Диссертация (1145426), страница 6
Текст из файла (страница 6)
, N . ×ëåíû â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â Óð. (2.40) ìîãóò áûòü çàïèñàíûêàê11+ω − ω 0 + 2(N + 1)iλa −ω + ω 0 + 2(N + 1)iλa"#111=+ω−ω 0ω−ω 02(N + 1) 2(N−+iλa2(N +1) + iλa +1) 2πω − ω02π1δ=δ(ω − ω 0 ) .=2(N + 1)i2(N + 1)i(2.41)(2.42)Ìû îãðàíè÷èì ñåáÿ ñëó÷àåì, êîãäà εdk = εa0 äëÿ êàæäîãî k = 1, . . . , N(âû÷èñëåíèÿ äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà íåêîòîðûå èç εdk 6= εa0 ìîæíî ïðîâåñòè ïîàíàëîãèè).
Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì íàïèñàòü Óð. (2.40) asF =2πi2N +11(εa0 − εsN − ΩN + i0) · · · (εa0 − εsN −k − ΩN −k + i0) · · ·1×· · · (εa0 − εs1 − Ω1 + i0)N11×2iλaN!1×ω + εa0 − εn + (2N + 1)iλa 2π×δ(ω − ω 0 ) + Rλa .(2.43)i×37Ïðèìåíÿÿ Óð. (2.43) ìû ìîæåì çàïèñàòü Óð.
(2.36) êàê(0,N )Sλa= (−2πi)δ(ω − ω 0 )e2×Xn(k 0 ,λ0 )∗ (k,λ)Aa0 n Ana01(ω + εa0 − εn + (2N + 1)iλa ) N !Σ̂a0 a0 (εa0 )2iλa!N(2.44)+Rλa ,Ïðèìåíÿÿ àñèìïòîòè÷åñêîå (λa → +0) ðàâåíñòâî∞XN =01(x + N iλa )N !∆iλaN ∆1exp=,x+∆iλa(2.45)ãäå |x| > |∆| ìû ìîæåì çàïèñàòü∞XN =0(0,N )Sλa ,N= (−2πi)δ(ω − ω 0 )e2(k 0 ,λ0 )∗ (k,λ)Aa0 n Ana0"×Xn ω + εa0 + Σ̂a0 a0 (εa0 ) − εn!Σ̂a0 a0 (εa0 ).× exp2iλa(2.46)#+ Rλa(2.47)Õîòÿ óñëîâèå |x| > |∆| íåîáõîäèìî äëÿ ïðèìåíåíèÿ Óð. (2.45), ìû ïðèìåíÿåì Óð. (2.45) äëÿ Óð. (2.44) ïðè ëþáûõ ω . Ýòî ìîæíî ðàññìàòðèâàòüêàê àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå Óð. (2.44) â îáëàñòü îêîëî ðåçîíàíñîâ, è,ñëåäîâàòåëüíî, íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü (ω ).
Ýòî àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå èññëåäîâàëîñü â [28].Åñëè ìû áóäåì âñòàâëÿòü îïåðàòîð ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â âåðõíèå (Nuøòóê âñòàâîê) è íèæíèå (Nd øòóê âñòàâîê) âíåøíèå ëèíèè, ïîõîæèå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäóò ê âûðàæåíèþ(N ,Nd )Sλa u= (−2πi)δ(ω − ω 0 )e2!Nu1Σ̂a0 a0 (εa0 )×Nu !2iλa38×Xn(k 0 ,λ0 )∗ (k,λ)Aa0 n Ana01(ω + εa0 − εn + (2N + 1)iλa ) Nd !+Rλa ,Σ̂a0 a0 (εa0 )2iλa!Nd(2.48)Çíà÷åíèå N â çíàìåíàòåëå ìîæåò áûòü ïîëîæåíî ðàâíûì Nu èëè Nd áåçèçìåíåíèÿ êîíå÷íîãî ðåçóëüòàòà, òàê êàê îíî âëèÿåò òîëüêî íà ÷ëåíû Rλa ,êîòîðûå èñ÷åçàþò â àñèìïòîòèêå (λa → +0). Îêîí÷àòåëüíî, ìû ïîëó÷àåìSλa =∞X(N ,Nd )Sλa u(2.49)Nu ,Nd =0= (−2πi)δ(ω − ω 0 )e2(k 0 ,λ0 )∗ (k,λ)XAa0 n Ana0×n ω + εa0 + Σ̂a0 a0 (εa0 ) − εn!Σ̂a0 a0 (εa0 )× exp.iλa(2.50)(2.51)Òàê êàê ïåðåíîðìèðîâàííûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ñîáñòâåííîé ýíåðãèèäëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (a0 ) ÷èñòî âåùåñòâåííûé, ìîäóëü ýêñïîíåíòû âÓð. (2.51) èìååò âèäexp!Σ̂a0 a0 (εa0 ) = 1.iλa(2.52)Òàêèì îáðàçîì, ìîäóëü àìïëèòóäû äà¼òñÿ âûðàæåíèåìX A(k0 ,λ0 )∗ A(k,λ) a0 nna0 |U | = e2 .ω+−εan0n(2.53)Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåíîðìèðîâàííîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â çíàìåíàòåëåÿâëÿåòñÿ ïîïðàâêîé ê ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ: a0 = εa0 + Σ̂a0 a0 (εa0 ). Óð.
