Диссертация (1149252), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Для этоговведем криволинейные координаты ( , ), связанные с кривой 0 . Здесь — натуральный параметр (длина дуги) кривой, ориентированный так,53что по мере увеличения область больших значений поля остается справа.Координата циклическая: и + соответствуют одной и той же точке,где — периметр кривой 0 . Для произвольной точки координаты () и () — это натуральный параметр проекции на кривую 0и расстояние от до 0 соответственно. Поскольку кривая 0 регулярнаяи компактная, эти координаты определены корректно и являются гладкимивзаимно однозначными в достаточно малой окрестности 0 .

Таким образом,при достаточно большом для любого робота ∈ криволинейныекоординаты () := [ ()] и () := [ ()] корректно определеныи () → 0 при → +∞. Для двух точек , † ∈ 0 с координатами и †соответственно длину кратчайшей дуги 0 с концами , † обозначим как| − † |.Следующая теорема утверждает, что роботы из общей группы не только не обгоняют друг друга, но даже при → +∞ не сбиваются в кластер.Теорема1.4.1. Пустьвыполненыусловиятеоремы1.3.1и предположения 1.1.4, 1.4.1.

Тогда существуют > 0 и > 0 такие,что для любой группы роботов при ≥ справедливы следующиеутверждения:i) роботы ∈ находятся в области определения криволинейныхкоординат , ;ii) проекции роботов ∈ на кривую 0 попарно различны, болеетого, расстояние между этими проекциями не опускается нижеположительного порогового значения: | () − ()| ≥ ∀ ̸= ,, ∈ ;iii) порядок роботов ∈ на предельной орбите 0 , т.е.

порядоккоординат (), с течением времени не меняется.Доказательство этой теоремы можно сосредоточить на конкретной группе . После исключения из рассмотрения роботов, не попавших в эту группу,а также перенумерации ее элементов и уменьшения числа (если необходимо),можно без ограничения общности считать, что = {1, . . . , }. В связис этим далее опускаем индекс в обозначениях, связанных с рассматриваемойкомпонентой 0 из (1.9).Дополнительно установим несколько лемм и следствий из них. Ключевойидеей доказательства теоремы 1.4.1 является метод -предельных точек [146,54§ 28], который используем для анализа «объединенной» траектории всей группыроботов () := [ 1 (), .

. . , () ]. Для традиционных примеров примененияэтого метода не характерно «расчленение» вектора состояния на части (рассматриваемые как элементы общего пространства) с последующимвыяснением геометрических отношений между этими частями «в -пределе».Однако именно такой метод разработан и применен в главах 1 и 2, которыепосвящены управлению движением группы роботов.Напомним, что -предельной точкой траектории () группы называютпредел lim→+∞ ( ), порожденный любой неограниченно возрастающей→+∞последовательностью моментов времени 1 < 2 < .

. . < −−−−→ +∞,для которой этот предел существует. Поскольку все точки () сходятсяк компактной кривой 0 , множество всех -предельных точек группы не пусто∞и компактно. Его элементы R = [ ∞1 , . . . , ] назовем -предельными0∞∞распределениями. Компоненты ∞ ∈ могут повторяться: если = , ̸= , говорим, что роботы и образуют кластер (в контексте данногораспределения).Лемма 1.4.1. Для любого -предельного распределения R существуют числа > 0, > 0 и момент времени со следующим свойством:и при этом ‖ ( ) − ∞̸= ∞i) если ∞ ‖ < для = , в некоторый момент времени ≥ , то начиная с этого моментапроекции роботов и на предельную кривую 0 постоянно разделенырасстоянием не менее , т.е. | () − ()| ≥ ∀ ≥ .Доказательство:Заключение леммы достаточно обосновать,предполагая, что расстояние от одной точки замкнутой кривой 0до другой ее точки измеряется в направлении возрастания , и что∞является непосредственным предшественником ∞ .

Пусть min —минимальное линейное расстояние между двумя различными точкамив R, а D(, ) — диск радиусом с центром в . Также положим+ := max{ 2 , }, := 2 = (0) (0) (0). (︁)︁и ∈ (0, 2 )Начнем с того, что выберем * ∈0, 3 1minнастолько малыми, что для любого пересечение D(, * ) ∩ 0 либо пусто,либо представляет собой часть 0 длиной не более 3* , и для достаточно малой55константы > 0 выполнено неравенство( * ) () ( * ) ≥ () − (0) + + +*[︂( * ) () ( * )1−(0) (0) (0)]︂(1.16)*всякий раз, когда | | < , || < 2, | | < 2* , || < 2* ,а также неравенства cos 2 − 2 sin> 0,2(1.17), если * , ⋆ ∈ 0 , ‖* − ⋆ ‖ ≤ 3* .3Последнее означает, что для любого ∈ 0 часть дуги D(, * ) ∩ 0 ,ограниченная ее «передним» концом и точкой , лежит в секторе, которыйобразован двумя лучами, исходящими из и образующими с () углы± 3 (см.

