Диссертация (1145426), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.2,ìîãóò áûòü ïðåîáðàçîâàíû â ôàçîâûé ìíîæèòåëü ñëåäóþùèì îáðàçîìSλa = (−2πi)δ(ω 0 − ω)U expΣ̂a0 a0 (εa0 )iλa!.(2.27)Ýòî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàâåíñòâî (λa → +0). Çàâèñèìîñòü îò àäèàáàòè÷åñêîãî ïàðàìåòðà λa íàõîäèòñÿ â ýêñïîíåíòå. Çäåñü àìïëèòóäà U îòëè÷àåòñÿ îòÓð. (2.12) çàìåíîé εa0 íà a0 = εa0 + Σ̂a0 a0 (εa0 ), ãäå Σ̂a0 a0 (εa0 ) äèàãîíàëüíûéýëåìåíò ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé.  ñëó÷àå îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ýòîò ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âåùåñòâåííûé,ñîîòâåòñòâåííî, ýòîò ôàçîâûé ìíîæèòåëü íå äà¼ò âêëàäà â àáñîëþòíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû, îïðåäåë¼ííîé Óð. (2.11), è, ñëåäîâàòåëüíî â êîíòóð ëèíèè.Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â êîíöå ýòîé ãëàâû.Ýòî äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü ïîâòîðåíî äëÿ ëþáîé âñòàâêè QED ïîïðàâîê ëþáîãî ïîðÿäêà.
Ýòîò ðåçóëüòàò îïðàâäûâàåò èñïîëüçîâàíèå ýíåðãèèa0 (ñ ÊÝÄ ïîïðàâêàìè) âìåñòî εa0 â Óð. (2.19). Îñòàëüíûå êîíå÷íûå âêëàäûîò âñåõ âñòàâîê âî âíåøíèå ëèíèè ïðåäñòàâëÿþò ÊÝÄ ïîïðàâêè ê âíåøíèìâîëíîâûì ôóíêöèÿì. Áîëåå òîãî, ýòî äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü ïîâòîðåíîäëÿ èîíîâ ñ íåñêîëüêèìè ýëåêòðîíàìè.  ýòîì ñëó÷àå â îñíîâíîì ñîñòî30ÿíèè áóäóò ó÷òåíû íå òîëüêî ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè, íî è ïîïðàâêè íàìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ñóùåñòâîâàíèÿS-ìàòðèöû äëÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ, èçîáðàæ¼ííîãî íà Ðèñ. 2.2, äëÿ ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü ðåøåíà â êàæäîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé.Ñåé÷àñ ìû ïåðåéä¼ì ê íàèáîëåå îáùåé ôîðìóëèðîâêå ìåòîäà êîíòóðàëèíèè. Ìû áóäåì ôîðìóëèðîâàòü ìåòîä êîíòóðà ëèíèè â òåðìèíàõ ìàòðèö,÷òî ïîçâîëèò ðàñïðîñòðàíèòü ìåòîä êîíòóðà ëèíèè íà ñëó÷àé êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé. Ýòà ôîðìóëèðîâêà òàêæå íàèáîëåå óäîáíà äëÿ ïðèìåíåíèÿìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà.Çàïèøåì àìïëèòóäó ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ Óð.
(2.19) â âèäåU = T+1T,D(ω)(2.28)ãäå ìàòðèöà T îïèñûâàþò ïîãëîùåíèå ôîòîíà ýëåêòðîíîì â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè a0 ñ âîçáóæäåíèåì â ðåçîíàíñíîå (ïðîìåæóòî÷íîå) ñîñòîÿíèå a. Ìàòðèöà T + îïèñûâàåò èçëó÷åíèå ôîòîíà ñ ïåðåõîäîì a → a0 . Äèàãîíàëüíàÿìàòðèöà D(ω) îïðåäåëåíà êàêD(ω) = ω + a0 − V (0) ,(2.29)ãäå ω ÷àñòîòà ôîòîíà.
