Диссертация (1145426), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Óð. (3.4)). Òàê êàêýòîò ÷ëåí óæå áûë ó÷ò¼í êîãäà ìû ñòðîèëè ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, îííå äà¼ò âêëàäà â âåðøèííûé îïåðàòîð è ìû îïóñàêåì åãî.Ïðîèçâîäÿ àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèå ýëåìåíòà S-ìàòðèöû S rd , îòâå÷àþùåìó ôåéíìàíîâñêîìó ãðàôèêó Ðèñ. 3.7(b), ìû ïîëó÷àåìS rd = (−2πi)δ(ω 0 + ω0 − ω)×TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1X0 ,λ0 )∗eA(ku2 nn× e2 Iu1 nd1 d2 (|εu1 − εd1 |)[EA0 + ω − εu1 − εn ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1Zi−e2dx Iu1 nd1 d2 (|x|)[x − εd1 + εu1 − i0εd1 ]−12π× [x − EA0 − ω + εd2 + εu1 − i0εd2 ]−1 [EA0 + ω − εu1 − εn ]−1(3.70)×Td1 d2 A0 .Çàìåòèì, ÷òî ãðàôèêè Ðèñ. 3.7(a) è Ðèñ. 3.7(b) äàþò îäèíàêîâûé âêëàä (äëÿ(0)(0)εd1 + εd2 = EI è εu1 + εn = EI , ñîîòâåòñòâåííî). Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååìðàâåíñòâî S ld = S rd .
Ýòè âåðøèíû, îòâå÷àþùèå ãðàôèêàì Ðèñ. 3.7(a) è (b),èìåþò âèä(1)ldΞu1 u2 d1 d2 =X0 ,λ0 )∗eA(kδεn +εuu1 n2(0),EInZidx Inu2 d1 d2 (|x|)[x − εd2 + εu2 − i0εd2 ]−1−e22π−1× [x − EA0 − ω + εd1 + εu2 − i0εd1 ]= (Ξ(0) K (1)ld )u1 u2 d1 d2 ,87(3.71)(3.72)(1)rdΞu1 u2 d1 d2=X0 ,λ0 )∗eA(kδεn +εuu2 nn(0)1,EIZi× −e2dx Iu1 nd1 d2 (|x|)[x − εd1 + εu1 − i0εd1 ]−12π−1× [x − EA0 − ω + εd2 + εu1 − i0εd2 ](3.73)(3.74)= (Ξ(0) K (1)rd )u1 u2 d1 d2 ,ãäå Ξ(0) îïðåäåëÿåòñÿ Óð. (3.54). Çäåñü ìû ââåëè ìàòðèöû K (1)ld è K (1)rd äëÿîáîçíà÷åíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ.
Çàìåòèì, ÷òî, åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå õîðîøî èçîëèðîâàíî, òîãäà ÷ëåí, êîòîðûé íå óäî(0)âëåòâîðÿåò óñëîâèþ εd1 +εd1 = EI , ÿâëÿåòñÿ ìàëûì íà îäèí ïîðÿäîê òåîðèèâîçìóùåíèé è ìîæåò áûòü îïóùåí. Ñîîòâåòñòâåííî, ìàòðèöû K ñòàíîâÿòñÿäèàãîíàëüíûìè.Êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â ñëó÷àå íóëåâîãî ïîðÿäêà, âûðàæåíèÿ (3.69) è(3.70) íàäî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå Óð. (3.3). Äëÿ ýòîé öåëè ðàññìîòðèì ãðàôèê Ðèñ. 3.8(a). Ñëîæíàÿ âåðøèíà Ξ áûëà óæå ïîñòðîåíà â íóëåâîì ïîðÿäêåòåîðèè âîçìóùåíèé (Óð. (3.54)).
