Диссертация (1145426), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Êîíôèãóðàöèè íàçûâàþòñÿ êâàçèâûðîæäåííûìè, åñëè îíè íå ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êàê õîðîøî èçîëèðîâàííûìè, ò.å. ðÿä ñòàíäàðòíîé ÊÝÄ òåîðèè âîçìóùåíèé ðàñõîäèòñÿ èëè ñõîäèòñÿ î÷åíü ìåäëåííî. Äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõ êîíôèãóðàöèé ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå äîëæíî áûòü ó÷òåíî÷àñòè÷íî âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. ñëåäóþùèõ äâóõ ïàðàãðàôàõ ìû âûâåäåì âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóäûïðîöåññà ðàññåÿíèÿ äëÿ íåâûðîæäåííûõ óðîâíåé è äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõóðîâíåé.  ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå ìû ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿâåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà, ïðèãîäíîå äëÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷¼òà.3.4.1Íåâûðîæäåííûå óðîâíèÌû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ õîðîøî èçîëèðîâàíû.
Íàáîð ãðàôèêîâ íà Ðèñ. 3.5 è 3.7 íàäî ðàçäåëèòü íà äâà íàáîðà:ïðèâîäèìûå (ñîäåðæàùèå ññûëî÷íûå ñîñòîÿíèÿ) è íåïðèâîäèìûå. Äëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà è íàáîðà ïðèâîäèìûõ ÷àñòåé ãðàôèêîâ ìîãóò áûòü ïðèìåíåíûôîðìóëû Óð. (3.4), (3.94), ãäå ôóíêöèè ΦI , ΦF îïðåäåëÿþòñÿ êàê êîìáèíàöèÿ äâóõýëåêòðîííûõ äåòåðìèíàíòîâ â j j ñâÿçè. Äëÿ íåïðèâîäèìûõ ÷àñòåéãðàôèêîâ ìû áóäåì ïðèìåíÿòü ïðîöåäóðó, îïèñàííóþ íèæå.Ðàññìîòðèì ïåðâûå ÷ëåíû â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ Óð. (3.69) è (3.70)S ld = (−2πi)δ(ω 0 + ω0 − ω)TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1(3.97)()X00 ,λ0 )∗× (−1)e3A(k[EA0 + ω − εu2 − εn ]−1 Inu2 d1 d2 (|εd2 − εu2 |)u1 nn×[EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1 Td1 d2 A0 ,S rd = (−2πi)δ(ω 0 + ω0 − ω)TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1()X00 ,λ0 )∗× (−1)e3A(k[EA0 + ω − εu1 − εn ]−1 Iu1 nd1 d2 (|εu1 − εd1 |)u2 nn95×[EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1 Td1 d2 A0 .(3.98)Øòðèõ ó çíàêà ñóììû óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â Óð.
(3.69) ÷ëåíû, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî εd1 + εd2 − εn − εu2 = 0 (è â Óð. (3.70) ÷ëåíû, ãäåεd1 + εd2 − εu1 − εn = 0) ìîãóò áûòü îïóùåíû. Òàê êàê óðîâíè I , F õîðîøî èçîëèðîâàíû, âûðàæåíèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â (3.97), (3.98) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîïðàâêè ê âåðøèíå Ξ; ìû ìîæåì òàêæå ïîëîæèòü(0)ω = −EA0 + EI â âåðøèíå. Òàêèì îáðàçîì, ìû ó÷ëè ñëåäóþùèå ïîïðàâêèX0 ,λ0 )∗A(k[εd1 + εd2 − εu2 − εn ]−1Ξ(1)d = (−1)e3u1 nnεd +εd −εn −εu2 6=012×Inu2 d1 d2 (|εd2 − εu2 |)X0 ,λ0 )∗A(k+(−1)e3[εd1 + εd2 − εu1 − εn ]−1u2 nnεd +εd −εu1 −εn 6=021×Iu1 nd1 d2 (|εu1 − εd1 |)(3.99)(ýòî âêëàäû ãðàôèêîâ Ðèñ. 3.7(a),(b)) èΞ(1)u = (−1)e3Xnεu1 +εu2 −εn −εd 6=02Iu1 u2 nd2 (|εd2 − εu2 |)[εu1 + εu2 − εd2 − εn ]−1(k ,λ0 )∗×Ad10nX+(−1)e3nεu1 +εu2 −εd −εn 6=01Iu1 u2 d1 n (|εu1 − εd1 |)[εu1 + εu2 − εd1 − εn ]−1(k ,λ0 )∗(3.100)×Ad20n(ýòî âêëàäû ãðàôèêîâ íà Ðèñ.