Óñëîâèå ðåçîíàíñà èìååò âèäω res = −a0 + εa ,(2.30)ãäå a0 ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, εa äèðàêîâñêàÿ ýíåðãèÿ âîçáóæä¼ííîãî ñîñòîÿíèÿ a. Ýíåðãèÿ a0 íå îáÿçàòåëüíî ðàâíà äèðàêîâñêîé ýíåðãèè,îíà ìîæåò òàêæå, íàïðèìåð, âêëþ÷àòü ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè.  Óð. (2.29)äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà D(ω) âêëþ÷àåò â ñåáÿV (0) = εa .31(2.31)Ìû èñïîëüçóåì ìàòðè÷íûé ïîäõîä äëÿ îïèñàíèÿ îäíîôîòîííîé àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ (2.28) íà îäíîýëåêòðîííîì èîíå äëÿ ïîñëåäóþùåãî îáîáùåíèÿ ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ êâàçèâûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèéâ äâóõýëåêòðîííûõ èîíàõ. Ýòà àìïëèòóäà îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ôåéíìàíîâñêèì ãðàôèêîì Ðèñ. 2.4. Íà ýòîì ãðàôèêå ìû îáîçíà÷àåì âçàèìîäåéñòâèåôîòîíà ñ îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì ñ ïîìîùüþ ïðÿìîóãîëüíèêà, íàìåðåíî îïóñêàåì âíåøíèå ýëåêòðîííûå ëèíèè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âñå ïîïðàâêè ê âîëíîâîéôóíêöèè è ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ óæå âêëþ÷åíû.Ñëåäóþùèé øàã ýòî âêëþ÷åíèå âñòàâîê ñîáñòâåííîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíàâî âíóòðåííþþ ýëåêòðîííóþ ëèíèþ â ðàìêàõ ðåçîíàíñíîãî ïðèáëèæåíèÿ(ñì.
Ðèñ. 2.5). Ñîîòâåòñòâóþùàÿ àìïëèòóäà èìååò âèä [29]U = T+11Σ̂(ω + a0 )T,D(ω)D(ω)(2.32)ãäå Σ̂ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, îòâå÷àþùàÿ ïåðåíîðìèðîâàííîé ñîáñòâåííîéýíåðãèè ýëåêòðîíà.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âêëàä ýòîé ìàòðèöû ñâîäèòñÿê âêëàäó äèàãîíàëüíîãî ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà, îòâå÷àþùåìó ñîñòîÿíèþ a.Ïðîäîëæàÿ äåëàòü âñòàâêè ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âî âíóòðåííþþ ýëåêòðîííóþ ëèíèþ Ðèñ. 2.4 è ñóììèðóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, ìû ïîëó÷àåìU = T+1T,D(ω) − ∆V (ω)(2.33)ãäå ∆V (ω) = Σ̂(ω + a0 ).
Âû÷èñëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòà îäíîïåòëåâîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè ïðè ω = ω res ïðèâîäèò ê Óð. (2.23).Óð. (2.33) èëëþñòðèðóåò èäåþ ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè: ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ýíåðãèè ïîÿâëÿþòñÿ êàê ñäâèãè ÷àñòîòû ðåçîíàíñà èç-çà ðàçëè÷íûõ âñòàâîê âî âíóòðåííèå ýëåêòðîííûå ëèíèè â Ðèñ. 2.4 â ðåçîíàíñíîìïðèáëèæåíèè. Ãðàôè÷åñêè Óð. (2.33) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ôåéíìàíîâñêèì ãðàôèêîì Ðèñ. 2.6. Âìåñòî ïîïðàâêè Σ̂ â ïðÿìîóãîëüíèêå íà ãðàôèêå32Ðèñ. 2.6 ëþáàÿ íåïðèâîäèìàÿ ïîïðàâêà ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíà; ñîîòâåòñòâóþùèé ñäâèã â ýíåðãèþ áóäåò ïîÿâëÿòüñÿ êàê ñäâèã â ÷àñòîòå ðåçîíàíñàâ Óð.
(2.33). ðàáîòàõ [2931] ìåòîä êîíòóðà ëèíèè áûë îáîáù¼í íà ñëó÷àé èîíîâñ íåñêîëüêèìè ýëåêòðîíàìè, â ÷àñòíîñòè äëÿ êâàçèâûðîæäåííûõ óðîâíåé.Áûëî ïðåäñòàâëåíî ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ îïèñàíèÿ äâóõè òð¼õýëåêòðîííûõ èîíîâ.2.1.1Àäèàáàòè÷åñêàÿ S-ìàòðèöàÀäèàáàòè÷åñêàÿ S-ìàòðèöà ýòî ìîäèôèöèðîâàííàÿ îáû÷íàÿ S-ìàòðèöà,àäèàáàòè÷åñêèé ìíîæèòåëü e−λa |t| äîáàâëåí â êàæäóþ âåðøèíó. Àäèàáàòè÷åñêèé ïàðàìåòð λa â êîíöå ðàñ÷¼òà óñòðåìëÿåòñÿ ê íóëþ (λa → +0). Ïðèñóòñòâèå àäèàáàòè÷åñêîé ýêñïîíåíòû âûêëþ÷àåò âçàèìîäåéñòâèå ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì íà áåñêîíå÷íûõ âðåìåíàõ t = ±∞.  ýòîé ãëàâå ìû ïîêàæåì,÷òî ñèíãóëÿðíîñòè, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â îáû÷íîé S-ìàòðèöå ïîñëå ó÷¼òàâñòàâîê âî âíåøíèå ëèíèè ôåéíìàíîâñêèõ ãðàôèêîâ, ïîëíîñòüþ èñ÷åçàþò âàäèàáàòè÷åñêîé S-ìàòðèöå.Çäåñü ìû ðàññìîòðèì îäíîýëåêòðîííûå èîíû è âñòàâêè îïåðàòîðà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè âî âíåøíèå ëèíèè.
