Диссертация (1145426), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Àìïëèòóäà ïðîöåññà ýëåêòðîííîé ðåêîìáèíàöèè äà¼òñÿ Óð. (4.10).Ïðåäåë R → ∞ ìîæåò áûòü ëåãêî âçÿò ÷èñëåííî. Ýòà ïðîöåäóðà èìååòÿâíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, êîòîðûé îáñóæäàåòñÿ âÑîáñòâåííûå âåêòîðà óðàâíåíèÿ Äèðàêà äëÿ òî÷å÷íîãî ÿäðà õîðîøî èçâåñòíû [27]. Àñèìïòîòèêà (r → ∞) âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà èç íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà (äëÿ òî÷å÷íîãî ÿäðà èëè ÿäðà êîíå÷íîãî ðàäèóñà) èìååòâèäg(r) Ωκ,m (n)if (r) Ω−κ,m (n)r+mg(r) = Cgcos(pr + φg (r))πpr−mf (r) = Cfsin(pr + φf (r)) ,πp1ψκ,m (r) =r119(4.11)(4.12)(4.13)ãäå |Cg | = |Cf | = 1 è φg (r), φf (r) ôóíêöèè, ñëàáî çàâèñÿùèå îò r. Èìïóëüñ ýëåêòðîíà (p) è ýíåðãèÿ () ñâÿçàíû, êàê p2 = 2 − m2e , ãäå me ìàññàýëåêòðîíà.
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà íîðìèðîâàíà äåëüòà-ôóíêöèþ îòýíåðãèè. ýòîé ãëàâå ìû áóäåì ñðàâíèâàòü âîëíîâûå ôóíêöèè ýëåêòðîíà äëÿ èîíàâ áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå è äëÿ èîíà çàêëþ÷¼ííîãî â ñôåðó ðàäèóñà R.Åñëè èîí çàêëþ÷¼í â ñôåðó êîíå÷íîãî ðàäèóñà âåñü ýëåêòðîííûé ñïåêòðñòàíîâèòñÿ äèñêðåòíûì. Äëÿ áîëüøèõ ðàäèóñà R è êîîðäèíàòû r âîëíîâàÿôóíêöèÿ ýëåêòðîíà äëÿ èîíà, çàêëþ÷¼ííîãî âíóòðè ñôåðû, äà¼òñÿ àñèìïòîòèêîé: Óð.
(4.12), (4.13). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíèöà ìåæäó áëèæàéøèìè (äèñêðåòíûìè) çíà÷åíèÿìè èìïóëüñîâ (p) îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîâèíîé ïåðèîäà îñöèëëÿöèé ôóíêöèé Óð. (4.12), (4.13) íà ãðàíèöå ñôåðû (r = R): ∆pR = π .Òîãäà, ðàçíèöà áëèæàéøèõ çíà÷åíèé ýíåðãèè () îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé∆ =ppπ∆p =.R(4.14)Ðàâåíñòâà, ïðèâåä¼ííûå â ýòîì ïðèëîæåíèè, ñëåäóåò ïîíèìàòü â ñìûñëåàñèìïòîòèê, ò.å., ðàâåíñòâà âåðíû ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, èñ÷åçàþùèõ ïðèR → ∞.(aux)Ðàññìîòðèì ôóíêöèè ψeR(r) è ψeR (r) îïðåäåë¼ííûå Óð.
(4.6), (4.8) èíîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòîé Óð. (4.7) â Ñåêöèè 4.4, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè áîëü(aux)øèõ ðàäèóñàõ R ôóíêöèÿ ψeR(r) ìîæåò áûòü çàìåíåíà ñâîåé àñèìïòîòèêîéÓð. (4.12), (4.13). Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòû (NR )2ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê2(NR )Z=0R R.dr |g(r)|2 + |f (r)|2 =pπ(4.15)Ñðàâíèâàÿ Óð. (4.14) è Óð. (4.15) ìû ïîëó÷àåì∆ =1.(NR )2120(4.16)Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà, çàêëþ÷¼ííîãî â ñôåðó áîëüøîãî ðàäèóñàR ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ôóíêöèÿ ψeR (r). Ôóíêöèÿ ψeR (r) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ Äèðàêà òàê æå êàê è ôóíêöèÿ ψe (r). Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â òî÷êår = R óäîâëåòâîðÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäãîíêîé ðàäèóñà ñôåðû R.Èíòåãðèðîâàíèå ïî èíòåðâàëó ýíåðãèé [1 , 2 ] â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå ýêâèâàëåíòíî ñóììèðîâàíèþ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì èíòåðâàëà [1 , 2 ] äèñêðåòíîãîñïåêòðà:Z2Xd F () =1F (n ) ,(4.17)n ∈[1 ,2 ]ãäå ôóíêöèÿ F ïðåäñòàâëÿåò êàêîå-íèáóäü ñâîéñòâî èîíà (íàïðèìåð, ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ).
