Диссертация (1149252), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Этим фактом можно руководствоваться при экспериментальной настройкерегулятора. Если доступны оценки , , , ∆ параметров поля, то (1.6) можнотрактовать как явные количественные рекомендации.По теореме 1.1.1 регулятор (1.2) обеспечивает сходимость к желаемойизолинии независимо от временного профиля линейной скорости (·) ∈[ , ]. Другими словами, настройка регулятора и гарантии сходимости кизолинии опираются только на и , при этом имеет место сходимостьдля всех профилей из промежутка [ , ].
Именно это свойство используемв следующих параграфах для регулирования расстояний между роботами,принимая для этого линейную скорость как управляющую переменную:в результате сходимость к изолинии не разрушается.Как было отмечено ранее, доказательства результатов параграфа 1.1опущены.
Однако некоторые соображения, связанные с доказательствомтеоремы 1.1.1, в дальнейшем будут необходимы для доказательства ключевыхрезультатов главы 1. Поэтому приведем их здесь. Соответствующиедоказательства могут быть найдены в [137].В фазовом пространстве состояний (, , ) системы (1.1) поверхностьразрыва закона управления (1.2) описывается следующими уравнениями:˙ + ( − 0 ) = 0 ⇔ := ′ + ( − 0 ) = 0 ,где ′ = ⟨∇; ⟩ — функция состояния, а единичный вектор ориентацииробота определен в (1.4).Лемма 1.1.3. Пусть в некоторый момент времени 0 выполненысоотношения (0 ) ∈ [− , + ] и (0 ) = 0 и либо проекция (0 ) вектораориентации робота на текущую изолинию отрицательно ориентирована,либо () ̸= 0 ∀ < 0 , ≈ 0 .
Тогда значение поля () экспоненциальностремится к 0 при → +∞, а при ≥ 0 робот движется в фазовом41пространстве по поверхности разрыва закона управления (1.2) в скользящемрежиме, при этом () ∈ [− , + ].Лемма 1.1.4. Существует момент времени 0 ≤ 3 −1 со свойствами,описанными в лемме 1.1.3. Причем он может быть выбран таким образом,что при ∈ [0, 0 ] робот находится в диске из предположения 1.1.3.Согласно (1.2), (1.6) и предположению 1.1.1 ‖∇‖ > ≥ |( − 0 )|во всей рабочей зоне (1.5). Таким образом, для любой точки из этойзоны существует единственный единичный вектор () ∈ R2 такой, что⟨(); ∇()⟩ = −[()−0 ], а его проекция на проходящую через изолиниюотрицательно ориентирована.Лемма 1.1.5.
Движение робота по поверхности = 0 в скользящем режимеописывается дифференциальным уравнением ˙ = () ().Из теоремы 1.1.1 вытекает полезное геометрическое следствие в случае,когда целевая изолиния 0 := { : () = 0 }(1.7)ограничена, даже если в ее определении разрешено использовать «бесконечноудаленные» точки. Более точно, пусть выполнено следующее условие.Предположение 1.1.4. Множество (1.7) ограничено, и не существуетпоследовательности ∈ R2 , = 1, 2, . . .
, для которой| | → +∞,( ) → 0− ≤ ( ) ≤ +при → +∞,∀.(1.8)Оно автоматически выполнено, если рабочая зона (1.5) ограничена. Если− < 0 < + , то вторая строка в (1.8) может быть опущена, посколькудля достаточно большого она следует из второго условия первой строки.В силу предположений 1.1.1 и 1.1.4 изолиния 0 является ограниченнойрегулярной кривой на плоскости, и следовательно, распадается на конечноечисло0 0 = 10 ∪ . .
. ∪ (1.9)непересекающихся регулярных компактных и связных жордановых кривых0 . Для ∈ 0 символом () обозначим единичный отрицательно42ориентированный касательный к 0 вектор. Расстояние dist [; ] от точки до множества — это inf ∈ ‖ − ‖. Точку, в которой этот инфимумдостигается, назовем проекцией на множество и обозначим как Prj ().Если эта точка существует и единственна, говорим, что она корректноопределена.Теорема 1.1.2. [137] Пусть выполнены предположения теоремы 1.1.1и предположение 1.1.4. Тогда существует единственный индекс ,для которого[︀]︀dist (); 0 → 0 при → +∞.При всех достаточно больших проекция () := Prj0 (()) корректноопределена, и‖() − ()‖ → 0, ‖ [()] − [()] ‖ → 0 при → +∞,(1.10)где единичный вектор ориентации робота [()] определен в (1.4).1.2Постановка задачи кооперативного отслеживания изолиниии закон управленияРассмотрим мобильных роботов на плоскости.
Робот управляетсялинейной и угловой скоростью и описывется уравнениями (1.1), где := , := , := , := , := . Требуется вывести всех роботов на 0 -изолиниюполя и обеспечить их последующее движение вдоль нее. Успешное решениеэтой задачи подразумевает, что роботы не сбиваются в кластер, и в идеальнойситуации их распределение по изолинии близко к равномерному.Робот измеряет значение поля () := [ ()] в точке текущегоположения () и, аналогично разделу 1.1.1, имеет доступ к ˙ .
