Диссертация (1148869), страница 21
Текст из файла (страница 21)
A4’ подразумевала бы A4, если бы была добавленааксиома А(q) → ∃ pA (p).Аксиома A6 следует из теоремы Малли, формализуемой Локхорстомследующим образом O¬(A ∧ ¬ B) ↔ O(¬A ∨ B) и называемой им T12d.Доказывает это Локхорст следующим образом:1411. O¬ (A ∧ ¬ B) ↔ O(¬ A ∨ B)T12d(220)2. ((O A → O A) ∧ (A → B)) → (OA → OB)A1(221)3. (A → B) → (OA → OB)2(222)«интуиционистская Деонтика» (англ.)1104.
A → ((OA → A) → A)Н(223)5. A → (O (OA → A) → OA)3, 4(224)6. O (OA → A)A3(225)7. A → OA5, 6(226)8. ¬ (A ∧ ¬ A)Н(227)9. O¬ (A ∧ ¬ A)7, 8(228)10. O (A ∨ ¬ A)1, 9(229)Факт 1. ID может быть альтернативно аксиоматизирована как H плюсаксиома OА ↔ ¬¬ A.Доказательство. Во-первых, OА ↔ ¬¬ A является теоремой ID:1.
((OA → OA) ∧ (A → B)) → (OA → OB)A1(230)2. (A → B) → (OA → OB)1(231)3. A → (¬A → ⊥ )Н(232)4. OA → O (¬A → ⊥ )2, 3(233)5. OA → (¬A → O⊥ )4, A3(234)6. ⊥ → (U → ¬U)Н(235)7. O⊥ → O (U → ¬U )2, 6(236)8. O (U → ¬U) → (U → O¬U)A3(237)9. (U → O ¬U) → ⊥A5(238)10. O⊥ → ⊥7, 8, 9(239)11. OA → ¬¬A5, 10(240)12. (A ∨ ¬A) → (¬¬A → A)Н(241)13. O (¬¬A → A)2, 12, А6(242)14. ¬¬A → OA13, A3(243)15. OA ↔ ¬¬A11, 14(244)Во-вторых, аксиомы ID могут быть получены из OА ↔ ¬¬ A и следующихтеорем H:1.
((A → ¬¬B) ∧ (B → C)) → (A → ¬¬C)(245)2. ((A → ¬¬B) ∧ (A → ¬¬C)) → (A → ¬¬ (B ∧ C))(246)1113. (A → ¬¬B) ↔ ¬¬ (A → B)(247)4. ¬¬ (A → A)(248)5. ¬ (A → ¬¬¬A)(249)6. ¬¬ (A ∨ ¬ A)(250)Классическая пропозициональная логика, называемая Локхорстом C,является H плюс А ∨ ¬ A. MD («Mally’s Deontik»142) является C плюс A1–A5.Факт 2. А ↔ O A является теоремой MD.Доказательство:1. A → ((OA → A) → A)Н(251)2. A → (O (OA → A) → OA)1, A1(252)3. A → OA2, A3(253)4. O (A ∨ ¬ A) [= A6]3, C(254)5. OA ↔ ¬¬A4, Факт 1(255)6. A ↔ ¬¬AС(256)7. A ↔ OA5, 6(257)представляетсобойПословамЛокхорста:«Модальностьпоследовательность операторов ¬ и O, включая пустую последовательность ϵ.Если ϕ и ψ - две модальности, ϕ влечет ψ, если ϕ А → ψ A является теоремой, и ϕи ψ эквивалентны, если ϕ А ↔ ψ A является теоремой. Будем считать, что всистеме есть k модальности, если множество всех модальностей может бытьразделено на эквивалентные k классы, используя эквивалентность модальностей.Мы показываем эти k модальности, показывая самых коротких представителейэтих эквивалентных классов.