(2.43) ìû ðàññìàòðèâàëè òîëüêî ñëó÷àé εdk = εa0 äëÿ âñåõ k =1, . . . , N . Ñëó÷àè êîãäà íåêîòîðûå èç εdk 6= εa0 îòâå÷àþò âñòàâêàì âòîðîãîè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ïîïðàâîê íà ñîáñòâåííóþ ýíåðãèþ òèïà loopafter-loop. Ñëó÷àé êîãäà âñå εdk 6= εa0 äà¼ò ïîïðàâêó ê âîëíîâîé ôóíêöèèîñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ a0 .39Ïðåäñòàâëåííûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðèìåíåíèå àäèàáàòè÷åñêîé òåîðèè ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü âñòàâêè âî âíåøíèå ëèíèè â ðàìêàõìåòîäà êîíòóðà ëèíèè.
Ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿêàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, âêëþ÷àþùàÿ â ñåáÿ âñå ïîïðàâêè.Ìû õîòåëè áû åù¼ îòìåòèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå àäèàáàòè÷åñêîãî ïîäõîäàáûëî ñäåëàíî äëÿ îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè. Ôîðìàëüíî, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ìîæåò áûòü èññëåäîâàíî â ðàìêàõ ìàòðè÷íîãî ôîðìàëèçìà,ïðèìåíÿåìîãî â ìåòîäå êîíòóðà ëèíèè äëÿ âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé.402.2Ìåòîäêîíòóðàëèíèèäëÿìíîãîýëåêòðîííûõèîíîâ. Ñëó÷àé íåâûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèéÐàññìîòðèì ïðîöåññ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà äâóõýëåêòðîííîì èîíå,èçíà÷àëüíî íàõîäÿùèìñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè N0 .
Îñíîâíîå ñîñòîÿíèÿ àòîìîâ èëè èîíîâ (ñòàáèëüíûå ñîñòîÿíèÿ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîñòàâíóþ÷àñòèöó, êîòîðîé íà ôåéíìàíîâñêèõ ãðàôèêàõ íàäî ñîïîñòàâèòü âåðøèíó,îïèñûâàþùóþ ïåðåõîä ýòîé ÷àñòèöû â N âèðòóàëüíûõ ýëåêòðîíîâ [32]. Ýòàâåðøèíà ïîëíîñòüþ ó÷èòûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ, îáðàçóþùèõ ñîñòàâíóþ ÷àñòèöó, è ãðàôèêè, îïèñûâàþùèå äîïîëíèòåëüíîå âçàèìîäåéñòâèåýòèõ ýëåêòðîíîâ, ðàññìàòðèâàòü íå ñëåäóåò. Ïðîñòåéøèé ïðîöåññ ðàññåÿíèÿèçîáðàæåí íà Ðèñ. 2.8. Àíàëîã ôîðìóëû (2.9) äëÿ äâóõýëåêòðîííîãî èîíàáóäåò èìåòü âèä(2)SN022Z= (−ie) (2π)d3 ru1 d3 ru2 d3 rd1 d3 rd2 dωn1 dωn2 Φ̄N0 (ru1 , ru2 )(2.54)×δ(ωn1 + ωn2 − EN0 − ω 0 )i X ψn1 (ru1 )ψ̄n1 (rd1 ) i X ψn2 (ru2 )ψ̄n2 (rd2 )×2π n ωn1 − n1 (1 − i0) 2π n ωn2 − n2 (1 − i0)12×δ(EN0 + ω − ωn1 − ωn2 )ΦN0 (rd1 , rd2 ) .Ôóíêöèÿ ΦN0 (r1 , r2 ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôóíêöèÿ âåðøèíû.Ðàññìîòðèì òîæäåñòâî11(ωn1 − n1 (1 − i0)) (ωn2 − n2 (1 − i0))2πδ(ωn1 − n1 )=i (ωn1 + ωn2 − n1 − n2 + i0n1 + i0n2 )−1+(−ωn1 + n1 + i0n1 ))(ωn2 − n2 (1 − i0))(2.55).