рисунок 1.17). Для > 0 рассмотрим -окрестность N :=]︀[︀{ : dist ; 0 ≤ } кривой 0 . Выберем ∈ (0, 2* ) настолько малым,чтобы для любой точки ∈ N пересечение I() := D(, * ) ∩ N былоограничено четырьмя дугами (см. рисунок 1.18), две из которых — это дуги00эквидистант +и −соответственно кривой 0 , т.е. компоненты связности[︀]︀множества { : dist ; 0 = }, а две другие дуги ± () принадлежатокружности, которая ограничивает D(, * ).

За счет уменьшения (еслинеобходимо) для любой точки ∈ N можно добиться выполнения следующихдвух свойств:1. расстояние (вдоль 0 ) от проекции (на 0 ) точки до проекции любойдругой точки из компоненты N ∖I() составляет не меньше, чем > 0,где – некоторая не зависящая от ∈ N положительная константа;2. дуга + () лежит в секторе, который образован двумя лучами,исходящими из и образующими с () углы + 2 и − 2 соответственно.Наконец, выберем момент времени настолько большим, что^ ((* ), (⋆ )) <^ (( ), ( )) <Пусть ‖ ( ) − ∞ ‖ <времени ≥ .

Тогда,313min < ∀ ≥ , = 1, . . . , .и ‖ ( ) − ∞ ‖ <13min(1.18)в некоторый момент∞∞∞‖ ( ) − ( )‖ ≥ ‖∞ − ‖ − ‖ ( ) − ‖ − ‖ ( ) − ‖ >1> * .3min56Значит, ( ) лежит в N ∖ I[ ( )]. Достаточно показать, что при ≥ робот не может попасть в I [ ()] сквозь дугу + [ ()].Рисунок 1.17 — Дуга D(, * ) ∩ 0 , охваченная секторомРисунок 1.18 — Пересечение диска D(, * ) с окрестностью кривой 0Предположим обратное и определим * как первый момент времени > ,в который () ∈ + [ ()]. Тогда (* ) ∈ + [ (* )] и () ∈ N ∖ I[ ()] ∀ < * , ≈ * .(1.19)При таких , во-первых, ⋆ () ≤ ‖ () − ()‖ < 2* , и во-вторых, ()лежит в секторе, который образован двумя лучами, исходящими из ()и образующими с [ℎ ()] углы ±.

С учетом (1.18) отсюда следует, что || ()| < 2 . Более того,‖ () − ()‖ ≤ ‖ () − ()‖ + ‖ () − ()‖ + ‖ () − ()‖ =(1.18)= () + () + ‖ () − ()‖ < 3* ;^ (( ), ( )) ≤ ^ (( ), ( )) + ^ (( ), ( )) + ^ (( ), ( ))⇒ ||()| < .(1.16), (1.18)<57Следовательно, * := |(), := | (), * := ‖ () − ()‖ и := ⋆ ()удовлетворяют неравенствам из второй строки (1.16). Тогда с учетом (1.16)| () = [ * ] [ ] [ * ] ≥[︀]︀≥ [ ⋆ () ] − [ 0 ] + + + 1 − −1 | () ≥ > 0.(1.20)В результате убеждаемся, что робот является ближайшим соседом ;кроме того, он лежит в основной зоне учета , поскольку || ()| < 2 < .Таким образом, () ≥ [ −1 () + 1 ] | (), где () ≤ + по определениютормозящей компоненты . С учетом (1.12) () = [ ⋆ ] − () ≥ [ 0 ] − () + [ () − () ] ≥[︀]︀≥ (⋆ ) − () + [ (0) − (⋆ ) ] + | () + () −1 | () − 1 ≥[︀]︀ (1.20)≥ () + [ (0) − (⋆ ) ] + | () − + 1 − −1 | () ≥ () + .Обозначим | := − ‖ − ‖и заметим, что⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀‖ − ‖ = | ; ˙ − ˙ = | ; − =(1.1)⟩︀⟨︀⟩︀⟨︀= ( − ) | ; + | ; − ≥ ( − ) cos | − ‖ − ‖ ≥⃒ ⃒(1.1)|⃒⃒(1.17)⃒⃒ ≥ cos 2 − 2 sin > 0.≥ cos 2 − 2 ⃒ sin(1.21)2 ⃒2При этом второе соотношение из (1.19) влечет отрицание первого.

Полученноепротиворечие завершает доказательство. Лемма 1.4.1 порождает цепочку следствий.Следствие 1.4.1.i) Если роботы ̸= не образуют кластер в контексте некоторого-предельного распределения, то они не образуют кластери в контексте других -предельных распределений.ii) Наоборот, если роботы ̸= образуют кластер в контекстенекоторого -предельного распределения, то они образуют кластери в контексте остальных -предельных распределений.58iii) Если роботы ̸= образуют кластер в контексте некоторого-предельного распределения, то () − () → 0 при → +∞.Действительно, в противном случае существуют неограниченно→+∞возрастающая последовательность 1 < 2 < .

