваются все возможные решения.1.1.2Предположения, необходимые условия и основной результатПредполагаем, что поле дважды непрерывно дифференцируемо.Ориентируем изолинии () := { : () = } поля таким образом,что при движении робота по изолинии в положительном направлении область{ : () > } больших значений поля лежит слева. Введем базис Френе[︀]︀ [︀]︀ , = (), () изолинии := (* ) в точке ∈ R2 (см.
рисунок 1.4).Здесь* := (), — положительно ориентированный единичный касательный вектор, а () :=∇()‖∇()‖— единичный вектор нормали. Обозначим через (∆|) ординату ближайшейк точки пересечения оси ординат базиса Френе и «возмущенной» изолинии(* + ∆) (см. рисунок 1.4).Далее используем следующие характеристики поля, каждая из которыхобладает определенным геометрическим или физическим смыслом:∙ κ() — кривизна (со знаком) изолинии в точке ;Δ∙ () := limΔ→0 (Δ|)— плотность изолиний в точке ;Δ)−ln ()∙ () := limΔ→0 ln (+ Δ— коэффициент логарифмическогокасательного уплотнения изолиний в точке ;36Рисунок 1.4 — Базис Френе и «возмущенная» изолинияΔ)−ln ()∙ () := limΔ→0 ln (+Δ— коэффициент логарифмическогонормального уплотнения изолиний в точке .Напомним, что традиционно знак кривизны определяют таким образом,что выполнены следующие формулы Френе-Серре:= κ ,= −κ ,где — положительно ориентированный натуральный параметр кривой ()(длина дуги).
Таким образом, κ() ≥ 0, если в граничной точке области{ * : ( * ) ≥ * } больших значений поля эта область локально выпукла(т.е. выпукло ее пересечение с малым диском с центром в ). Аналогичноκ() ≤ 0 в случае локальной вогнутости (см. рисунок 1.5). Плотность изолиний характеризует «число» изолиний, удаленных от основной изолинии не более, чем на «малое» расстояние ∆, а именно, — это коэффициентпропорциональности в соотношении ≈ ∆ при ∆ ≈ 0.
При этом упомянутое«число» определяется величиной изменения значений поля на рассматриваемыхизолиниях.Рисунок 1.5 — Определение знака кривизны κ()Лемма 1.1.1. Если поле (·,·) дважды непрерывно дифференцируемов окрестности точки и ∇() ̸= 0, то κ(), (), (), () определены37корректно, = ‖∇‖,κ=⟨′′ ; ⟩,‖∇‖ =⟨′′ ; ⟩,‖∇‖ =⟨′′ ; ⟩.‖∇‖(1.3)Робот (1.1) не способен отслеживать сильно искривленные изолинии,так как его радиус поворота в момент времени ограничен снизу величиной() −1 ≥ −1 . Далее в явном виде представлены необходимые условияспособности робота отследить изолинию «в принципе», т.е. при идеальномуправлении.Лемма 1.1.2. Пусть при движении робот постоянно находитсяна требуемой изолинии [()] ≡ 0 , а ∇() ̸= 0 ∀ ∈ (0 ). Тогда|κ[()]| () ≤ ∀.Следовательно, чтобы цель управления была достижима, необходимовыполнение последнего неравенства.
При этом, с одной стороны, в типичномслучае ограниченной изолинии перемещающийся по ней со скоростью () ≥ > 0 робот зачерчивает всю изолинию, а с другой стороны, профильего скорости () относится к числу неопределенностей, и для скоростиизвестны лишь верхняя и нижняя границы. Поэтому обсуждаемоенеравенство естественно распространить, во-первых, на всю изолинию,и во-вторых, на все значения скорости из известного диапазона [ , ].В результате приходим к следующему условию:|κ()| ≤ ∀ ∈ (0 ).Предыдущий анализ касался возможности оставаться на требуемойизолинии. Однако цель управления предполагает регулирование «выходнойпеременной» () = [()] к желаемому значению. Разрешимостьтаких задач традиционно увязывают с наличием у «выхода» некоторойстепени управляемости.
Например, робот должен иметь возможность перейтиот текущей изолинии как к большим, так и к меньшим значениям поля.Поскольку нахождение на изолинии эквивалентно ˙ ≡ 0 ⇔ ′ ≡ 0, такаяуправляемость означает возможность произвольно манипулировать знаком ′38за счет выбора допустимого управления ∈ [−, ].
