Диссертация (1145426), страница 11
Текст из файла (страница 11)
 ðàìêàõ ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìû ìîæåì îñòàâèòü òîëüêî òå ÷ëåíû, êîòîðûå ñèíãóëÿðíû â ïîçèöèÿõ ðåçîíàíñà. Äèðàêîâñêèå ýíåðãèè εI1 , εI2 , εF1 , εF2 îòâå÷àþò ïîëîæèòåëüíî79ýíåðãåòè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì, ñëåäîâàòåëüíî, â ðàìêàõ ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìû ìîæåì îïóñòèòü âñå ÷ëåíû εu1 < 0, εd1 < 0, εn < 0, ÷òî ôèêñèðóåòçíàêè ìíèìûõ ÷àñòåé ïîëþñîâ â Óð. (3.33).Ïðèìåíÿÿ Óð. (3.32) ìû ìîæåì íàïèñàòü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî∆[ωu1 − εu1 (1 − i0)]−1 [ωd1 − εd1 (1 − i0)]−1 [ωn − εn (1 − i0)]−12π= ∆[EA0 + ω 0 − εu1 − εn ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εn ]−1 δ(EA0 + ω − ωd1 − εn )i+∆R .(3.39)Ìû ïðèìåíÿåì îáîçíà÷åíèå ∆R äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìåæäó ∆ îïðåäåëÿåìîåÓð. (3.34) è âåëè÷èíîé R îòâå÷àþùóþ òîëüêî òåì ÷ëåíàì, êîòîðûå ðåãóëÿðíû â ïîçèöèÿõ ðåçîíàíñîâ.
Ýòè ÷ëåíû ðåãóëÿðíû, ïîòîìó ÷òî ìíèìàÿ ÷àñòüïîëþñîâ âõîäèò ñ îäèíàêîâûìè çíàêàìè.Ìû ïðèìåíÿåì Óð. (3.39) äëÿ âû÷èñëåíèÿ Óð. (3.33). Äàëåå, ïðèìåíÿÿðåçîíàíñíîå ïðèáëèæåíèå â Óð. (3.33) âñå ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû R â (3.39) ìîãóòáûòü îòáðîøåíû è â ñóììèðîâàíèå ïî u1 , d1 , n îñòàþòñÿ òîëüêî òå ÷ëåíû,êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì(0)(3.40)(0)(3.41)εd1 + εn = EI = εI1 + εI2 ,εu1 + εn = EF = εF1 + εF2 .Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âêëàäà ôåéíìàíîâñêîãî ãðàôèêà Ðèñ.
3.5 (a) ìû ìîæåìçàïèñàòüS l = (−2πi)δ(ω − ω0 − ω 0 )(k ,λ )∗×TA+0 u1 n [EA0 + ω 0 − εu1 − εn ]−1 eAu10d1 0 [EA0 + ω − εd1 − εn ]−1 Td1 nA0 . (3.42)Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî u1 , d1 , n óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Óð. (3.40),(3.41), òàê ÷òî èíäåêñ d1 ïðîáåãàåò ïî I1 , I2 , èíäåêñ u1 ïðîáåãàåò ïî F1 , F2 èèíäåêñ n ïðîáåãàåò ïî I1 , I2 , F1 , F2 . Íåèñ÷åçàþùèé âêëàä ïîëó÷àåòñÿ òîëüêîåñëè I2 = F2 (îäíîêðàòíîå âîçáóæäåíèå).80Òàêèì æå îáðàçîì ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà Sìàòðèöû îòâå÷àþùåå ãðàôèêó Ðèñ.
3.5(b)S r = (−2πi)δ(ω − ω0 − ω 0 )(k ,λ )∗×TA+0 nu2 [EA0 + ω 0 − εn − εu2 ]−1 eAu20d2 0 [EA0 + ω − εn − εd2 ]−1 Tnd2 A0 ,(3.43)ãäå ñîñòîÿíèÿ u2 , d2 , n òåïåðü óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì(0)(3.44)(0)(3.45)εn + εd2 = EI ,εn + εu2 = EF .Ìîæíî óáåäèòüñÿ ÷òî ðåçóëüòàòû äëÿ ãðàôèêîâ Ðèñ. 3.5(a) è Ðèñ. 3.5(b)îäèíàêîâ, ò.å.Sl = Sr .(3.46)Ìû õîòèì ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèÿ Óð. (3.42), (3.43) â ôîðìå Óð. (3.3).Äëÿ ýòîãî ìû ðàññìîòðèì ãðàôèê, èçîáðàæ¼ííûé íà Ðèñ. 3.6.