Модальность позитивна, если число вхождений ¬ вней - ноль или четно; иначе она негативна»143.В ID имеют место теоремы А → OA, ¬¬А ↔ OA и OOА ↔ ОА.Следовательно, ID имеет две позитивные модальности, ϵ и O, которые связаныследующим образом:142«Деонтика Малли» (англ.)Lokhorst, G.-J. «An intuitionistic reformulation of Mally's deontic logic» // Journal of Philosophical Logic, 42, 2013.Pр. 638.143112ϵ→О(258)В ID имеют место теоремы ¬¬¬А ↔ ¬A, O¬А ↔ ¬ A и ¬OА ↔ ¬A.Следовательно, ID имеет только одну негативную модальность, ¬.В современной деонтической логике PА («разрешено А») определяется какPА=def ¬O¬A. Согласно Локхорсту, если мы принимаем это определение, IDсодержит OА ↔ PА, потому что H содержит ¬¬А ↔ ¬¬¬¬A.
Малли нерассматривал разрешение. Однако, у него имеется утверждение OА → ¬O¬А,которое, как правило, рассматривается как характерное для деонтической логики.Малли возражает против O (А ∨ B) → (OА ∨ ОВ), и Менгер возражаетпротив А ↔ OА. ID позволяет избежать этих возражений:Факт 3. Ни O (А ∨ B) → (OА ∨ ОВ), ни OА → A не являются теоремами ID.В книге Малли144 представлены 35 теорем его деонтической логики. Толькоодна из них не выводима в ID, а именно, теорема, называемая Локхорстом T13b:T13b¬ (A ∧ ¬OB) ↔ (¬A ∨ OB).(259)Факт 4. Для любого расширения X ID: X обеспечивает T13b, если и толькоесли X обеспечивает O (А ∨ B) → (OА ∨ ОВ).Доказательство. Во-первых, если T13b является теоремой, то O (А ∨ B) →(OА ∨ ОВ) также является теоремой:1.
(A ∨ B) → ¬ (¬ A ∧ ¬B)Н(260)2. ¬¬ (A ∨ B) → ¬ (¬A ∧ ¬B)1(261)3. ¬ (¬A ∧ ¬B) → (¬¬A ∨ ¬¬B)T13b, Факт 1(262)4. O (A ∨ B) → (OA ∨ OB)2, 3, Факт 1(263)Во-вторых, если O (А ∨ B) → (OА ∨ ОВ) является теоремой, то T13b такжеявляется теоремой:1441. O (A ∨ B) → (OA ∨ OB)посылка(264)2. O (A ∨ B) ↔ (OA ∨ OB)1, A1(265)3.
¬ (A ∧ ¬B) ↔ ¬¬ (¬A ∨ ¬¬B)Н(266)Mally, Ernst, 1926, Grundgesetze des Sollens: Elemente der Logik des Willens, Graz: Leuschner und Lubensky,Universitäts-Buchhandlung. Reprinted in Ernst Mally, Logische Schriften: Großes Logikfragment, Grundgesetze desSollens, Karl Wolf and Paul Weingartner (eds.), Dordrecht: D. Reidel, 1971, pp. 227-324.1134.
¬¬ (¬A ∨ ¬¬B) ↔ (¬A ∨ ¬¬B)2, Факт 1(267)5. ¬ (A ∧ ¬B) ↔ (¬A ∨ ¬¬B)3, 4(268)6. ¬ (A ∧ ¬OB) ↔ (¬A ∨ OB)5, Факт 1(269)ID плюс T13b, по мнению Локхорста, не содержит OА → A.Интуиционистская реконструкция деонтической логики Малли, которуюпредложил Локхорст, оказалась успешной, поскольку она позволяет избежать каквозражений Менгера, так и собственных возражений Малли при сохранениипочти всех теорем, которые Малли заметил сам. Однако она недопустима каксамостоятельная система деонтической логики. Локхорст приводит две причиныэтому145:1.Теорема А → O A интуитивно недопустима. Ни в одной деонтическойсистеме, кроме системы Малли, нет этой теоремы.2.Неясно, как должно быть представлено разрешение.
Если мыиспользуем стандартное определение (PА = def ¬O¬A), то PА ↔ OA являетсятеоремой, но PA и OA не эквивалентны согласно обычному использованию слов«разрешено» и «обязательно».В реконструкции системы Маллинаосноверелевантной логиги,предложенной Локхорстом, нет этих недостатков.Несмотря на то, что ID недопустима как система деонтической логики, онадействительно целесообразна как система слабой логики, как показываетЛокхорст. Слабая логика используется в областях аппаратной проверки вцифровых схемах и в управлении доступом в защищенных системах.