Ñåé÷àñ íàøà öåëü ýòî âû÷èñëèòü ïîïðàâêè íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå ê âåðøèíå Ξ. Äëÿ ýòîãî ìû èññëåäóåì èçìåíåíèå îáùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ñëîæíîé âåðøèíû Ξgen ïîñëå ó÷¼òàìåæýëåêòðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (Ðèñ. 3.8(a)). Ýëåìåíò S-ìàòðèöû, îòâå÷àþùèé Ðèñ. 3.8(a) â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïî ìåæýëåêòðîííîìóâçàèìîäåéñòâèþ âûãëÿäèò êàê2ZS = (−i)d4 x1 d4 x2 d4 xu1 d4 xu2 d4 xc1 d4 xc2 d4 xs1 d4 xs2 d4 xd1 d4 xd20×dωu1 dωu2 dωs1 dωs2 dωd1 dωd2 dΩ Φ̄A0 (ru1 , ru2 )eitu1 (EA0 +ω ) δ(tu1 − tu2 )i X ψu1 (ru1 )ψ̄u1 (rc1 ) −iωu (tu −tc )111e×2π u ωu1 − εu1 (1 − i0)1×i X ψu2 (ru2 )ψ̄u2 (rc2 ) −iωu (tu −tc )222e2π u ωu2 − εu2 (1 − i0)2×(−i)Ξgen (rc1 , rc2 , rs1 , rs2 )eiω0 tc1 δ(tc1 − tc2 )δ(tc1 − ts1 )δ(ts1 − ts2 )88×i X ψs1 (rs1 )ψ̄s1 (r1 ) −iωs (ts −t1 )e 1 12π s ωs1 − εs1 (1 − i0)1i X ψs2 (rs2 )ψ̄s2 (r2 ) −iωs (ts −t2 )×e 2 22π s ωs2 − εs2 (1 − i0)2i µ1 µ2γ γ Iµ1 µ2 (|Ω|, r1 , r2 )e−iΩ(t1 −t2 )2πXiψd1 (r1 )ψ̄d1 (rd1 ) −iωd (t1 −td )11×e2πωd1 − εd1 (1 − i0)×(−ie)2d1×i X ψd2 (r2 )ψ̄d2 (rd2 ) −iωd (t2 −td )22e2πωd2 − εd2 (1 − i0)d2−itd1 (EA0 +ω)×eδ(td1 − td2 )ΦA0 (rd1 , rd2 ) .(3.75)Èíòåãðèðîâàíèå ïî âðåìåííûì ïåðåìåííûì äà¼òi2π7(2π)5S = (−i)5Z× d3 r1 d3 r2 d3 ru1 d3 ru2 d3 rc1 d3 rc2 d3 rs1 d3 rs2 d3 rd1 d3 rd2Z× dωu1 dωu2 dωs1 dωs2 dωd1 dωd2 dΩ×Φ̄A0 (ru1 , ru2 )∆3.77X ψu (ru )ψ̄u (rc ) X ψu (ru )ψ̄u (rc )11112222×Ξgen (rc1 , rc2 , rs1 , rs2 )ωu1 − εu1 (1 − i0) u ωu2 − εu2 (1 − i0)u12X ψs (rs )ψ̄s (r1 ) X ψs (rs )ψ̄s (r2 )111222×e2 γ µ1 γ µ2 Iµ1 µ2 (|Ω|, r1 , r2 )ωs1 − εs1 (1 − i0) s ωs2 − εs2 (1 − i0)s1×2X ψd (r1 )ψ̄d (rd ) X ψd (r2 )ψ̄d (rd )111222ΦA (rd , rd ) ,ωd1 − εd1 (1 − i0)ωd2 − εd2 (1 − i0) 0 1 2d1(3.76)d2ãäå∆3.77 = δ(EA0 + ω 0 − ωu1 − ωu2 )δ(ω0 + ωu1 + ωu2 − ωs1 − ωs2 )×δ(−Ω + ωs1 − ωd1 )δ(Ω + ωs2 − ωd2 )δ(ωd1 + ωd2 − EA0 − ω) .