Åñëè ðàäèóñ R èä¼ò íà áåñêîíå÷íîñòü, ÷èñëî äèñêðåòíûõñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå ýíåðãèé [1 , 2 ] òîæå èä¼ò íà áåñêîíå÷íîñòü, à øèðèíàèíòåðâàëà, ñîäåðæàùåãî òîëüêî îäíî äèñêðåòíîå çíà÷åíèå ýíåðãèè, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ìîæåì íàïèñàòü1F () =∆Zd F () =1F (n ) = (NR )2 F (n ) ,∆(4.18)∆ãäå n åäèíñòâåííûé óðîâåíü ýíåðãèè âíóòðè èíòåðâàëà ∆.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîä îò íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ê äèñêðåòíîìó çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíåâîëíîâîé ôóíêöèè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ψe íà ôóíêöèþ ψeR è â ïîÿâëåíèèäîïîëíèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ 1/∆ = (NR )2 ê ôóíêöèè F (ñå÷åíèþ ðàññåÿíèÿ), ãäå ∆ ýòî äèñòàíöèÿ ìåæäó áëèæàéøèìè óðîâíÿìè ýíåðãèè. Ñîîòâåòñòâåííî, èñêóññòâåííîå ñâÿçàííîå ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå eR ââåä¼ííîåâ Ñåêöèè 4.4 îòâå÷àåò ôèçè÷åñêîìó ñâÿçàííîìó ýëåêòðîííîìó ñîñòîÿíèþ (ñòîé æå ýíåðãèåé, ÷òî è ó ýëåêòðîíà íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà) èîíà, çàêëþ÷¼ííîãî â ñôåðó áîëüøîãî ðàäèóñà R.1214.5Ñå÷åíèå ðåêîìáèíàöèèÌû ðàññìàòðèâàåì ïðîöåññ ýëåêòðîííîé ðåêîìáèíàöèè ñ îäíîýëåêòðîííûìèîíîì.
Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïðåäñòàâëåíî äâóìÿ ýëåêòðîíàìè: ñâÿçàííûéýëåêòðîí è íàëåòàþùèé ýëåêòðîí (ýëåêòðîí èç íåïðåðûâíîãî äèðàêîâñêîãîñïåêòðà). Êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ýòî îäíîêðàòíî âîçáóæä¼ííàÿ äâóõýëåêòðîííàÿ êîíôèãóðàöèÿ (íàïðèìåð, (1s2s) èëè (1s2p)) è èçëó÷¼ííûé ôîòîí.Ôîòîí îïèñûâàåòñÿ èìïóëüñîì (k), ÷àñòîòîé (ω = |k|) è ïîëÿðèçàöèåé(λ). Óäîáíî òàêæå ââåñòè âîëíîâîé âåêòîð ôîòîíà νk = k/|k|. Âîëíîâàÿôóíêöèÿ ôîòîíà (A = (A0 , A)) íîðìèðîâàííàÿ óñëîâèåì: îäíà ÷àñòèöà âåäèíèöå îáú¼ìàZ00d3 rA(k,λ)+ (r)A(k ,λ ) (r) = (2π)34πδ(k − k0 )δλ,λ0 .2ω(4.19)Ìû èñïîëüçóåì ðåëÿòèâèñòñêóþ ñèñòåìó åäèíèö, ãäå ïîñòîÿííàÿ òîíêîéñòðóêòóðû åñòü α = e2 /~c.  ñëó÷àå ïîïåðå÷íîé êàëèáðîâêè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ôîòîíà èìååò âèärA(k,λ) (r) =2π ikr (λ)e e .ω(4.20)Ïðèìåíÿÿ ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå ìû ìîæåì çàïèñàòü [79]rA(k,λ) =2π X l0i gl0 (ωr)(e(λ) , Yj∗0 l0 m0 (k))Yj0 l0 m0 (r) ,ω(4.21)j0 l0 m0ãäå gl0 (x) = 4πjl0 (x) è jl0 (x) ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè Áåññåëÿ, Yj0 l0 m0 âåêòîðíàÿ ñôåðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.Ñâÿçàííûé ýëåêòðîí õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîëíûì óãëîâûì ìîìåíòîì (jb ), åãîïðîåêöèåé (mb ) è ÷¼òíîñòüþ (lb ).