3.7(c),(d)). Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ íåâûðîæäåííûõ óðîâíåé àìïëèòóäà Óð. (3.4) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàòðè÷íûé ýëåìåíòΞ = Ξ(0) + Ξ(1) + Ξ(1)d + Ξ(1)u ,(3.101)âû÷èñëåííûé ñ ïîìîùüþ âîëíîâûõ ôóíêöèé â íóëåâîì ïîðÿäêå, îòâå÷àþùèõ íà÷àëüíîìó è êîíå÷íîìó ñîñòîÿíèþ I è F , ò.å. íà äâóõýëåêòðîííûõäåòåðìèíàíòàõ â j j ñâÿçè.963.4.2Êâàçèâûðîæäåííûå óðîâíè ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû ââåëè âåðøèíó Ξ ÷åðåç âûðàæåíèå Óð. (3.3). Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûâåñòè âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû, îïðåäåë¼ííîé â Óð. (3.4), íàäîïîñòðîèòü âîëíîâûå ôóíêöèè ΦI , ΦF . Ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèâåêòîðàìè ìàòðèöû V (ýòà ìàòðèöà èññëåäîâàëàñü â [29]).
Äèàãîíàëèçàöèÿìàòðèöû V ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, òàê êàê V ýòî áåñêîíå÷íîìåðíàÿìàòðèöà. Îäíî èç âîçìîæíûõ ðåøåíèé ýòîé çàäà÷è åñòü çàìåíà ìàòðèöû Víà ìàòðèöó êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ. Äðóãîé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â ìîäèôèöèðîâàíèè òåîðèè âîçìóùåíèé.
Çäåñü ìû ðàññìîòðèì âòîðîé ñïîñîá.Òåîðèÿ âîçìóùåíèé äëÿ íåâûðîæäåííûõ óðîâíåé õîðîøî èçâåñòíà [35].Ìû ðàññìîòðèì êàê îíà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ê ñëó÷àþ êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé. Ðàññìîòðèì N äâóõ-ýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèé {Ψ}, îïðåäåë¼ííûõ â j j ñâÿçè. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòè êîíôèãóðàöèè ñìåøèâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì, ò.å. îíè èìåþò îäèíàêîâóþ ñèììåòðèþ è èõ ýíåðãèèäîâîëüíî áëèçêè äðóã ê äðóãó. Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ ñòàíäàðòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé íå áóäåò ðàáîòàòü, ïîýòîìó å¼ íåîáõîäèìî ìîäèôèöèðîâàòü Ýòè Nêîíôèãóðàöèé îáðàçóþò íàáîð g = {Ψig , ig = 1, .
. . , N }. Ìû õîòèì ïîñòðîèòü ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû V , îòâå÷àþùèé ñîñòîÿíèþ ng ∈ g . Ìûòàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äðóãèå ñîñòîÿíèÿ (íå âîøåäøèå â íàáîð g )èëè íå ñìåøèâàþòñÿ ñ ñîñòîÿíèåì ng èëè èõ ýíåðãèè ñèëüíî îòëè÷àþòñÿîò ýíåðãèè óðîâíÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ng , ò.å., ÷òî íàáîð g äîñòàòî÷íî áîëüøîé. Ïîõîæàÿ, íù íå ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà ðàññìàòðèâàëàñü ðàíåå â ðàìêàõRMBPT [36].Óäîáíî ïðåäñòàâèòü ìàòðèöó V â áëî÷íîì âèäåV = V11 V12V21 V2297,(3.102)ãäå áëîê V11 ïîñòðîåí èç òîëüêî èç ñîñòîÿíèé èç íàáîðà g , áëîê V22 ïîñòðîåíèç ñîñòîÿíèé íå âõîäÿùèõ â íàáîð g .
Ìàòðèöà V ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíàêàê(3.103)V = V (0) + ∆V ,ãäå V (0) äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà (ñóììà äèðàêîâñêèõ ýíåðãèé). Ìàòðèöà∆V ñîäåðæèò ìàëûé ïàðàìåòð α (ïàðàìåòð ìàëîñòè ÊÝÄ òåîðèè âîçìóùåíèé) è îíà ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà êàê âîçìóùåíèå. Äàëåå ìû îãðàíè÷èìñåáÿ ðàññìîòðåíèåì ïîïðàâîê íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå.  íèçøåìïîðÿäêå ýòè ïîïðàâêè îïðåäåëÿþòñÿ îäíîôîòîííûì îáìåíîì∆V =Xg=c,tI g (|b − b0 |)a0 b0 ab ,(3.104)Ìû ìîæåì çàïèñàòü ìàòðèöó V êàêV = V11 V12V21 V22=(0)V11+ ∆V11∆V12(0)V22∆V21+ ∆V22,(3.105)Áëîê V11 ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ìàòðèöåé è ìîæåò áûòü äèàãîíàëèçîâàí ÷èñëåííîdiagV11= B + V11 B .(3.106)Òàê êàê ìàòðèöà V êîìïëåêñíàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà, ò.å.