(3.77)Îïÿòü ìû èñïîëüçóåì ðàâåíñòâà, êîòîðûå ïîçâîëÿò íàì âûäåëèòü ÷ëåíû(R), êîòîðûå ðåãóëÿðíû îêîëî ïîçèöèé ðåçîíàíñîâ, îïðåäåëÿåìûõ óñëîâèÿ89ìè (Óð. (3.65), (3.66)):∆3.77 [ωu1 − εu1 (1 − i0)]−1 [ωu2 − εu2 (1 − i0)]−1×[ωs1 − εs1 (1 − i0)]−1 [ωs2 − εs2 (1 − i0)]−1×[ωd1 − εd1 (1 − i0)]−1 [ωd2 − εd2 (1 − i0)]−1 32πδ(ωu2 − εu2 )δ(ωs2 − εs2 )δ(ωd2 − εd2 )= ∆3.77i×δεu +εu ,E (0) δεs +εs ,E (0) δεd +εd ,E (0)12F12I12I×[EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1 [EA0 + ω − εs1 − εs2 ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1 22πδ(ωu2 − εu2 )δ(ωs2 − εs2 )+∆3.77i×δεu +εu ,E (0) δεs +εs ,E (0) [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−112F12I×[EA0 + ω − εs1 − εs2 ]−1 [EA0 + ω − ωd2 − εd1 (1 − i0)]−1×(−1)[−ωd2 + εd2 + i0εd2 ]−1 22πδ(ωu2 − εu2 )δ(ωd2 − εd2 )+∆3.77i×δεu +εu ,E (0) δεd +εd ,E (0) [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−112F12I×[EA0 + ω − ωs2 − εs1 (1 − i0)]−1 (−1)[−ωs2 + εs2 + i0εs2 ]−1×[EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1(3.78)+∆3.77 R .Ïðèìåíÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ ê Óð.
(3.76) è îáúåäèíÿÿ ãðàôèêè Ðèñ. 3.6, 3.8(a)(ñì. Óð. (3.53)) äëÿ ýëåìåíòà S-ìàòðèöû S cd , îòâå÷àþùèé ôåéíìàíîâñêîìóãðàôèêó Ðèñ. 3.8 (a) ìû ïîëó÷àåìS cd = (−2πi)δ(ω 0 + ω0 − ω)×TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1 Ξgenu1 u2 s1 s2(× e2 Is1 s2 d1 d2 (|εs1 − εd1 |)[EA0 + ω − εs1 − εs2 ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1+ (1)s1 s2 d1 d2 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−190i−e2π2Zdx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 − i0εd1 ]−1×[x − EA0 − ω + εd2 + εs1 − i0εd2 ]−1 [EA0 + ω − εs1 − εs2 ]−1Z2 idx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 + i0εs1 ]−1−e2π×[x − εd1 + EA0 + ω − εs2 + i0εs2 ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1Td1 d2 A0 . (3.79)Ïåðâûé ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ èìååò ñèíãóëÿðíîñòè îêîëîω 0 = −EA0 + εu1 + εu2 ,(3.80)ω = −EA0 + εs1 + εs2(3.81)ω = −EA0 + εd1 + εd2 .(3.82)Îí ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí êàê ïåðâûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè,îòâå÷àþùåé íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ.
Ýòà ïðîãðåññèÿ ìîæåò áûòü ïðîñóììèðîâàíà (ñì. [29]). Ïîñëå ýòîãî ïîçèöèÿ ðåçîíàíñà, îòâå÷àþùàÿ íà÷àëüíîìóñîñòîÿíèþ áóäåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ ïîïðàâêó íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå (îäíîôîòîííûé îáìåí).Ïåðâûé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ((1)s1 s2 d1 d2 = δs1 d1 δs2 d2 ) ïðåäñòàâëÿåòâêëàä ãðàôèêà Ðèñ. 3.6. ×ëåíû â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ èìåþò ñèíãóëÿðíîñòè, îïðåäåëÿåìûå Óð.
