Диссертация (1149252), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому (4.6) имеет очевидный смысл: роботдвижется быстрее цели. Предположим это: > 0 , тогда в (4.6) ∆ = − 0 . Также выберем − := safe , + ≈ +∞, тогда безопасное расстояниесоблюдается везде в op , а предположение 4.1.1 справедливо для = ‖∇‖ ≡1. Элементарные вычисления на основании леммы 4.1.1 демонстрируют, что⟨︀⟩︀ = ˙ 0 ; ,= − 0,‖ − 0 ‖⟩︀¨ 0 ; ∇ = −,‖ − 0 ‖⟨︀ = − Φ 2 ,κ=−1,‖ − 0 ‖ = 0, = 0, = 0,⟨︀ 0 ⟩︀⟨︀ 0 ⟩︀2⟨︀ 0⟩︀˙ ; ˙ ; ¨=,=;+.‖ − 0 ‖‖ − 0 ‖Замечание 4.1.1 гарантирует, что настроенный должным образомрегулятор (4.2) справляется с поставленной задачей с нужной точностью > 0 :lim→+∞ |() − 0 | ≤ .Чтобы настроить регулятор, при необходимости, уменьшаем так, чтобы− < 0 − safe удовлетворяло (4.18), в (4.19) выбираем ∆ = ∆0 := min{in−1safe ; 0 − safe − }, в данном случае в (4.17) = 1, = 0 , κ = safe,0 = 0, ∇ = safe .
Таким образом, для справедливости (4.20), (4.22)–(4.24)и утверждения теоремы 4.1.1 достаточно выбрать параметры регулятора так,172чтобы − 00<<,> ,1+{︃]︂ }︃ [︂0 + 2 10 + 1(+1);min max 2+1,> =1,2,...∆0safe[︃]︃√︁2[︀]︀1 2 0 + 0 safe + 002 − + ( + 1) 2 .>++,где:=0 0safe0 safe4.2Локализация и близкое окружение группы движущихся целей4.2.1Формальная постановка задачи, предположенияи необходимые условияПо плоскости перемещается (по неизвестному закону) точечныхцелей, занумерованных целочисленными индексами от 1 до . Робот долженприблизиться к ним и затем многократно обойти всю группу: расстояние до ближайшей цели := min ‖ − ‖ должно достичь заданной (малой)окрестности заданного значения 0 и затем оставаться в этой окрестности.
Здесь = () — положение цели . Робот измеряет только расстояния := ‖ − ‖до целей и не может их различать (истинная нумерация 1 , . . . , недоступна).Роботу неизвестна кинематика и динамика целей, плотность и геометриягруппы и т.д. Поэтому система управления должна быть способна справитьсяс этими неопределенностями, по крайней мере, в разумных пределах.Идеальное решение поставленной задачи выглядит как движениевдоль границы D∪0 объединения D∪0 0 -дисков, центр которых совпадаетс положением соответствующей цели. Одним из препятствий к имплементациитакого решения является тот факт, что вышеупомянутая «группа» на делеможет состоять из нескольких удаленных друг от друга подгрупп,как например, на рисунке 4.3. Тогда для периодов, когда робот переходитот одной подгруппы к другой, требование ≈ 0 должно быть существенноослаблено.
Далее в данной главе предполагаем только одну подгруппу:173вся целевая группа может быть окружена при ≡ 0 (разработанныйв результате регулятор можно использовать как «низовой» элемент построениявысокоуровневой системы управления для работы с несколькими подгруппами).В частности, предполагаем следующее.Рисунок 4.3 — Целевая группа, состоящая из двух подгруппПредположение4.2.1. В любой момент времени объединение0дисков D∪ является односвязной областью.
Более того, это верно дажепосле уменьшения 0 до некоторой меньшей величины − < 0 , неизменнойс течением времени.Таким образом, граница := D∪0 охватывает все цели, а идеальноерешение представляет собой движение вдоль этой границы или вдоль близкойк ней кривой.Даже в случае гладкого периметра его отслеживание на заданномрасстоянии в районе вогнутостей может потребовать преодоления специальныхпроблем, связанных с сингулярностями (изломами) эквидистанты [54; 55; 164;165]. В данной главе предполагаем, что рабочая зона робота Zop не содержитподобных сингулярностей, здесь Zop — это множество (, ), для которых− ≤ ≤ + (где + > 0 > − — заданные константы).Конкретизируя это предположение, отметим, что вогнутости и изломы,образованные двумя соседними дугами границы := D∪− (см.