Термин«слабый» был выбран «чтобы указать на слабость, связанную с понятиемкорректности до ограничений»146.Пропозициональная слабая логика PLL определяется как H плюс(А→ОВ)↔(OА → ОВ)147. Слабая логика PLL* является PLL плюс OА↔¬¬А 148.145Lokhorst, G.-J. «An intuitionistic reformulation of Mally's deontic logic» // Journal of Philosophical Logic, 42. 2013,Pр.640.146Fairtlough, M., & Mendler, M.
Propositional lax logic // Information and Computation, 137, 1997. Р. 3.147Там же. С. 4.148Там же. С. 23.114Факт 5. ID является альтернативной аксиоматизацией слабой логики PLL*.Доказательство. H содержит (А → ¬¬B) ↔ (¬¬А → ¬¬B), таким образом, IDсодержит (А → ОВ) ↔ (OА → ОВ) согласно Факту 1.
ID содержит OА ↔ ¬¬Асогласно Факту 1.Деонтическая логика Малли и слабая логика явиляются результатамисовершенно разных соображений. Поэтому примечательно, что интуиционистскаяреконструкция логики Малли, которую предложил Локхорст, идентична сослабой логикой PLL*.Далее рассмотрим реконструкцию деонтической системы Малли на основерелевантной логики, предложенную Локхорстом 149.Локхорст сначала описывает андерсоновскую релевантную деонтическуюлогику, затем предлагает реконструкцию системы Малли на основе релевантнойлогики и показывает, что она является расширением деонтического фрагментаандерсоновской системы.Андерсоновскую релевантную деонтическую логику Локхорст называет R иописывает следующим образом.
Употребляется символика Локхорста.Релевантная система R имеет следующие аксиомы и правила150:(R1) A → A(самоимпликация)(270)(R2) (A → B) → ((C → A) → (C → B))(префиксирование)(271)(R3) (A → (B → C)) → (B → (A → C))(перестановка)(272)(R4) (A → (A → B)) → (A → B)(сокращение)(273)(R5) (A & B) → A, (A & B) → B(удаление конъюнкции) (274)(R6) ((A → B) & (A → C)) → (A → (B & C)) (введение конъюнкции) (275)149(R7) A → (A ∨ B), B → (A ∨ B)(введение дизъюнкции) (276)(R8) ((A → C) & (B → C)) → ((A ∨ B) → C)(удаление дизъюнкции) (277)(R9) (A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ C)(распределение)(278)(R10) ¬¬A → A(двойное отрицание)(279)Lokhorst, G.-J., «Andersonian Deontic Logic, Propositional Quantification, and Mally» // Notre Dame Journal ofFormal Logic, (2006) 47. Pp.
385-395.150Там же. С. 386.115(R11) (A → ¬B) → (B → ¬A)(контрапозиция)(280)(→E) Если A и А → B являются теоремами, то B является теоремой(отделение)(&I) Если A и B теоремы, то A & B теорема(примыкание)Определение: А ↔ B = (А → B) & (B → A).(281)Систему Rе Локхорст определяет следующим образом. АндерсоновскаярелевантнаядеонтическаялогикаRеявляетсяRспримитивнойпропозициональной константой е и унарным оператором O, определяемымследующим образом OА = e → А. Кроме того, оператор Р определяется как PА =¬O¬A.
e читается как «хорошая вещь», O как «обязательно, что», и P как«разрешено, что».Далее Локхорст рассматривает деонтический фрагмент андерсеновскойрелевантной деонтической логики.Система OR.1abc. Язык: R, дополненная примитивным пропозициональнымоператором О. Аксиомы и правила как в R плюс:(ОС) (OA & OB) → O (A & B)(282)(OK) O (A → B) → (OA → OB)(283)(ROa) Если A → B является теоремой, то ОA → ОB(284)(а) O (OA → A)(285)(b) (A → B) → (OA → OB)(286)(c) A → OPA(287)Деонтический фрагмент. Функция перевода h с языка OR.1abc на язык Reопределяется следующим образом:1.h(A) = A, если А атомарна(288)2.h(¬A) = ¬h(A)(289)3.h(A & B) = h( A) & h( B)(290)4.h(A ∨ B) = h(A) ∨ h(B)(291)5.h(A → B) = h(A) → h(B)(292)6.h(OA) = e → h(A)(293)116Деонтический фрагмент Re (при h) – это множество {A: ˫Re h(A)}.Теорема.