(3.80) è èëè (3.81) èëè (3.82). Ïîñëåäíèõ äâà ÷ëåíàïðåäñòàâëÿþò ïîïðàâêó íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå ê ñëîæíîé âåðøèíå Ξgen . Âåñü ÷ëåí êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ îòâå÷àåò êàê âåðøèíå Ξgen òàê èâåðøèíå Td1 d2 A0 , êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ôîòîíîì ω ñ ïåðåõîäîì â âîçáóæä¼ííîå ñîñòîÿíèå (I ). Ñîîòâåòñòâåííî,âêëàä ýòîãî ÷ëåíà â âåðøèíó Ξgen èäåò ñî ñòåïåíüþ 1/2.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå èçîëèðîâàíî, ò.å. ïðèìåñü äðóãèõñîñòîÿíèé èìååò âåëè÷èíó ñëåäóþùåãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé. Òîãäà91ìû ìîæåì çàïèñàòü(0)(3.83)εs1 + εs2 = εd1 + εd2 = EIè îïóñòèòü ñóììèðîâàíèå ïî s1 , s2 â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â Óð. (3.79).
Ñîîòâåòñòâåííî, âåðøèíà Ξcd ñ ïîïðàâêàìè íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå,ïðåäñòàâëÿåìàÿ ãðàôèêîì Ðèñ. 3.8(a) áóäåò èìåòü âèäΞcdu1 u2 d1 d2= Ξgenu1 u2 s1 s2 (1)s1 s2 d1 d2Z2 idx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 − i0εd1 ]−1−e2π×[x − EA0 − ω + εd2 + εs1 − i0εd2 ]−1Z2 i−edx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 + i0εs1 ]−12π1/2−1×[x − εd1 + EA0 + ω − εs2 + i0εs2 ]hi1/2 = Ξgen1 + K (1)cd.u1 u2 s1 s2(3.84)s1 s2 d1 d2Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îïðåäåëÿåò ìàòðèöó K (1)cd . Çàìåòèì, ÷òî ýòà ïîïðàâêàïîÿâëÿåòñÿ ïîä çíàêîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ. ×ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âÓð. (3.79) ìîæåò áûòü ðàâíîïðàâíî îòíåñ¼í êàê ê âåðøèíå Ξgen , òàê è êâåðøèíå Td1 d2 A0 . Ñîîòâåòñòâåííî, ÷àñòü ýòîãî ÷ëåíà, ñâÿçàííàÿ ñ âåðøèíîéΞgen åñòü êâàäðàòíûé êîðåíü îò ýòîãî ÷ëåíà.Âåðøèíà Ξcd äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå âêëàäîâ Óð.
(3.54), (3.71), (3.73)cdΞ= Ξ(0)1+K(1)ld+K(1)rd.Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïîëó÷àåì (Ξd = Ξgen )dΞ= Ξ(0)1+K(1)ld+K(1)rd−1/2(1)cd1+K.Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå1(1 + x)−1/2 = 1 − x + O(x2 )292(3.85)è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ, ìû ìîæåì ïîëó÷àåìΞd1= Ξ(0) 1 + K (1)ld + K (1)rd − K (1)cd + e O(α2 ) .2(3.86)Òàê êàê ìû èíòåðåñóåìñÿ òîëüêî ïîïðàâêàìè â íóëåâîì è ïåðâîì ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ìû ìîæåì ïîëîæèòüω = −EA0 + EI .(3.87)Ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà ê Ξ ïîÿâëÿþòñÿ â ñëó÷àå ññûëî÷íûõ ñîñòîÿíèé,ò.å.