 íèçøåì ïîðÿäêå ÊÝÄ òåîðèè âîçìóùåíèé ýëåìåíò S-ìàòðèöû, îòâå÷àþùèé ïðîöåññó óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà îäíîýëåêòðîííîì èîíå, äà¼òñÿ ôåéíìàíîâñêèì ãðàôèêîì, èçîáðàæ¼ííûì íà Ðèñ. 2.2. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé êîãäà îäíîýëåêòðîííé èîí,íàõîäÿùèéñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè a0 , ïîãëîùàåò ôîòîí (k, λ) è çàòåì èñïóñêàåò ôîòîí (k 0 , λ0 ) è ðàñïàäàåòñÿ íàçàä â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå.
Ñîãëàñíîçàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ω = ω 0 . Ýòîò ãðàôèê íåäà¼ò ñèíãóëÿðíîñòåé, ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðè÷íûé ýëåìåíò àäèàáàòè÷åñêîé S-33ìàòðèöû ñîâïàäàåò ñ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì îáû÷íîé S-ìàòðèöûS(0,0)=(0,0)Sλa(k,λ)X A(k,λ)∗a0 n Ana0= (−2πi)δ(ω − ω)e.0+ε −εωan0n02(2.34)Âåðõíèå èíäåêñû ó S-ìàòðèöû ïîêàçûâàþ êîëè÷åñòâî âñòàâîê îïåðàòîðà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â âåðõíþþ è íèæíþþ âíåøíþþ ëèíèþ, ñîîòâåòñòâåííî. ñëåäóþùèõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ìû äîëæíû ðàññìîòðåòüâñòàâêè îïåðàòîðà ñîáñòâåííîé ýíåðãèè â ýëåêòðîííûå ëèíèè.
Âñòàâêè âîâíóòðåííèå ëèíèè íå äàþò ñèíãóëÿðíîñòåé. Îíè ïðèâîäÿò ê ñäâèãó â ýíåðãèè âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé. Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü âñòàâêè âî âíóòðåííèå ëèíèè.Íà Ðèñ. 2.7 èçîáðàæ¼í ôåéíìàíîâñêèé ãðàôèê ñ N âñòàâêàìè îïåðàòîðàñîáñòâåííîé ýíåðãèè â íèæíþþ ýëåêòðîííóþ ëèíèþ. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿïîâðåìåííûì ïåðåìåííûì ñ ïðèìåíåíèåì ðàâåíñòâàZ+∞11= i+a + iλa −a + iλadt e−λa |t|+iat−∞(2.35)ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò àäèàáàòè÷åñêîé S-ìàòðèöû èìååò âèä(0,N )SλaZ=d3 ru d3 rd1 .
. . d3 rd2N dωn dωd1 . . . dωdN dωs1 . . . dωsN dΩ1 . . . dΩN00,λ )∗×ψ̄a0 (ru )(−ie)γ µu A(k(ru )µui X ψn (ru )ψ̄n (rd1 )2π n ωn − εn (1 − i0)2×(−ie)γ µd1 A(k,λ)µd1 (rd1 )(i)11×+εa0 + ω 0 − ωn + iλa −εa0 − ω 0 + ωn + iλa11×+ωn − ω − ωd1 + iλa −ωn + ω + ωd1 + iλaX ψs (rd )ψ̄s (rd )i X ψd1 (rd1 )ψ̄d1 (rd2 )1213µd2 i×(−ie)γ2πωd1 − εd1 (1 − i0)2π s ωs1 − εs1 (1 − i0)d11µd32×Iµd2 µd3 (|Ω1 |, rd23 )(−ie)γ ψa0 (rd3 )(i)11×+ωd1 − ωs1 − Ω1 + iλa −ωd1 + ωs1 + Ω1 + iλa3411×+ωs1 + Ω1 − ωd2 + iλa −ωs1 − Ω1 + ωd2 + iλa···i X ψsk (rd2k )ψ̄sk (rd2k+1 )i X ψdk (rd2k−1 )ψ̄dk (rd2k )(−ie)γ µd2k×2πωdk − εdk (1 − i0)2π s ωsk − εsk (1 − i0)dkkµd2k+12×Iµd2k µd2k+1 (|Ωk |, rd2k ,d2k+1 )(−ie)γ(i)11+×ωdk − ωsk − Ωk + iλa −ωdk + ωsk + Ωk + iλa11+×ωsk + Ωk − ωdk+1 + iλa −ωsk − Ωk + ωdk+1 + iλa···X ψs (rd )ψ̄s (rd)i X ψdN (rd2N −1 )ψ̄dN (rd2N )N2NN2N +1µd2N i×(−ie)γ2πωdN − εdN (1 − i0)2π sωsN − εsN (1 − i0)dNNµd2N +1×Iµd2N µd2N +1 (|ΩN |, rd2N ,d2N +1 )(−ie)γψa0 (rd2N +1 )(i)211+×ωdN − ωsN − ΩN + iλa −ωdN + ωsN + ΩN + iλa11×+.