рисунок 4.4),в расчет не принимаются и не исключаются. Вместо этого выбираем цели,диски которых участвуют в формировании границы , соединяем их прямымиотрезками, соблюдая порядок, в котором пересекаются соответствующиедиски, и рассматриваем вогнутости полученной таким образом ломанойлинии P− , составленной из отрезков прямых. Для формулировки следующегопредположения потребуется специальное определение.При фиксированных ∆ ≥ 0 и ∈ (0, 2 ) точку будем называтьудовлетворяющей (∆ , )-условию, если всю целевую группу можно174Рисунок 4.4 — Объединение 0 -дисковтак разделить на две подгруппы Δ и , что все близкие цели находятсяв , т.е.
≥ + ∆ ∀ ∈ Δ , и при этом лежат в бесконечном секторе с угломраствора 2 и вершиной в точке , как показано на рисунке 4.5 а).Поясним смысл этого определения рассмотрением маргинального случая,когда соответствующее свойство не имеет места при сколь угодно малом ∆ :тогда для существует подмножество целей , расстояние до каждой из которыхреализует расстояние до всей группы, и которые окружают со всехсторон (т.е. не могут быть охвачены сектором с углом < и вершинойв ).
Предполагаем, что такая ситуация в рабочей зоне Zop не встречается,накладывая следующее условие.Предположение 4.2.2. Существуют такие ∆ > 0 и ∈ (0, 2 ), что любаяточка из Zop в любой момент времени удовлетворяет (∆ , )-условию.Следующая лемма показывает, что при незначительном техническомпредположении это условие выполнено всякий раз, когда у ломаной линии P−отсутствуют вогнутости, т.е. когда она ограничивает выпуклое множество.Лемма 4.2.1. Пусть в любой момент времени линия P− замкнутаи ограничивает выпуклое множество P, а любые два диска из числаобразующих D∪− пересекаются существенно: расстояние между ихцентрами не превосходит 2− , где 2− — их диаметр, а константа ∈ (0, 1)не зависит от врeмени.Тогда предположение 4.2.2 справедливо при любом ∆√и при := arccos1− 2 −− +Δ .Доказательство: Пусть (, ) ∈ Zop , а * — ближайшая к точка из P.Линия , проходящая через * и перпендикулярная к отрезку, соединяющему * и , отделяет от целей.
Как следует из рисунка 4.5 а), цели из :=175{ : ≤ () + ∆ } лежат в закрашенном сегменте диска, и следовательно,— в бесконечном секторе с углом раствора 2* и вершиной в , где * =‖− * ‖arccos ()+Δ. В случае, представленном на рисунке 4.5 б), ‖ − * ‖ = ().На рисунке 4.5 в) сегмент диска, ограниченный штрих-окружностью и однойиз сторон P− , не содержит целей; иначе 1 и 2 не были бы соседнимив P− , поскольку их дуги соединялись бы соответствующей дугой третьей цели.Поскольку ̸∈ D∪− , расстояние := () до целевой группы доставляетсялибо точкой1 , либо точкой 2 . Следовательно, 2 ≤ ‖ − * ‖2 + 2 2− и * ≤√arccos2 − 2 2−+Δ≤ , так как ≥ − .
а)б)в)Рисунок 4.5 — Планиметрические рассужденияДалее также предполагаем, что скорости и ускорения целей с течениемвремени не увеличиваются до бесконечности.Предположение 4.2.3. Существуют такие константы ≥ 0 и ≥ 0,что в любой момент времени ‖˙ ‖ ≤ , и ‖¨ ‖ ≤ .Безусловно, робот должен быть быстрее целей: > . Однакоотслеживание изолинии ≡ 0 требует большего. Например, на рисунке 4.6точка изолинии движется со скоростью cos . Таким образом, чтобы роботбыл способен оставаться на изолинии, как минимум необходимо, чтобы егомаксимальная скорость > cos .