êîãäà âûïîëíåíî êàêîå-íèáóäü èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé are fullledεn + εu2 = εd1 + εd2 ,(3.88)εu1 + εn = εd1 + εd2 ,(3.89)εs1 + εs2 = εd1 + εd2 .(3.90)Âêëàäû ãðàôèêîâ Ðèñ. 3.7(a),(b) ìîæíî îïèñàòü êàê óäâîåííûé âêëàä ãðàôèêà Ðèñ. 3.7(a). Ñîîòâåòñòâåííî, ññûëî÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ Óð.(3.88) è (3.90).Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì çàïèñàòü11K (1)ld + K (1)rd − K (1)cd = 2K (1)ld − K (1)cd2Z2idx Inu−2e2=2 d1 d2 (|x|)[x − εd2 + εu2 − i0εd2 ]−2 2π Zi− −e2dx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 − i0εd1 ]−22πZidx Is1 s2 d1 d2 (|x|)[x − εd1 + εs1 + i0εs1 ]−2 . (3.91)−e22πÝòî âûðàæåíèå ìîæíî óïðîñòèòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ2Inu2 d1 d2 (|x|)[x − εd2 + εu2 − i0]−2−Is1 s2 d1 d2 (|x|) [x − εd2 + εu2 − i0]−2 + [x − εd2 + εu2 + i0]−2= Inu2 d1 d2 (|x|) [x − εd2 + εu2 − i0]−2 − [x − εd2 + εu2 + i0]−2 2π ∂=Inu d d (|x|)δ(x − εd2 + εu2 ) .(3.92)i ∂x 2 1 293Çäåñü áûëà èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà112π ∂−=−δ(x) .(x + i0)2 (x − i0)2i ∂x(3.93)Òàêàÿ æå ïðîöåäóðà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà äëÿ Ðèñ.
3.7(c),(d) èÐèñ. 3.8(b), ãäå îäíîôîòîííûé îáìåí âñòàâëåí âûøå èçëó÷åíèÿ ôîòîíà ω0 .Íàêîíåö, ìû ìîæåì çàïèñàòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ âåðøèíû Ξ(3.94)Ξ = Ξ(0) + Ξ(1) + e O(α2 ) ,ãäå(0)(k ,λ )∗(3.95)Ξu1 u2 d1 d2 = 2eAu10d1 0 δu2 d2 ,X∂(1)0 ,λ0 )∗e3 A(kΞu1 u2 d1 d2 =I(|x|)nu2 d1 d2u1 n∂xnx=εu2 −εd2εn +εu2 =εd +εd21X∂(k ,λ )∗And01 0 . (3.96)e3Iu1 u2 nd2 (|x|)+∂xnx=εd −εu2εn +εd =εu1 +εu222Óð.
(3.96) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèâîäèìóþ ÷àñòü ïîïðàâîê ïåðâîãî ïîðÿäêà,ò.å. âêëàä ññûëî÷íûõ ñîñòîÿíèé.Ïîñòðîèâ îáùåå âûðàæåíèå äëÿ âåðøèíû Ξ, ìû ìîæåì ïðèìåíÿòü ôîðìóëû ïîëó÷åííûå äëÿ îáùèõ ãðàôèêîâ Ðèñ. 3.8 è 3.6 äëÿ âû÷èñëåíèÿ âêëàäîâãðàôèêîâ Ðèñ. 3.5 è 3.7. Òåïåðü ìû ìîæåì âûðàçèòü ýòè ïîïðàâêè ÷åðåçìàòðèöó Ξ, ÷òî ïîçâîëÿåò íàì ïðîâåñòè ðàñ÷¼òû äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõóðîâíåé. Äëÿ âûâîäû ôîðìóëû äëÿ àìïëèòóäû Óð.
(3.4), íàì íàäî áóäåòðàññìîòðåòü îòäåëüíî ñëó÷àé íåâûðîæäåííûõ óðîâíåé è ñëó÷àé êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé.3.4Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäàÏðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ ìû áóäåì ðàçëè÷àòü ñëó÷àé íåâûðîæäåííûõ óðîâíåé è ñëó÷àé êâàçèâûðîæäåííûõ. Äëÿ íåâûðîæäåííûõ94óðîâíåé ìîæíî ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíóþ ÊÝÄ òåîðèþ âîçìóùåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
