Диссертация (1148869), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Другими словами, R О не консервативноерасширение позитивной RО. Но Локхорст утверждает следующее151:Позитивная RО плюс (OC) является аксиоматизацией деонтическогофрагмента позитивной Rе.В отличие от системы OR.1abc, системы R О и позитивная RО разумноаксиоматизированы в том смысле, что аксиомы независимы друг от друга.Далее Локхорст описывает реконстркцию системы Малли на основерелевантной логики, изложенную им еще в более ранней его работе 152.Данную систему он называет RD (Relevant Deontik153) и описываетследующим образом 154:Язык: релевантная система R, дополненная примитивным унарнымоператором O и примитивной пропозициональной константой u («безусловнообязательное»).
Аксиомы и правила как в R плюс:(I) ((A → OB) & (B → C)) → (A → OC)(342)(II) ((A → OB) & (A → OC)) → (A → O (B & C))(343)(III) (A → OB) ↔ O (A → B)(344)(IV) Ou(345)(V) ¬ (u → O¬u)(346)Эта система совпадает с собственной системой Малли, за исключениемтого, что Малли базировал свою систему на классической пропозициональнойлогике и, соответственно, принял «архитипичную ошибку релевантности»А→(B→A). В системе Малли, как уже говорилось выше, есть теорема А ↔ OА,но ни А → OA, ни OА → A не являются теоремами RD.151Lokhorst, G.-J., «Andersonian Deontic Logic, Propositional Quantification, and Mally» // Notre Dame Journal ofFormal Logic, (2006) 47. P.
388.152Lokhorst, G.-J., «Ernst Mally's Deontik (1926)» // Notre Dame Journal of Formal Logic, (1999) 40. Pp. 273-282.153Релевантная Деонтика (англ.)154Lokhorst, G.-J., «Andersonian Deontic Logic, Propositional Quantification, and Mally» // Notre Dame Journal ofFormal Logic, (2006) 47. P. 388.119Далее Локхорст аксиоматизирует эту систему более изящно следующимобразом155:(I’) (A → B) → (OA → OB)(347)(III’) O (OA → A)(348)(IV’) Ou(349)(V’) ¬ (u → O¬u)(350)Исходя из результатов, представленных выше, из этого следует, что RDявляетсядеонтическимфрагментомR е,дополнннойпропозициональнойконстантой u и аксиомами e → u и ¬ (u → (e → ¬u)).Этот результат полезен, потому что он позволяет значительно прощераспознать некоторые теоремы RD как таковой.
Например, в первоначальномварианте релевантной Деонтики Локхорста не удавалось увидеть, что O O А → OA является теоремой, тогда как теперь можно легко идентифицировать ее кактеорему, потому что h (OOА → O A), то есть (e → (e → A)) → (e → A), являетсяпросто экземпляром сокращения.Строя эти системы, Локхорст приходит к выводам о том, что деонтическийфрагмент андерсоновской релевантной деонтической логики имеет оченькороткую и простую аксиоматизацию, а также, что важно для нас, первоначальнаяреконструкция системы Малли на основе релевантной логики являетсядеонтическимфрагментомрасширенияандерсоновскойрелевантнойдеонтической логики.Итак, Локхорст построил интуиционистскую реконструкцию «Деонтики»Малли, а также ее реконструкцию на релевантной основе.
Малли строил свою«Деонтику» на основе классической пропозициональной логики, в которойоказалось выводимо положение «A ↔ !A», являющееся разрушительным для«Деонтики», как уже было сказано выше. В свою очередь Локхорст использует вкачестве базиса для «Деонтики» интуиционистскую и релевантную логику попричине того, что в них не выводима данная теорема.
Соответственно,155Там же. С. 389.120Интуиционистская Деонтика и релевантная Деонтика являются адекватнымилогическими системами. Однако, следует заметить, как было сказано самимЛокхорстом,чторелевантнаяДеонтикаоказаласьболееудачной,чеминтуиционистская, которая не может рассматриваться как самостоятельнаясистема деонтической логики. Поясняя этот момент, следует отметить, что врелевантной Деонтике не выводима теорема «A ↔ !A» в обоих ее направлениях,тогда как в интуиционистской Деонтике выводимо положение «А → !A»(используя символику Локхорста «А → O A»).
Итак, можно сделать вывод, чтореконструкция Деонтики Малли на релевантной основе избегает проблем,имеющихся в интуиционистской реконструкции, и, таким образом, является болееудачной.Далее рассмотрим реконструкции «Деонтики» Малли, предложенныеСтефанией Сентроне 156, используя при рассмотрении ее символику.Сентроне утверждает, что в системе Малли имеет место «модальныйколлапс» или «коллапс модальностей».Как известно, система Маллиопределенно некорректна, так как среди ее теорем, как было сказано еще ранее,имеет место(Coll) !A ↔ A,(351)называемая Сентроне модальным коллапсом. Принимая во внимание (Coll),перенос !-оператора становится совершенно тривиальным, поскольку ! сводится кпростой декорации.
Можно взять любую классическую тавтологию Х, вставитьсимвол ! в одну или несколько подформул Х, как нам удобно, и получить в итогетеорему системы Малли.Схема (Coll), двусторонняя условная зависимость, является суммой двухпринципов:(T) !A → A,(352)который известен в литературе по модальной логики как схема «фактичности»(или «рефлексивности»), и156Centrone, Stefania.