Ïðè ïîäñòàíîâêå (2.55) â (2.54) âòîðîé ÷ëåí ýòîãî òîæäåñòâà îïèñûâàåò ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå â âåðøèíå ΦN0 (r1 , r2 ) è, ïîýòîìó, åãî íàäî41áóäåò îòáðîñèòü.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (2.54) ïðèìåò âèä(2)SN022Zd3 ru1 d3 ru2 d3 rd1 d3 rd2 dωn1 dωn2 Φ̄N0 (ru1 , ru2 )(2.56)= (−ie) (2π)×δ(ωn1 + ωn2 − EN0 − ω 0 )δ(ωn1 − n1 )i X ψn1 (ru1 )ψ̄n1 (rd1 )ψn2 (ru2 )ψ̄n2 (rd2 )×2π n ,n(ωn1 + ωn2 − n1 − n2 )12×δ(EN0 + ω − ωn1 − ωn2 )ΦN0 (rd1 , rd2 ) .Ââîäÿ îáîçíà÷åíèåZTn1 n2 N0 = (−e)d3 r1 d3 r2 ψ̄n1 (r1 )ψ̄n2 (r2 )ΦN0 (r1 , r2 ) ,(2.57)àìïëèòóäà ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ èìååò âèä(2)UN0=Xn1 n2TN∗ 0 n1 n2 Tn1 n2 N0.ω − n1 − n2 + EN0(2.58)Ìû áóäåì èñêàòü ïîëîæåíèå ðåçîíàíñà îêîëî ω res = E (0) − EN0 + O(α), ãäåE (0) = a + b ýíåðãèÿ äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåêòðîíîâ.
 ðàìêàõðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìû äîëæíû îñòàâèòü â ñóììå òîëüêî ÷ëåíû äëÿêîòîðûõ n1 + n2 = E (0) . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé íåâûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèé, àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè áóäåòèìåòü âèä(2)UN0=Xn1 +n2 =ETN∗ 0 n1 n2 Tn1 n2 N0= T + D−1 T ,(0)ω − E + EN0(0)(2.59)ãäå ââåäåíû ìàòðèöû T , D−1 è ñóììèðîâàíèå èä¼ò òîëüêî ïî n1 +n2 = E (0) :(T )n1 n2 = Tn1 n2 N0Dn1 n2 = ω − V (0) + EN0V (0) = E (0) .Ôóíêöèÿ T , îïðåäåëÿåò ïðèðîäó ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ.42(2.60)(2.61)(2.62)Óäîáíî ââåñòè ôóíêöèþΦN0 (t1 , r1 , t2 , r2 ) = ΦN0 (r1 , r2 )e−it1 (EN0 +ω) δ(t1 − t2 ) ,(2.63)ãäå EN0 ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ è ω ÷àñòîòà ïîãëîùåííîãî ôîòîíà. ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå,ïðåäñòàâëåíî ãðàôèêîì íà Ðèñ.
2.9. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âêëàäà ýòîãî ãðàôèêàâ àìïëèòóäó ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ íàäî ðàññìîòðåòü ãðàôèê Ðèñ. 2.10.(2)SN0= (−ie)4Zd4 x1 d4 x2 dΩ d4 xu1 . . . dωu1 . . .(2.64)0×Φ̄N0 (ru1 , ru2 )eitu1 (EN0 +ω ) δ(tu1 − tu2 )i X ψu1 (ru1 )ψ̄u1 (r1 ) i X ψu2 (ru2 )ψ̄u2 (r2 )×2π u ωu1 − u1 (1 − i0) 2π u ωu2 − u2 (1 − i0)1×e2−iωu1 (tu1 −t1 ) −iωu2 (tu2 −t2 ) −iωd1 (t1 −td1 ) −iωd2 (t2 −td2 )eeei X ψd1 (r1 )ψ̄d1 (rd1 ) i X ψd2 (r2 )ψ̄d2 (rd2 )×2πωd1 − d1 (1 − i0) 2πωd2 − d2 (1 − i0)d1d2iIµ1 µ2 (|Ω|, r12 )e−iΩ(t1 −t2 )2π×e−itd1 (EN0 +ω) δ(td1 − td2 )ΦN0 (rd1 , rd2 ) ,×ãäå Iµ1 µ2 (Ω, r12 ) îïðåäåëåíî â (2.15).