Vij = Vji ,ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé(3.107)B tB = I .Çäåñü I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà (Iij = δij ) ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.Ïîñòðîèì ìàòðèöóA = B 0980 I(3.108)êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé(3.109)At A = I .Acting by the matrix A on V yieldsṼ = At V A = diagtV11B ∆V12∆V21 BV22(3.110).Òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîñòîÿíèå ng ñëàáî ñìåøèâàåòñÿ ñ ñîñòîÿíèÿìè, íåâêëþ÷¼ííûìè â íàáîð g , ìàòðèöà Ṽ ìîæåò áûòü äèàãîíàëèçîâàíàñòàíäàðòíûì îáðàçîì (êàê â ñëó÷àå íåâûðîæäåííîé òåîðèè âîçìóùåíèé) [35]Ṽ diag = C̃ t Ṽ C̃ ,(3.111)ãäå ìàòðèöà C ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî ïî òåîðèè âîçìóùåíèé.
 íóëåâîì èïåðâîì ïîðÿäêå ìàòðèöà C èìååò âèä(0)0(1)C̃ij = C̃ij + C̃ij = Iij + (∆V21 B)ijEj −Ei(B t ∆V12 )ijEj −Ei(V22 )ijEj −Ei(3.112).Äèàãîíàëèçîâàííûå ìàòðèöû V è Ṽ ñîâïàäàþò, òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåìíàïèñàòüV diag = Ṽ diag = (AC̃)t V (AC̃) .(3.113)Ñîîòâåòñòâåííî, ñîáñòâåííûé âåêòîð Φ, îòâå÷àþùèé áàçèñíîé ôóíêöèè Ψìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê(3.114)Φ = AC̃Ψ .Òåïåðü ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñîñòîÿíèå ng ∈ g â òåðìèíàõ ðàçëîæåíèÿ ïîòåîðèè âîçìóùåíèéΦng = AC̃Ψng =X(0)Bkg ng Ψkg+kg ∈gXk∈g/lg ∈g99(∆V21 )klgBlg ng(0)Eng−(0)Ek(0)Ψk . (3.115)Âûðàæåíèå äëÿ ∆V21 äà¼òñÿ Óð.
(3.104). Ñóììèðîâàíèå ïî èíäåêñó k îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì äâóõýëåêòðîííûì êîíôèãóðàöèÿì (â j j ñâÿçè),âêëþ÷àÿ îòðèöàòåëüíî ýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü äèðàêîâñêîãî ñïåêòðà, íåâêëþ÷¼ííûì â íàáîð g . ñëó÷àå êîãäà ñîñòîÿíèå ng ÿâëÿåòñÿ õîðîøî èçîëèðîâàííûì, òîãäà íàáîð g ìîæåò ñîñòîÿòü èç ýòîãî åäèíñòâåííîãî ñîñòîÿíèÿ, ò.å.
g = {Ψng }. Âýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà B áóäåò îäíîìåðíîé åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Ëåêãî ïðîâåðèòü, ÷òî ôîðìóëà (3.115) âìåñòå ñ Óð. (3.94) áóäóò äàâàòü òîò æå ðåçóëüòàò,÷òî è Óð. (3.101) (ó÷èòûâàÿ òîëüêî ïîïðàâêè íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà).Àìïëèòóäà (U ) ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé äà¼òñÿ Óð. (3.4), ãäå ñîáñòâåííûå âåêòîðà îïðåäåëÿþòñÿ Óð. (3.115), à îïåðàòîðâåðøèíû Óð. (3.95), (3.96).3.4.3Ðàñ÷¼ò âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâÂåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ìåæäó I è F ñîñòîÿíèÿìè ñâÿçàíà ñ àìïëèòóäîé Uïðîöåññà I → F ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíà ω ñëåäóþùèì îáðàçîìW =XZλd3 kω2 X2(2π)|U | δ(EF + ω − EI ) =(2π)3(2π)2λZdν |U |2 , (3.116)ãäå ν = k/|k|.