Ïðÿìîóãîëüíèê Ξ ïðåäñòàâëÿåò ñëîæíóþ âåðøèíó, îïèñûâàþùóþ èçëó÷åíèå ôîòîíà ω0 .Ýòà âåðøèíà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäåΞ(xc1 , xc2 , xs1 , xs2 ) = Ξ(rc1 , rc2 , rs1 , rs2 )eitc1 ω0×δ(tc2 − tc1 )δ(ts1 − tc1 )δ(ts2 − tc1 ) .(3.47)Ôóíêöèÿ Ξ ïðåäñòàâëåíà â îáùåì âèäå, îäíàêî å¼ êîíêðåòíûé âèä åù¼ íåèçâåñòåí. Òðåáóÿ ÷òîáû ãðàôèêè â Ðèñ.
3.6 äàâèëèáû òàêîé æå âêëàä êàêãðàôèêè íà Ðèñ. 3.5 ìû ìîæåì âûâåñòè ýòó ôóíêöèþ. Ýëåìåíò S-ìàòðèöû,îòâå÷àþùèé Ðèñ. 3.6 èìååò âèä2S = (−i)Zd4 xu1 d4 xu2 d4 xc1 d4 xc2 d4 xs1 d4 xs2 d4 xd1 d4 xd2 dωu1 dωu2 dωd1 dωd20×Φ̄A0 (ru1 , ru2 )eitu1 (EA0 +ω ) δ(tu1 − tu2 )81×i X ψu1 (ru1 )ψ̄u1 (rc1 ) −iωu (tu −tc ) i X ψu2 (ru2 )ψ̄u2 (rc2 ) −iωu (tu −tc )111222ee2π u ωu1 − εu1 (1 − i0)2π u ωu2 − εu2 (1 − i0)12×(−i)Ξ(xc1 , xc2 , xs1 , xs2 )i X ψd1 (rs1 )ψ̄d1 (rd1 ) −iωd (ts −td ) i X ψd2 (rs2 )ψ̄d2 (rd2 ) −iωd (ts −td )111222ee×2πωd1 − εd1 (1 − i0)2πωd2 − εd2 (1 − i0)×ed1−itd1 (EA0 +ω)d2(3.48)δ(td1 − td2 )ΦA0 (rd1 , rd2 ) . íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ðàâåíñòâà (3.42) è (3.43) ñäåäóþò èçÓð. (3.48), åñëè ìû ïîëîæèì0 ,λ0 )∗Ξ(rc1 , rc2 , rs1 , rs2 ) = 2eγ µ1 A(k(rc1 )δ(rc1 − rs1 )δ(rc2 − rs2 ) .
(3.49)µ1Ðàññìîòðèì òåïåðü Óð. (3.48) ñ Ξ, îïðåäåëÿåìîé Óð. (3.47) è (3.49), ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåííûì ïåðåìåííûì ìû ïîëó÷àåìlr3S = S + S = (−i)i2π43(2π)Zdωu1 dωu2 dωd1 dωd2 ∆3.51(k ,λ )∗×TA+0 u1 u2 2eAu10d1 0 δu2 d2 Td1 d2 A0×[ωu1 − εu1 (1 − i0)]−1 [ωu2 − εu2 (1 − i0)]−1×[ωd1 − εd1 (1 − i0)]−1 [ωd2 − εd2 (1 − i0)]−1 ,(3.50)ãäå∆3.51 = δ(EA0 + ω 0 − ωu1 − ωu2 )δ(ωu1 + ωu2 + ω0 − ωd1 − ωd2 )×δ(ωd1 + ωd2 − EA0 − ω) ,(3.51)è δu2 d2 ñèìâîë Êðîíåêåðà. Ïðèìåíåíèå ðàâåíñòâ àíàëîãè÷íûõ Óð.
(3.32)äà¼ò∆3.51 [ωu1 − εu1 (1 − i0)]−1 [ωu2 − εu2 (1 − i0)]−1 [ωd1 − εd1 (1 − i0)]−1×[ωd2 − εd2 (1 − i0)]−1= ∆3.51 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1 22πδ(ωu2 − εu2 )δ(ωd2 − εd2 )×i+∆3.51 R .82(3.52)×ëåí ∆3.51 R îïÿòü ïîíèìàåòñÿ êàê âûøå, â Óð. (3.39), ò.å. êàê ñîêðàùåíèåäëÿ ðåãóëÿðíîé ÷àñòè.Âñòàâêà Óð. (3.52) â Óð. (3.50) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþS = (−2πi)δ(ω − ω0 − ω 0 )×TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1 Ξu1 u2 d1 d2[EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1 Td1 d2 A0 ,(3.53)ãäå(k ,λ )∗Ξu1 u2 d1 d2 = 2eAu10d1 0 δu2 d2 .(0)Ìû òàêæå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî EI(3.54)(0)= εd1 +εd2 , EF = εu1 +εu2 , èíà÷å, ýòîò ÷ëåíîòñóòñòâóåò.