OR.1abc является аксиоматизацией деонтического фрагмента R е.Локхорст предлагает упростить этот результат.Система RО. Язык: R, дополненная примитивным пропозициональнымоператором О. Аксиомы и правила как в R плюс:(a)O (OA → A)(294)(b)(A → B) → (OA → OB)(295)Теорема. RО имеет те же теоремы, что и OR.1abc.Доказательство. Достаточно доказать, что (ROа) правило, выводимое в R О ичто (c), (OK), и (OC) теоремы RО.Локхорст приводит следующие доказательства.(ROa) из (b) и отделение.(T1) O (A → B) → (A → O B).(296)1. (A → B) → (A → B)самоимпликация(297)2.
A → (( A → B) → B)1, перестановка(298)3. A → (O( A → B) → O B)2, (b)(299)4. O( A → B) → ( A → O B)3, перестановка(300)(с) A → O P A.(301)1. O (O¬A → ¬A)(a)(302)2. (O¬A → ¬A) → (A → PA)контрапозиция, определение Р(303)3. O (A → PA)1, 2, (b)(304)4. A → OPA3, (T1)(305)(T2) (A → O B) → O (A → B).(306)1. (O B → B) → ((A → O B) → (A → B))префиксирование (307)2. O (OB → B) → O ((A → O B) → (A → B))1, (b)(308)3. O ((A → O B) → (A → B))2, (a)(309)4.
(A → O B) → O (A → B)3, (T1)(310)(ROO) Если OOA является теоремой, то OA является теоремой.Определение: D = (O A → A).(311)1171. OOAпосылка(312)2. D → (O O A → O A)определение D, (b)(313)3. D → O A1, 2, перестановка(314)4. D → ((D → O A) → (D → A))определение D, префиксирование(315)5. D → (D → A)3, 4, перестановка(316)6. D → A5, сокращение(317)7. O D → O A6, (b)(318)8. O Dопределение D, (a)(319)9. O A7, 8(320)(T3) O O A → O A.(321)1. O O A → O O Aсамоимпликация(322)2. O (O O A → O A)1, (T2)(323)3. O O (O O A → A)2, (Т2), (b)(324)4. O (O O A → A)3, (ROO)(325)5.
O O A → O A4, (T1)(326)(OK) O( A → B) → (O A → O B).(327)1. O (A → B) → (A → OB)(T1)(328)2. (A → OB) → (OA → OOB)(b)(329)3. (OA → OOB) → (OA → OB)(T3), префиксирование(330)4. O (A → B) → (OA → OB)1–3(331)(T4) (A → B) → (P A → P B).
Из аксиом (b) и (R10) – (R11).(332)(T5) P O A → A. Из теоремы (c), аксиом (b) и (R10) – (R11).(333)(OC) (O A & O B) → O( A & B).(334)1. P (OA & OB) → POAудаление конъюнкции, (Т4)(335)2. P (OA & OB) → A1, (T5)(336)3. P (OA & OB) → POBудаление конъюнкции, (T4)(337)4. P (OA & OB) → B3, (T5)(338)5. P (OA & OB) → (A & B)2, 4, введение конъюнкции(339)6.
OP (OA & OB) → O (A & B)5, (b)(340)7. (OA & OB) → O (A & B)6, (c)(341)118Итак, Локхорст делает заключение, что R О является аксиоматизациейдеонтического фрагмента Rе.Довольно интересно, что (OC) не является теоремой позитивной R О, то естьпозитивной R с аксиомами (a) и (b).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