Распространим это условие на все изолиниииз рабочей зоны. Рассматривая наихудший сценарий (когда 0 := − , а 1 , 2расположены на минимально допустимом расстоянии 2− ), получаем: >√ 2 . В контексте леммы 4.2.1 при ∆ ≈ 0 это почти эквивалентно неравенству1−176>cos .Примем его как еще одно предположение:>.cos (4.45)Наконец, предполагаем, что начальное положение робота лежит в Zop :( in ) ∈ (− , + ).изолиния(4.46)изолинияРисунок 4.6 — Отслеживание изолинии в случае подвижных целей4.2.2Сходимость алгоритма управленияНа практике идеальное решение в виде движения по периметру D∪0 ,как правило, неосуществимо в силу изломов D∪0 , поскольку реальные роботымогут двигаться (при > 0) только вдоль гладких кривых. Поэтомуаппроксимируем D∪0 гладкой кривой, описываемой уравнением1 := − ln[︃ ∑︁]︃− = 0 ,(4.47)=1где > 0 — параметр аппроксимации.
Таким образом, идеальная цельуправления ≡ 0 заменяется на ≡ 0 . Соответствующую погрешностьиллюстрирует рисунок 4.7; строго обоснованная, хотя и довольно грубая, оценкапогрешности дана в следующей лемме.Лемма 4.2.2. − −1 ln ≤ ≤ .177Доказательство: Достаточно заметить, что[︃]︃[︃ ]︃∑︁∑︁11 = − ln −−( −) = − ln−( −) ,=1=1(4.48)где = для некоторого . Тем самым последняя сумма не меньше 1, при этомкаждое слагаемое ≤ 1.
а)б)в)Рисунок 4.7 — Аппроксимация гладкими кривыми (4.47)периметра D∪0 стрелоподобной формации из 28 целейТаким образом, отслеживание изолинии ≡ 0 с точностью означает,что изолиния ≡ 0 отслеживается с точностью act := + −1 ln .Нетрудно заметить, что с ростом первая из упомянутых изолиний монотонноприближается ко второй.Для решения задачи применяем регулятор (4.2) с входным сигналом(4.48). Этот сигнал инвариантен относительно перенумерации целей, а значит,реализуем для рассматриваемого сценария, когда истинная нумерациянеизвестна.Теорема 4.2.1.
Пусть выполнены предположения 4.2.1–4.2.3 и (4.45), (4.46).Тогда для любого > 0 существуют такие параметры , , , , чтосправедливо следующее утверждение:i) робот приближается к целевой группе и затем движется вокруг неетак, что расстояние до ближайшей цели постоянно близко к 0 ,т.е. ∈ (0 − , 0 + ); все движение происходит с максимальнойскоростью ≡ и в рабочей зоне.Поскольку эта теорема легко вытекает из теоремы 4.2.2, ее доказательствобудет дано после доказательства теоремы 4.2.2.178Отметим, что последнее предложение теоремы 4.1.1 остаетсясправедливым и в контексте теоремы 4.2.1. Таким же образом остаются в силеи рекомендации по выбору параметров, аналогичные сформулированнымпосле формулы (4.24): чтобы утверждение i) теоремы 4.2.1 было истинно,достаточно последовательно выбрать большое , малое и достаточнобольшие и .
Более конкретные рекомендации зависят от доступнойинформации о целях. Следующий раздел по сути служит примером такогоуточнения.4.2.3Настройка регулятораПусть известны константы − , + из определения рабочей зоны Zop ,константы , ∆ из предположения 4.2.2, оценки , из предположения 4.2.3и оценка ≤ количества целей. Для настройки регулятора следуеминструкциям, изложенным в разделе 4.1.6. Сначала, при необходимости,уменьшим , чтобы < 0 − − , + − 0 . Затем выберем > 0 так, чтобы > −1 ln ,> > ∆−1 ln( + ) , cos − ln {︀}︀ ,min + − 0 ; minR − − ; + − maxR (4.49)Тогда следующая величина положительна:{︃ln ln ; min − − −;RR[︂]︂[︂]︂ }︃1ln 1ln 0 − − −++−; + − 0 −+.22∆ := min + − max −(4.50)Наконец, выберем ∈ (0, 1) и положим ↔ := + − − .Параметр из (4.3) выберем так, чтобы cos − − −Δ ( + ) −↔0<<,1+(4.51)179где выражение справа положительно в силу (4.49).Параметр из (4.3) выберем так, чтобы>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