Óð. (3.53) âìåñòå ñ Óð. (3.8) äà¼ò âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäûïðîöåññà Óð. (3.2). Ñ èñïîëüçîâàíèåì Óð. (3.4) ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿàìïëèòóäû ïåðåõîäà.  íóëåâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ñîáñòâåííûåôóíêöèè ΦI , ΦF äàþòñÿ êîìáèíàöèÿìè äèðàêîâñêèõ ôóíêöèé â j j ñâÿçè.Îñíîâíàÿ öåëü ýòîé ãëàâû áûëà ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà â ôîðìå ýêâèâàëåíòíîé Óð. (3.3). Ýòà ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà ïîìîæåò íàì ïðè èññëåäîâàíèè âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäîâ ìåæäóêâàçèâûðîæäåííûìè ñîñòîÿíèÿìè.3.3Äâóõýëåêòðîííûå èîíû: ïåðâûé ïîðÿäîê òåîðèèâîçìóùåíèé (îäíîôîòîííûé îáìåí)Òåïåðü ìû ïåðåéä¼ì ê ðàññìîòðåíèþ ïîïðàâîê ê âåðîÿòíîñòÿì ïåðåõîäîââ ñëåäóþùåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé è ðàññìîòðèì ïîïðàâêè íà îäíîôîòîííûé îáìåí.
Ýòè ïîïðàâêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ãðàôèêàìè íà Ðèñ. 3.7(a).83Ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò S-ìàòðèöû ìîæåò áûòü çàïèñàí êàê2ZS = (−i)d4 x1 d4 x2 d4 xu1 d4 xu2 d4 xc1 d4 xd1 d4 xd2 dωu1 dωu2 dωd1 dωd2 dωn dΩ0×Φ̄A0 (ru1 , ru2 )eitu1 (EA0 +ω ) δ(tu1 − tu2 )i X ψu1 (ru1 )ψ̄u1 (rc1 ) −iωu (tu −t1 ) i X ψu2 (ru2 )ψ̄u2 (r2 ) −iωu (tu −t2 )1122×ee2π u ωu1 − εu1 (1 − i0)2π u ωu2 − εu2 (1 − i0)12X ψn (rc )ψ̄n (r1 )1µc1 (k0 ,λ0 )∗iω0 tc1 ie−iωn (t1 −t2 )×(−ie)γ Aµc1(rc1 )e2π n ωn − εn (1 − i0)i×(−ie)2 γ µ1 γ µ2 Iµ2 µ3 (|Ω|, r12 )e−iΩ(t1 −t2 )2πXiψd1 (r1 )ψ̄d1 (rd1 ) −iωd (t1 −td ) i X ψd2 (r2 )ψ̄d2 (rd2 ) −iωd (t2 −td )1122×ee2πωd1 − εd1 (1 − i0)2πωd2 − εd2 (1 − i0)×ed1−itd1 (EA0 +ω)d2δ(td1 − td2 )ΦA0 (rd1 , rd2 ) ,(3.55)ãäå r12 = |r1 − r2 | è âûðàæåíèå äëÿ Iµ1 µ2 (|Ω|, r12 ) ≡ Iµc,t1 µ2 (|Ω|, r12 ) â êóëîíîâñêîé êàëèáðîâêå èìååò âèäδµ1 0 δµ2 0,r12∂∂ 1 1 − eiΩr12δµ1 µ2 iΩr12tIµ1 µ2 (Ω, r12 ) = −e+ µ1 µ2r12∂x1 ∂x2 r12Ω2×(1 − δµ1 0 )(1 − δµ2 0 )Iµc 1 µ2 (Ω, r12 ) =(3.56)(3.57), â ôåéíìàíîâñêîé êàëèáðîâêå îíî âûãëÿäèò êàêIµ1 µ2 (Ω, r12 ) =gµ1 µ2 iΩr12e.r12(3.58)Ìû áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâIac,t0 b0 ab (Ω)Z=d3 r1 d3 r2 ψ̄a0 (r1 )ψ̄b0 (r2 )γ1µ1 γ2µ2 Iµc,t1 µ2 (Ω, r12 )ψa (r1 )ψb (r2 ) .