В силу (1.1)′ = ⟨∇; ⟩ ,где := (cos , sin )⊤ ;(1.4)′ ≡ 0 ⇒ ⟨∇; ⟩ = 0 ;′ = ⊥ , где вектор ⊥ := (− sin , cos )⊤ коллинеарен ∇ ;[︂]︂′′ ′⟨;⟩ = ± ‖∇‖ + ⟨′′ ; ⟩ = ‖∇‖ ± + =‖∇‖(1.3)= ‖∇‖ [ ± + κ ] .Поэтому последнее неравенство из леммы 1.1.2 гарантирует необходимуюуправляемость, если в нем знак ≤ заменить на <.Предполагаем, что эта управляемость имеет место во всей рабочей зонеM робота, которую для удобства характеризуем крайними значениями − ≤ +поля в ее пределах:M = { : − ≤ () ≤ + },− < + .(1.5)Естественно, предполагаем, что требуемая изолиния содержится в этой зоне− ≤ 0 ≤ + .Суммируя, приходим к следующему условию.Предположение 1.1.1. Существуют константы > 0 и ∆ > 0 такие, что = ‖∇‖ ≥ −1 и |κ| ≤ −∆ в области (1.5).Тогда ∇ ̸= 0 и |κ| < всюду в рабочей зоне M.
Если рабочая зонаограничена, последние два неравенства эквивалентны предположению 1.1.1.Действительно, тогда эта зона компактна, следовательно, непрерывныефункции ‖∇()‖ и |κ()| достигают в ней наименьшего и наибольшегозначений в некоторых точках ∇ , κ ∈ M соответственно, и остается взять := ‖∇( ∇ )‖ > 0 и ∆ := −|κ( κ )| > 0. В случае неограниченной рабочейзоны предположение 1.1.1 не только требует выполнения обсуждаемых строгихнеравенств, но и оговаривает, что они не вырождаются в нестрогие, даже еслиточка рабочей зоны, в которой они рассматриваются, убегает на бесконечность.По тем же соображениям следующее предположение автоматическивыполнено в случае ограниченной рабочей зоны и необходимо, только еслиэта зона M неограничена.39Предположение 1.1.2.
В рабочей зоне (1.5) параметры поля и ограничены: существуют константы > 0 и > 0 такие, что | | ≤ и | | ≤ для всех ∈ M.Для реальных физических полей это предположение обычно выполнено,поскольку их характеристики, как правило, ограничены.Как обычно, положительным направлением поворота вектора считаемнаправление против часовой стрелки. По предположению 1.1.1 для любогодиска D ⊂ M при движении вдоль любой кривой ⊂ D угол поворотаградиента ∇ однозначно определен конечными точками и кривой; этотугол назовем углом поворота градиента при перемещении в диске D от к .(Здесь использованы три факта: 1) векторное поле ↦→ ∇() не имеетособенностей в диске D, т.е.
градиент всюду определен и не обращаетсяв ноль; 2) если кривая непрерывно деформируется так, что ее концы остаютсяна месте, и в процессе деформации она не проходит через особые точки поля,то угол поворота векторного поля вдоль этой кривой в процессе деформациине меняется; 3) если две кривые с общими концами лежат в диске D, то любуюиз них можно превратить в другую кривую за счет непрерывной деформации,в процессе которой кривая не покидает этот диск и ее концы остаются на месте.)Предположение 1.1.3. Диск D радиусом D := ( + ) −1 + 3 ( − ) −1с центром в начальном положении робота лежит в области (1.5). Уголповорота градиента при перемещении в пределах этого диска меньше .Здесь выбрано для простоты и определенности, это значение может бытьувеличено за счет согласованного увеличения радиуса D .
Предположение 1.1.3может быть значительно ослаблено, если движение начинается вблизижелаемой изолинии (и в нужном направлении). Наконец, оно может бытьв принципе опущено, если в итоге требуется только локальная сходимость.Теорема 1.1.1. [137] Пусть выполнены предположения 1.1.1—1.1.3, роботуправляется согласно (1.2), а параметры и := регулятора выбранытак, что0 < * := < 1,[︃2*]︃* √︀ + 2 * + √︀< ∆,1 − 2*1 − 2*(1.6)40где величины ∆, , , взяты из предположений 1.1.1 и 1.1.2. Тогда цель→+∞управления () −−−−→ 0 достигается, и по истечении определенного времениробот постоянно движется вдоль изолинии в отрицательном направлении.При * → 0 левая часть последнего неравенства в (1.6) стремится к 0.Следовательно, при произвольном > 0 выполнение (1.6) всегда можнообеспечить выбором достаточно малого * = (т.е. достаточно малого >0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