Notes On Mally's Deontic Logic and the Collapse of Seinsollen and Sein, in: Synthese 190(18),2013, 4095-4116.121(pColl) A →!A,(353)иногда именуемый схемой «частичного коллапса».В модальной логике некоторые интерпретации Box-оператора (здесь «!»),например, алетические или эпистемические, требуют принятия схемы Т (в то жевремя отрицая обратное утверждение).
Другие интерпретации, как общеизвестно,деонтические (а также доксастические) определенно отклоняют эту схему,интуитивно предполагая, что то, что должно иметь место, фактически имеетместо – что-то что может быть обоснованно принятым как допустимое только вдеонтически совершенном мире. Что до схемы обратного утверждения (pColl),трудно подобрать интерпретацию Box-оператора, при которой схема будетпринята как интуитивно допустимая. Конечно, трудно утверждать, что онадопустима при деонтическом прочтении, так как она говорит о том, что то, что дефакто имеет место, всегда должно иметь место.
Таким образом, оба направлениятеоремы (Coll) деонтической системы Малли не приветствуются.Во второй части своего труда по деонтической логике Малли приближаетсяк открытию, что Coll это теорема его собственной системы. Одну за другой онвыводит 35 следствий из своих аксиом, называя некоторые из них «странными»(befremdlich).
Теорема номер (24) это AfA, в которой данное Маллипервоначально определение f есть в точности (pColl). Любопытно, что Малли несчитал эту теорему странной. Возможно, это вследствие факта, что его ПринципIII представляет двусмысленность в прочтении AfB, которая стремится кэквивалентности A →!B, а так же к !(A →!B).
В действительности, только впрежнем прочтенииAfA была бы рассматриваема как странная; в позднемпрочтении она входит в состав вместо !(A → A), что кажется вполне безобидным.Что до другого направления Coll , схемы Т, то это также теорема системы Малли,но она не представлена в списке теорем Малли: под номером (18) у Малли!!A→!A, просто как пример схемы Т, взятой отдельно, несмотря на ее слабость посравнению с Т-схемой как таковой.122Согласно Малли, наиболее странными из его 35 теорем являются последниедве, символически обозначаемые Сентроне так Т ↔ U и ⊥ ↔ U.Неофициальное прочтение Малли первой из этих теорем является оченьблизким к неофициальному прочтению принципов модальных коллапсов:«Должно быть то и только то, что истинно (Was sein soll, ist das und nur das wastatsächlich ist)»157. Однако можно было бы возразить, что такое прочтение вводит взаблуждение: Т не представляет действительную истину, оно представляетлогическую истину.
В любом случае нет явного указания, что Малли знал, чтоA↔!A была теоремойего системы. С другой стороны, некоторые признакиуказывают на то, что он не был полностью осведомлен о модальных коллапсах.Как бы то ни было, как было сказано выше, первый явный вывод Coll из аксиомМалли был совершен Менгером.В дальнейшем Сентроне определяет, какие принципы Малли отвечают замодальный коллапс. С этой целью, она начинает с описания некоторыхпредварительных отношений синтаксиса и т.д.Как мы уже видели, логические операторы f, ∞ и пропозициональнаяпостоянная ∩, используемые Малли, могут быть объяснены с помощью!, U иобычных связок.
Для удобства, в следующих формальных рассужденияхСентроне уменьшает, без ограничений, число примитивных понятий:-LМязыквысказываний,которыйопределяетсяпропозициональных переменных p, q, r, ..., обычных связокспомощью¬, ∨, ∧, →, ↔,унарного оператора ! и пропозициональных констант U и Т. FORM м обозначаетсовокупность всех формул LМ.- L язык высказываний (подходит для классической и интуиционистскойлогики высказываний), который получается из Lм при помощи отбрасываниямодальных символов U и !. FORM обозначает совокупность всех формул L.Далее:157Mally, Ernst, 1926, Grundgesetze des Sollens: Elemente der Logik des Willens, Graz: Leuschner und Lubensky,Universitäts-Buchhandlung.
Reprinted in Ernst Mally, Logische Schriften: Großes Logikfragment, Grundgesetze desSollens, Karl Wolf and Paul Weingartner (eds.), Dordrecht: D. Reidel, 1971, p. 271.123- C и Int обозначают стандартные исчисления гильбертова типа на языке Lдля классической и, соответственно, интуиционистской логики высказываний.-M обозначает формальную систему Малли на языке LM, котораяопределяется схемами аксиом С и правилом вывода MP, а также пятьюмодальными схемами (соответствующими принципам Малли I–V):– (AX.1) (A →!B) ∧ (B →C) → (A →!C)(354)– (AX.2) (A →!B) ∧ (A →!C) → (A →!(B ∧ C))(355)– (AX.3) (A →!B) ↔!(A → B)(356)– (AX.4) !U(357)– (AX.5) ￢(U →!￢U)(358)- Mint обозначает интуиционистскую версию формальной системы Маллина языке LM, то есть M, где схемы аксиом C заменены схемами аксиом Int.Факт 4.1 Следующие теоремы выводимы в М - на самом деле они выводятсяв более слабой системе Mint, используя только AX.1:(T.1) (A → B) → (!A →!B)(359)(T.2) !B → (A →!A)(360)Доказательство:(T.1):1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