. . < −−−−→ +∞ и > 0 такие,что ‖ ( ) − ( )‖ ≥ для любого . Переходя к подпоследовательности,можно также обеспечить существование предела ∞:= lim→+∞ ( )для любого . В контексте полученного -предельного распределения∞∞∞[ ∞1 , . . . , ] роботы и не образуют кластер, поскольку ‖ − ‖ ≥ > 0.Однако это противоречит следствию ii).Кластером назовем максимальную группу роботов ⊂ {1, . . . , },для которой () − () → 0 ∀ , ∈ при → +∞.Следствие 1.4.2. Существуют такие константы > 0 и > 0, чтодля любых двух роботов ̸= справедливо одно и только одно из следующихутверждений:i) роботы находятся в общем кластере;ii) | () − ()| ≥ при всех ≥ .Для завершения доказательства теоремы 1.4.1 достаточно показать, чтоне существует кластеров, состоящих более, чем из одного элемента.

Начнемсо следующей леммы.Лемма 1.4.2. Существуют момент времени и константа − > 0 такие,что при ≥ справедливо следующее утверждение:i) если роботы ̸= принадлежат общему кластеру и находитсяво вспомогательной зоне учета робота , то скорость робота относительно образует с осевым единичным вектором робота угол |≤ * := min{,2−− } и по величине не меньше − .Доказательство: Сначала выберем > 0, > 0 и ⋆ > 0 настолькомалыми, чтобы[︂]︂() ()() () − + 1 −≥ , если || < , || < ⋆ ,(0) (0)[︂ ]︂ sin + ⋆[︁ ]︁2 sin2+ ⋆ < ,≤ tan * ,2 2 − 2 sin 2 − ⋆(1.22)(1.23)592≤4(︂[︂ ]︂)︂2 − 2 sin2− ⋆ − ( sin + ⋆ )2 .2(1.24)Затем, опираясь на (1.10), выберем таким образом, что при ≥ ‖ () − () ‖ < ⋆ ,^ ( (), ()) < ,где () := [ () ]всякий раз, когда роботы ̸= лежат в одном кластере.Предположим, что для таких , и робот располагаетсяво вспомогательной зоне учета .

В момент(︁времени)︁ в силу (1.22) справедливысоотношения ⋆ = 0, ||| < и | = | (‖ − ‖) ≥ > 0. Значит,робот — ближайший сосед .Из определения тормозящей компоненты следует, что[︂]︂||+ | ≥ − 1 − + | ≥ ≥ (0) (0)(0) (0)]︂[︂(1.22)| + + | ≥ + .≥ − 1 −(0) (0)Согласно (1.12) = [ ⋆ ] − ≥ [ 0 ] − + = [ ⋆ ] − + = + . Такимобразом, для координат ˙ | , ˙ | относительной скорости робота в системеотсчета робота имеем:(1.1)˙ | = ⟨ − ; ⟩ + ⟨ − ; ˙ ⟩ ≥ cos |− − ‖ − ‖ ‖˙ ‖ ≥(︂ )︂(1.1)(1.1)≥ cos − − ⋆ ≥ (cos − 1) + − ⋆ ≥ − 2 sin2− ⋆ ,2⃒⃒⃒ ˙ | ⃒ ≤ sin + ⋆ ≤ sin + ⋆ ,⃒⃒ ⃒⃒ ˙ ⃒⃒(1.23) sin + ⋆|⃒ ⃒(︁)︁≤≤ tan * .⃒ tan | ⃒ =˙ | − 2 sin2 2 − ⋆Следовательно, | || ≤ * .

Что касается относительной скорости,√︁2˙ 2| + ˙ |≥√︃(︂(︂ )︂)︂2 − 2 sin2− ⋆ − ( sin + ⋆ )22что завершает доказательство. (1.24)≥,260Из двух радиусов, ограничивающих вспомогательную зону учетана рисунке 1.6, один получается путем вращения другого против часовойстрелки, назовем его передним радиусом.Следствие 1.4.3. После момента времени из леммы 1.4.2 для любыхроботов ̸= из одного кластера справедливы следующие утверждения:i) если робот находится во вспомогательной зоне учета робота ,он покидает ее через передний радиус;ii) робот не может попасть в эту зону через передний радиус.Лемма 1.4.3. Существует момент времени такой, что при ≥ в каждой паре роботов ̸= из одного кластера один робот, скажем, постоянно находится в основной зоне учета другого робота , в то времякак никогда не попадает в зону учета .Доказательство: Достаточно показать, что такой момент времени существует для любой пары ̸= из одного кластера.

Характеристики

Список файлов диссертации