Ïðèìåíÿÿ òîæäåñòâî (2.55) è îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåéñòâèå â ΦN0 , (ò.å. îñòàâëÿÿ òîëüêî ÷ëåíûñ äåëüòà-ôóíêöèåé), ïîëó÷èì(2)SN0 = −2πiδ(ω − ω 0 )U (4)= −2πiδ(ω − ω 0 )X×TN+0 u1 u2u1 u2 d1 d22(2.65)(2.66)1EN0 + ω − u1 − u2×e I(| − d1 + u1 |)u1 u2 d1 d21×Td d N .EN0 + ω − d1 − d2 1 2 0 ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè â ñóììå íàäî îñòàâèòü òîëüêî ÷ëåíû u1 + u2 =d1 + d2 = E (0) .43Äëÿ ó÷åòà äâóõôîòîííîãî îáìåíà íàäî ðàññìîòðåòü ãðàôèêè ðèñ.
2.11.Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì box ãðàôèêà: ðèñ. 2.11(a).(2)SN06Z= (−ie)d4 x1 d4 x2 d4 x3 d4 x4 dΩdΞ d4 xu1 . . . dωu1 . . .0×Φ̄N0 (ru1 , ru2 )eitu1 (EN0 +ω ) δ(tu1 − tu2 )i X ψu1 (ru1 )ψ̄u1 (r3 ) i X ψu2 (ru2 )ψ̄u2 (r4 )×2π u ωu1 − u1 (1 − i0) 2π u ωu2 − u2 (1 − i0)12×e−iωu1 (tu1 −t3 ) e−iωu2 (tu2 −t4 ) e−iωn1 (t3 −t1 ) e−iωn2 (t4 −t2 )i X ψn1 (r3 )ψ̄n1 (r1 ) i X ψn2 (r4 )ψ̄n2 (r2 )×2π n ωn1 − n1 (1 − i0) 2π n ωn2 − n2 (1 − i0)12−iωd1 (t1 −td1 ) −iωd2 (t2 −td2 )×eei X ψd1 (r1 )ψ̄d1 (rd1 ) i X ψd2 (r2 )ψ̄d2 (rd2 )×2πωd1 − d1 (1 − i0) 2πωd2 − d2 (1 − i0)d1d2iiIµ1 µ2 (|Ξ|, r12 )e−iΞ(t1 −t2 ) Iµ3 µ4 (|Ω|, r34 )e−iΩ(t3 −t4 )2π2π−itd1 (EN0 +ω)×eδ(td1 − td2 )ΦN0 (rd1 , rd2 ) ,×(2.67)Ïðèìåíÿÿ òîæäåñòâî (2.55) è îòáðàñûâàÿ ÷ëåíû, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåéñòâèå â ΦN0 , (ò.å.
îñòàâëÿÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ äåëüòà-ôóíêöèåé â ñóììèðîâàíèèïî u1 u2 è d1 d2 ), ïîëó÷èì(2)SN0 = −2πiδ(ω − ω 0 )U (6)= −2πiδ(ω − ω 0 )X×TN+0 u1 u2u u d d1 2 1 2X Z×e4 dΩn1 n2×1EN0 + ω − u1 − u2I(|Ω|)u1 u2 n1 n2 I(| − Ω − d1 + u1 |)n1 n2 d1 d2(−Ω + u1 − n1 (1 − i0))(EN0 + ω + Ω − u1 − n2 (1 − i0))1Td d N .EN0 + ω − d1 − d2 1 2 0(2.68) ðåçîíàíñíîì ïðèáëèæåíèè â ñóììå ïî u1 u2 d1 d2 íàäî îñòàâèòü òîëüêî ÷ëåíû u1 + u2 = d1 + d2 = E (0) .Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ññûëî÷íûå ñîñòîÿíèÿ: n1 + n2 = E (0) .
Ñïðàâåäëèâî44ñëåäóþùåå òîæäåñòâî1=(−Ω + u1 − n1 (1 − i0))(EN0 + ω + Ω − u1 − n2 (1 − i0))2π δ(Ω − u1 + n1 )=i (EN0 + ω − n1 − n2 )−1=+(2.69).(Ω − u1 + n1 + n1 i0)(EN0 + ω + Ω − u1 − n2 (1 − i0))Ïîäñòàâèâ åãî â ôîðìóëó (2.68), âèäíî, ÷òî ÷ëåí ñ äåëüòà-ôóíêöèåé äëÿ n1 +n2 = E (0) ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ÷ëåíîì ïðîãðåññèè äëÿ ãðàôèêà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