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà îáîçíà÷àåòñÿêàê ψmb .Íàëåòàþùèé ýëåêòðîí ïðèíàäëåæèò íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó óðàâíåíèÿÄèðàêà. Îí õàðàêòåðèçóåòñÿ èìïóëüñîì, (p), ýíåðãèåé () è ïîëÿðèçàöèåé122èëè ïðîåêöèåé ñïèíà (µ) è îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψpµ (r). Ýíåðãèÿ,èìïóëüñ è ìàññà ýëåêòðîíà (me ) ñâÿçàíû êàê 2 = p2 +m2e , ãäå p = |p|.
Óäîáíîââåñòè âîëíîâîé âåêòîð ýëåêòðîíà νp = p/|p|. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíàíîðìèðîâàíà êàêZd3 r ψp+0 µ0 (r)ψpµ (r) = (2π)3 δ 3 (p0 − p)δµ0 µ(4.22)(2π)3 0=δ( − )δ(cos θ0 − cos θ)δ(φ0 − φ)δµ0 µ , (4.23)pãäå íàáîð (p, θ, φ) ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð p â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ. Ýòàíîðìèðîâêà îòâå÷àåò óñëîâèþ: îäíà ÷àñòèöà â åäèíèöå îáú¼ìà.Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà ñ îïðåäåë¼ííûìè çíà÷åíèÿìè èìïóëüñà èïîëÿðèçàöèè ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ïî âîëíîâûì ôóíêöèÿì ýëåêòðîíà ñîïðåäåë¼ííûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà (j ), ÷¼òíîñòè (l) èïðîåêöèè ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà (m). Ýòè ôóíêöèè îáîçíà÷àþòñÿ êàêψjlm (r) è íîðìèðîâàíû êàêZd3 r ψ+0 j 0 l0 m0 (r)ψjlm (r) = δ(0 − )δj 0 j δl0 l δm0 m .(4.24)Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ìîæåì íàïèñàòüZψpµ (r) =dXapµ,jlm ψjlm (r) ,(4.25)jlmãäå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû apµ,jlm çàäàíû êàêZapµ,jlm =+d3 r ψjlm(r)ψpµ (r) .(4.26)Ââîäÿ êîåôôèöèåíòûµανp µ,jlm = (Ω+jlm (νp )v (νp )) ,(4.27)ãäå Ωjlm (νp ) ñôåðè÷åñêèé ñïèíîð è v µ (νp ) åäèíè÷íàÿ ñïèíîðíàÿ ôóíêöèÿ,ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû apµ,jlm ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå [27]apµ,jlmp(2π)3/2δ( − p2 + m2e )eiϕjl ανp µ,jlm ,= √p123(4.28)ãäå ôàçà ϕjl îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàëîì ÿäðà.
Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äëÿêîýôôèöèåíòîâ ανp µ,jlm âûãëÿäèò êàê [38]Xjlmαν∗ p 0 µ0 ,jlm αjlm,νp µ = δ(cos θ0 − cos θ)δ(φ0 − φ)δµ0 µ(4.29)èZ2d νpXαj∗0 l0 m0 ,νp µ ανp µ,jlm = δj 0 j δl0 l δm0 m .(4.30)µÒîãäà, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ajlm,pµ óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé íîðìàëèçàöèèZdXjlma∗p0 µ0 ,jlm ajlm,pµ = (2π)3 δ 3 (p − p0 )(4.31)èZd3 pXµa∗0 j 0 l0 m0 ,pµ apµ,jlm = (2π)3 δ( − 0 )δj 0 j δl0 l δm0 m .(4.32)Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïîëó÷àåìZ0d dZ2d νpXa∗0 j 0 l0 m0 ,pµ apµ,jlmµ(2π)3=δj 0 j δl0 l δm0 m .p(4.33)Êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ïðåäñòàâëåíî ôîòîíîì (k, λ) è îäíîêðàòíîâîçáóæä¼ííîé äâóõýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèåé (r) çàïèñàííîé â j j ñâÿçèΨr (r1 , r2 ) = ΨJr Mr nr1 jr1 lr1 nr2 jr2 lr2 (r1 , r2 ) ,(4.34)ãäåΨJM n1 j1 l1 n2 j2 l2 (r1 , r2 ) = NXj1 j2CJM(m1 , m2 )m1 m2×(ψn1 j1 l1 m1 (r1 )ψn2 j2 l2 m2 (r2 )−ψn2 j2 l2 m2 (r1 )ψn1 j1 l1 m1 ((nk r2 )) .124(4.35)Çäåñü J , M ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò äâóõýëåêòðîííîé ñèñòåìû è åãî ïðîåê-√öèÿ, íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà N ðàâíà 1/ 2 äëÿ íåèäåíòè÷íûõ è 1/2 èäåíj j1 2òè÷íûõ ýëåêòðîíîâ, CJM(m1 , m2 ) êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäîíà.
 îä-íîêðàòíî âîçáóæä¼ííîé êîíôèãóðàöèè îäèí èç ýëåêòðîíîâ åñòü 1s-ýëåêòðîí,äðóãîé 2s- èëè 2p-ýëåêòðîí (ìû íå ðàññìàòðèâàåì áîëåå âûñîêèå âîçáóæäåíèÿ).Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíî äâóìÿ ýëåêòðîíàìè: ñâÿçàííûé ýëåêòðîí è íàëåòàþùèé ýëåêòðîí. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äâóõýëåêòðîííàÿâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê1Ψpµmb (r1 , r2 ) = √ (ψpµ (r1 )ψmb (r2 ) − ψmb (r1 )ψpµ (r2 )) ,2(4.36)ãäå ôóíêöèè ψmb è ψpµ ñîáñòâåííûå âåêòîðà óðàâíåíèÿ Äèðàêà: ñâÿçàííûéýëåêòðîí ñ ïîëíûì óãëîâûì ìîìåíòîì jb , åãî ïðîåêöèåé mb è ÷¼òíîñòüþ lbè ýëåêòðîí ñ èìïóëüñîì è ïîëÿðèçàöèåé (p, µ), ñîîòâåòñòâåííî.
Âîëíîâàÿôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä ïî äâóõýëåêòðîííûì ôóíêöèÿì ñ îïðåäåë¼ííûì çíà÷åíèåì ïîëíîãî ìîìåíòà è åãî ïðîåêöèè (â j -j ñâÿçè)iniΨ=ZXJM j1 j2 l1 l2 n2(0)(0)dε hΨJM j1 j2 l1 l2 εn2 | Ψini i ΨJM j1 j2 l1 l2 εn2 .(4.37)Òð¼õýëåêòðîííûå ôóíêöèè îïðåäåë¼ííûì ïîëíûì óãëîâûì ìîìåíòîì (J )è åãî ïðîåêöèåé (M ) ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì(0)ΨJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 n3 j3 l3= NXm1 m2 m12 m3hj12 m12 j3 m3 |JM ihj1 m1 j2 m2 |j12 m12 i× det{ψn1 j1 l1 m1 , ψn2 j2 l2 m2 , ψn3 j3 l3 m3 } ,(4.38)√ãäå N íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà (ðàâíàÿ 1/ 12 äëÿ òð¼õýëåêòðîííûõ ñî-√ñòîÿíèé ñ äâóìÿ ýêâèâàëåíòíûìè ýëåêòðîíàìè è 1/ 6 äëÿ ñîñòîÿíèé áåçýêâèâàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