Кроме того,он способен определять относительные координаты и ориентациюроботов-компаньонов в пределах своей зоны видимости, другими словами, —в пределах диска vz радиусом 0 с центром в точке своего положения.Для управления угловой скоростью робот использует регулятор (1.2),где := , := , := .
Параметры и регулятора — общие для всех43роботов и для каждого из них удовлетворяют требованиям теоремы 1.1.1.Согласно комментариям, следующим за формулировкой этой теоремы, такойвыбор параметров всегда возможен (при данном выбираем достаточномалым).Дляпостроениярегуляторалинейнойскороститребуютсядополнительные обозначения и конструкции. Прежде всего выберем два углаи два радиуса ∈ ( 0, 0 ], ∈ [ 0, −1 ).
Затем0 < < 2 , 0 < − < 2уменьшим зону видимости vz до диска радиусом (робот не будет учитыватьобъекты за его пределами), после чего разделим уменьшенную зону видимостив соответствии с рисунком 1.6. Больший из закрашенных секторов S назовемосновной зоной учета, меньший сектор Z — вспомогательной зоной учета,а их объединение — просто зоной учета. Для точки ∈ расстояниеот нее до объединения Z с двумя радиусами, ограничивающими S , обозначимчерез (). Таким образом, () = 0, если точка лежит на одном из этихрадиусов или в темном секторе с рисунка 1.6. Объекты из этого сектора будемназывать помехой справа, а соседом робота — любого компаньона ̸= из зоны учета .Рисунок 1.6 — Разделение зоны видимости vzПусть ⋆ — наименьшее среди всех соседей значение ( ) и ⋆ := ,если соседи отсутствуют.
Именно эту величину используем для формированияосновной части линейной скорости робота по формуле () = [ ⋆ ], гдегладкая и строго возрастающая функция (см. рисунок 1.7) : [ 0, ] → ( , ]является «функциональным» параметром регулятора.(1.11)44Рисунок 1.7 — Функция (·)Основную скорость корректируем тормозящей компонентой () () = [ ⋆ ] − ().(1.12)Поясним основную идею управления линейной скоростью, для простотысосредоточившись на случае связной изолинии. По теореме 1.1.1, под действиемрегуляторов угловой скорости все роботы вплотную приближаютсяк изолинии 0 и продолжают движение вдоль нее в общем направлении.Если расстояния между роботами достаточно велики по сравнениюс расстояниями до 0 , в их распределении вдоль 0 можно обнаружитьопределенный порядок следования. Тогда ⋆ определяется ближайшимпредшественником + робота и из предложенного закона управления = (⋆ ), + = (⋆+ ) следует: если ⋆+ > ⋆ , то + > , что приводитк увеличению расстояния ⋆ до ⋆+ .
Если же ⋆+ < ⋆ , тогда, напротив, будетнаблюдаться уменьшение ⋆ до ⋆+ . Таким образом, предложенный регулятор«работает» в направлении уравнивания ⋆+ и ⋆ для всех . Поэтому в частномслучае, когда изолиния является окружностью, можно ожидать, что итоговоераспределение роботов вдоль окружности будет равномерным.Конструкции с рисунка 1.6, связанные с и − , введеныдля предотвращения нежелательных боковых сближений роботов при выходена изолинию 0 .
Например, выбор в качестве основной зоны учета (ОЗУ) Sполудиска ( = 2 ) недостаточен для предотвращения проблемы, показаннойна рисунке 1.8 а): роботы и подходят к общей (подвижной) точкена кривой 0 , но несмотря на предполагаемую сходимость → 0, → 0их направлений к общему касательному направлению, роботы остаютсяв ОЗУ друг друга. Получается, что ⋆ , ⋆ → 0, и следовательно, , → (0).Это не дает никакой видимой причины, в силу которой роботы и не собъются45в кластер.
Легко заметить, что сдвиг оттакую кластеризацию невозможной.2к меньшему значению делаетробот kа)робот iробот iробот jробот jб)Рисунок 1.8 — Опасные боковые сближения роботов и Дополнительная зона учета (ДЗУ) Z также направлена против боковогосближения, но уже в случае выпадения роботов из ОЗУ друг друга,как показано на рисунке 1.8 б). Если не вводить ДЗУ, то ⋆ и ⋆ будутопределяться общим роботом . Тогда при предполагаемой сходимости роботов и к общей движущейся точке: ⋆ − ⋆ → 0 ⇒ − → 0, что опятьне дает механизма декластеризации роботов и . Рисунок 1.9 демонстрирует,что добавление ДЗУ приводит к тому, что ⋆ = 0 (так как находитсяв Z ) и не влияет на ⋆ > 0 (поскольку зона Z пуста). Таким образом, = [ ⋆ ] > [ 0 ] = , что способствует «разъезду» роботов и (робот пропускает помеху справа, как и положено правилами дорожного движения).Рисунок 1.9 — Дополнительные зоны учета Z и ZВ (1.12) основная цель «торможения» заключается в предотвращениистолкновений (совпадения координат) роботов в момент, когда регуляторугловой скорости уже вывел их настолько близко к изолинии 0 , что онинаправлены почти параллельно ей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