EI , EF ýíåðãèè íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé, ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè ýíåðãèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ äèðàêîâñêèå ýíåðãèè è ïîïðàâêèíà îäíîôîòîííûé îáìåí.  ñëó÷àå êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé îíè îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç âåùåñòâåííóþ ÷àñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéìàòðèöû V (Óð. (3.103)). ×àñòîòà ôîòîíà ω = |k| ðàâíà ω = EF − EI .Óð. (3.116) îïðåäåëÿåò ïîëíóþ âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà, ò.å. âûïîëíåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñó ôîòîíà (k) è ñóììèðîâàíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì ôîòîíà (λ).100Èíòåãðèðîâàíèå ïî èìïóëüñó k è ñóììèðîâàíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì λ âûïîëíåíî àíàëèòè÷åñêè.  Óð. (3.116) òîëüêî ôóíêöèè ôîòîíà çàâèñÿò îò kè λ. Ñîîòâåòñòâåííî, â î÷åíü îáùåì ñëó÷àå ìû ìîæåì çàïèñàòüU (0) = A(k,λ)Z n1 n2=d3 r ψ̄n1 (r)γ µ A(k,λ)(r)ψn2 (r) ,µ(k,λ)ãäå Aµ(3.117)(3.118)(r) îïðåäåëÿþòñÿ Óð.
(3.7), (3.6). Ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿâåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå [27]W (0)2 2 ω 2 X (E) (M )=(Ajm (r, ω))n1 n2 + (Ajm (r, ω))n1 n2 . (3.119)2(2π) jmÇäåñü èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå Óð. (3.36). Ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïîóãëîâîìó ìîìåíòó ôîòîíà (j ) è åãî ïðîåêöèè (m). 4-âåêòîð A(M,E)µ = (V, A)îòâå÷àåò ìàãíèòíûì (M ) è ýëåêòðè÷åñêèì (E ) ôîòîíàì, ñîîòâåòñòâåííî. Âñëó÷àå ìàãíèòíûõ ôîòîíîâ ìû èìååì(M )Vjm (r, ω) = 0 ,r(M )Ajm (r, ω) =(3.120)2πgj (ωr)Yjjm (n) .ω(3.121)Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå êàëèáðîâêè ýëåêòðè÷åñêèå ôîòîíû ìîæíîïðåäñòàâèòü êàê(E)Vjm (r, ω) = 0r(E)Ajm (r, ω) =(3.122)2πωs−(sjgj+1 (ωr)Yjj+1m (n)2j + 1)j+1gj−1 (ωr)Yjj−1m (n) .2j + 1(3.123) Óð. (3.121), (3.123) ðàäèàëüíûå ôóíêöèèrgl (x) = 4π101πJl+1/2 (x)2x(3.124)îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèè Áåññåëÿ Jl+1/2 (x) ïåðâîãî ðîäà [37], Yjlm (l =j −1, j, j +1) îáîçíà÷àþò âåêòîðíûå ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè [27,38], çàâèñÿùèåîò óãëîâ n = r/|r|.
Ôîðìóëû (3.122), (3.123) îòâå÷àþò âîëíîâîé ôóíêöèèôîòîíà îïðåäåëÿåìîé Óð. (3.7), (3.6), (ïîïåðå÷íàÿ êàëèáðîâêà èëè êàëèáðîâêà ñêîðîñòè â [34]). ñëó÷àå íåðåëÿòèâèñòñêîãî ïðåäåëà áîëåå óäîáíîé îêàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêà, ïðåäñòàâëåííàÿ ïðåîáðàçîâàíèåì A → A + νχ(k, t), V → V + χ(k, t)withsχ(k, t) = δ(ω − |k|)j+1Yjm (ν)e−iωt ,j(3.125)ãäå Yjm (ν) ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè [38].
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìåíÿåò òîëüêîôóíêöèþ ýëåêòðè÷åñêèõ ôîòîíîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, â íåïîïåðå÷íîé êàëèáðîâêå 4-âåêòîð A(E) èìååò âèärs2π j + 1gj (ωr)Yjm (n) ,ωjr s2π 2j + 1(E)Ajm (r, ω) =gj+1 (ωr)Yjj+1m (n) .ωj(E)Vjm (r, ω) = −(3.126)(3.127) ðàáîòå [34] ýòà êàëèáðîâêà íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé äëèíû.Ñðàâíèâàÿ Óð. (3.116) è Óð. (3.119) ìû ìîæåì âûðàçèòü âåðîÿòíîñòè ïå(E,M )ðåõîäîâ ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùóþ àìïëèòóäó Ujmêàê2 2 ω 2 X (E) (M )W =U(r,ω)+U(r,ω) ,jmjm(2π)2 jm(M,E)ãäå A(k,e) çàìåíåíû íà Ajm(3.128), ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòüèñïîëüçîâàíî äëÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷¼òà âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà.(E,M )Àìïëèòóäû Ujmâûâîäÿòñÿ â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé. Òàê êàê ìûó÷èòûâàåì òîëüêî ïîïðàâêè íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ, ò.å.(E,M )Ujm(E,M )(0)= Ujm102(E,M )(1)+ Ujm+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