ωsN + ΩN − εa0 + iλa −ωsN − ΩN + εa0 + iλa(2.36)×òîáû ñäåëàòü âû÷èñëåíèÿ êîðî÷å ìû áóäåì ïðåíåáðåãàòü îòðèöàòåëüíîýíåðãåòè÷åñêîé ÷àñòüþ ñïåêòðà óðàâíåíèÿ Äèðàêà (ò.å., ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî εn > 0, εd > 0), òàê êàê ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé íåäàþò ñèíãóëÿðíîñòè.Ðàññìîòðèì îòäåëüíî èíòåðâàë ïî ω è îáîçíà÷èì åãî êàê F .
Ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðàëà F âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå ÷ëåíû Óð. (2.36), çàâèñÿùèå îò ω : äðîáè â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ è çíàìåíàòåëè, ïðîèñõîäÿùèå èçýëåêòðîííûõ ïðîïàãàòîðîâ. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ωn è ωs1...N äà¼ò2π1dωd1 . . . dωdNi ω + ωd1 − εn + iλa11+×εa0 + ω 0 − ω − ωd1 + 2iλa −εa0 + ω 0 + ω + ωd1 + 2iλa2π1×i (ωd1 − εd1 (1 − i0))(ωd2 − εs1 − Ω1 + iλa )ZF =351×+ωd1 − ωd2 + 2iλa −ωd1 + ωd2 + 2iλa···12π×i (ωdk − εk (1 − i0))(ωdk+1 − εsk − Ωk + iλa )11+×ωdk − ωdk+1 + 2iλa −ωdk + ωdk+1 + 2iλa···12π×i (ωdN − εdN (1 − i0))(εa0 − εsN − ΩN + iλa )11+.×ωdN − εa0 + 2iλa −ωdN + εa0 + 2iλa1(2.37)Èíòåãðèðîâàíèå â Óð.
(2.37) ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàâåíñòâà12πdωdNi (ωdN −1 − εdN −1 (1 − i0))(ωdN − εsN −1 − ΩN −1 + iλa )11×+ωdN −1 − ωdN + 2iλa −ωdN −1 + ωdN + 2iλa12π×i (ωdN − εdN (1 − i0))(εa0 − εsN − ΩN + iλ0 a )11×+ωdN − εa0 + 2iλ0 a −ωdN + εa0 + 2iλ0 a 32π1=i(ωdN −1 − εdN −1 (1 − i0))(εa0 − εdN −1 − ΩN −1 + 2iλ0 a + iλa )11+×ωdN −1 − εa0 + 2iλ0 a + 2iλa −ωdN −1 + εa0 + 2iλ0 a + 2iλa1×+ Rλa ,λ0 a ,(2.38)(εa0 − εdN + 2iλ0 a )(εa0 − εsN − ΩN + iλ0 a )Zãäålim Rλa ,λ0 a = 0. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âû-λa ,λ0 a →0ðàæåíèå äëÿ Óð.
(2.37)F =×2πi2N +1(εa0 − εsN(2.39)11······− ΩN + 2iλa )(εa0 − εsN −k − ΩN −k + (2k + 1)iλa )361× ···(εa0 − εs1 − Ω1 + (2N − 1)iλa )1×(εa0 − εdN + 2iλa ) · · · (εa0 − εdN −k+1 + 2kiλa ) · · · (εa0 − εd1 + 2N iλa )1×ω + εa0 − εn + (2N + 1)iλa11×++ Rλa ,(2.40)ω − ω 0 + 2(N + 1)iλa −ω + ω 0 + 2(N + 1)iλaãäå lim Rλa = 0. Ôóíêöèÿ F ñèíãóëÿðíà â λa → 0, êîãäà εdk = εa0 , k =λa →01, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