(3.59) Óð. (3.55) îïÿòü äîïîëíèòåëüíûé ýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð áûë èñêóññòâåííî âñòàâëåí ñ òîé æå öåëüþ, ÷òî è â ïðåäûäóùåé ãëàâå.84Èíòåãðèðîâàíèå ïî ïåðåìåííûì â Óð. (3.55) äà¼òi2π6S = (−i)5(2π)5Z× d3 r1 d3 r2 d3 ru1 d3 ru2 d3 rc1 d3 rd1 d3 rd2 dωu1 dωu2 dωd1 dωd2 dωn dΩ×Φ̄A0 (ru1 , ru2 ) ∆3.61X ψu (ru )ψ̄u (rc ) X ψu (ru )ψ̄u (r2 )2221111×ωu1 − εu1 (1 − i0) u ωu2 − εu2 (1 − i0)u21X ψn (rc )ψ̄n (r1 )1e2 γ µ1 γ µ2 Iµ1 µ2 (|Ω|, r12 )ω−ε(1−i0)nnnX ψd (r1 )ψ̄d (rd ) X ψd (r2 )ψ̄d (rd )112122×ΦA (rd , rd ) ,(3.60)ωd1 − εd1 (1 − i0)ωd2 − εd2 (1 − i0) 0 1 20 ,λ0 )∗×eγ µc1 A(k(rc1 )µc1d1d2ãäå∆3.61 = δ(EA0 + ω 0 − ωu1 − ωu2 )δ(ωu1 + ω0 − ωn )δ(ωn − Ω − ωd1 )×δ(ωu2 + Ω − ωd2 )δ(−EA0 − ω + ωd1 + ωd2 ) .(3.61)Ñîîòâåòñòâåííî, â Óð.
(3.60) ìû ìîæåì ïîëîæèòüωu1 = EA0 + ω 0 − ωu2 ,(3.62)ωd1 = EA0 + ω − ωd2 ,(3.63)ωn = EA0 + ω − ωu2 .(3.64)Èññëåäóÿ ïîëîæåíèÿ ðåçîíàíñîâ îêîëî(0)(3.65)(0)(3.66)ω 0 = −EA0 + EF ,ω = −EA0 + EI ,ìû ìîæåì âûäåëèòü òå ÷ëåíû â Óð. (3.60), êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ ñèíãóëÿðíûìè îêîëî ýòèõ ðåçîíàíñîâ, ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ (ñðàâíèòå ñÓð. (3.32))∆3.61 [ωu1 − εu1 (1 − i0)]−1 [ωu2 − εu2 (1 − i0)]−1 [ωn − εn (1 − i0)]−185×[ωd1 − εd1 (1 − i0)]−1 [ωd2 − εd2 (1 − i0)]−12π= ∆3.61 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1 δ(ωu2 − εu2 )[EA0 + ω − εn − εu2 ]−1i2πδ(ωd2 − εd2 )[EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1×i−1−1−[EA0 + ω − ωd2 − εd1 (1 − i0)] [−ωd2 + εd2 + i0εd2 ]+ ∆3.61 R .(3.67)Çäåñü R ïðåäñòàâëÿåò ÷ëåíû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè âáëèçè ðåçîíàíñîâ, îïðåäåëÿåìûõ Óð.
(3.65) è (3.66). Ïåðâûé ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõèìååò ñèíãóëÿðíîñòü (îêîëî ðåçîíàíñà Óð. (3.66)) èëè â ñëó÷àå εd1 + εd2 =(0)(0)EI , èëè â ñëó÷àå εn + εu2 = EI . Âòîðîé ÷ëåí ñòàíîâèòñÿ ñèíãóëÿðíûìòîëüêî âî âòîðîì ñëó÷àå.Ââîäÿ ïåðåìåííóþx = ωd2 − εu2(3.68)ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ýëåìåíò S-ìàòðèöû S ld , îòâå÷àþùèé ôåéíìàíîâñêîìóãðàôèêó Ðèñ.
3.7 (a) â ôîðìåS ld = (−2πi)δ(ω 0 + ω0 − ω)×TA+0 u1 u2 [EA0 + ω 0 − εu1 − εu2 ]−1X0 ,λ0 )∗eA(ku1 nn× e2 Inu2 d1 d2 (|εd2 − εu2 |)[EA0 + ω − εn − εu2 ]−1 [EA0 + ω − εd1 − εd2 ]−1Z2 idx Inu2 d1 d2 (|x|)[x − εd2 + εu2 − i0εd2 ]−1−e2π× [x − EA0 − ω + εd1 + εu2 − i0εd1 ]−1 [EA0 + ω − εn − εu2 ]−1(3.69)×Td1 d2 A0 .Ïåðâûé ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ èìååò îáû÷íî ïðîñòûå ïîëþñà â äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ èëè èìååò ñèíãóëÿðíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà, åñëè ýòè òî÷êèñîâïàäàþò. Ýòîò ÷ëåí ïðåäñòàâëÿåò ïåðâûé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ86ñèè, ïîñòðîåííûé äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ I (ñì. [29]). Ñóììèðîâàíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðèâîäèò ê ñäâèãó â ïîçèöèè ðåçîíàíñà, îòâå÷àþùåìó íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ, è, ñîîòâåòñòâåííî, ê ïîïðàâêå ê ñîáñòâåííîìóâåêòîðó, îïèñûâàþùåìó íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå (ΨI ) (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
