Диссертация (1145426), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äâóõýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäåΨJM j1 j2 l1 l2 (r1 , r2 ) = NXj j1 2CJM(m1 m2 )(2.93)m1 m2× [ψj1 l1 m1 (r1 )ψj2 l2 m2 (r2 ) − ψj1 l1 m1 (r2 )ψj2 l2 m2 (r1 )] ,√ãäå N = 1/2 äëÿ ýêâèâàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ è N = 1/ 2 äëÿ íåýêâèâàëåíòj j1 2íûõ ýëåêòðîíîâ, CJM(m1 m2 ) êîýôôèöèåíò Êëåáøà-Ãîðäàíà. Èñïîëüçóÿ(2.93) ìû ìîæåì îïèñàòü êîíôèãóðàöèþ 1s2s 3S1 ââîäÿ a, b = 1s+ , 2s+ , ãäå± îáîçíà÷àåò äâå ðàçëè÷íûå ïðîåêöèè ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà,òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ïîïðàâêà ê ýíåðãèè ïðèìåò âèä∆E(1s2s 3S1 ) = F1s+ 2s+ ;1s+ 2s+ ,(2.94)Fab;cd = Fabcd − Fbacd .(2.95)Çäåñü Fab...
ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèéψa , ψb , . . .. Âèä ôóíêöèè F çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîãî ôåéíìàíîâñêîãîãðàôèêà (ñì. íèæå). Äëÿ äâóõýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèé 1s2s 1S0 è 1s2p 1P0ïîïðàâêè ê ýíåðãèè çàïèøóòñÿ â âèäå∆E(1s2s 1S0 ) = F1s− 2s+ ;1s− 2s+ − F1s+ 2s− ;1s− 2s+ ,(2.96)∆E(1s2p 3P0 ) = F1s− 2p+ ;1s− 2p+ − F1s+ 2p− ;1s− 2p+ ,(2.97)èñîîòâåòñòâåííî. Ïîïðàâêà ê ýíåðãèè, ñâÿçàííàÿ ñ îäíîôîòîííûì îáìåíîì,ïðåäñòàâëåíà ôåéíìàíîâñêèì ãðàôèêîì íà ðèñ. 2.9. Ýòîò ãðàôèê íåïðèâîäèìûé è ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîä àäèàáàòè÷åñêîé S -ìàòðèöû, ÷òî53ïðèâåäåò ê(1)Fa0 b0 ab=Xg(2.98)I g (|a0 − a |)a0 b0 ab ,ãäå g ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ g = c, t (ñì. (3.56,3.57)) è èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå. Äëÿ g = c ôîðìóëà (2.98) äàåò ïîïðàâêó ê êóëîíîâñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ â ïåðâîì ïîðÿäêå, à äëÿ g = t ìû èìååì ïîïðàâêó ê áðåéòîâñêîìóâçàèìîäåéñòâèþ â ïåðâîì ïîðÿäêå.Ïîïðàâêè, îáóñëîâëåííûå äâóõôîòîííûì îáìåíîì, ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêàìè íà ðèñ.
2.12. Ãðàôèê box ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì. Åãî ïðèâîäèìàÿ÷àñòü îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì n1 + n2 = a + b . Ãðàôèê cross ÿâëÿåòñÿíåïðèâîäèìûì. Îäíàêî, óäîáíî èçâëå÷ü ÷ëåíû ñ n1 , n2 ðàâíûå a èëè b èðàññìàòðèâàòü èõ êàê ïðèâîäèìóþ ÷àñòü ãðàôèêà cross. Âêëàä ÷ëåíîâ ñn1 , n2 âêëþ÷åííûõ â ïðèâîäèìóþ ÷àñòü íàçûâàåòñÿ ïîïðàâêîé íà ññûëî÷íûå ñîñòîÿíèÿ. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ ãðàôèêîâ box ècross ïðèâîäèò ê êîíå÷íûì ôîðìóëàì(2)(box,irr)Fa0 b0 ab=X X0 gg0i2πn1 n2Z∞−∞i+2π(2)(box,red)Fa0 b0 ab(2.99)0I g (|Ω|)a0 b0 n1 n2 I g (|Ω − a0 + a |)n1 n2 abdΩ(a + b − n1 − n2 )(Ω − n2 + b0 + i0n2 )Z∞−∞0I g (|Ω|)b0 a0 n1 n2 I g (|Ω − a + a0 |)n1 n2 badΩ(a + b − n1 − n2 )(Ω − n2 + a0 + i0n2 )1 X X00= −2 0 nni2πggZ∞−∞i+2π,(2.100)1 20I g (|Ω|)a0 b0 n1 n2 I g (|Ω − a0 + a |)n1 n2 abdΩ(Ω − n2 + b0 + i0n2 )2Z∞−∞0I g (|Ω|)b0 a0 n1 n2 I g (|Ω − a + a0 |)n1 n2 badΩ(Ω − n2 + a0 + i0n2 )254,(2)(cross,irr)Fa0 b0 ab=X X0 (2.101)gg0 n1 n2Z∞i2π−∞i+2π(2)(cross,red)Fa0 b0 ab0I g (|Ω|)b0 n2 n1 a I g (|Ω − a0 + a |)n1 a0 bn2dΩ(n2 − n1 − a + b0 )(Ω − n2 + a + i0n2 )Z∞−∞0I g (|Ω|)n1 b0 an2 I g (|Ω − a0 + a |)a0 n2 n1 bdΩ(n2 − n1 + a − b0 )(Ω − n2 + b0 + i0n2 ),∞0X X00 i ZI g (|Ω|)b0 n2 n1 a I g (|Ω − a0 + a |)n1 a0 bn2dΩ(2.102).=22π(Ω−++i0)nan220 n ngg1 2−∞Øòðèõ ó çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ îáîçíà÷àåò, ÷òî èç ñóììèðîâàíèÿ èñêëþ÷åíû ÷ëåíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ññûëî÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè.
Äâîéíîé øòðèõîáîçíà÷àåò, ÷òî â ñóììå ïðèñóòñòâóþò òîëüêî ÷ëåíû îòâå÷àþùèå ññûëî÷íûì ñîñòîÿíèÿì. ×òîáû èçáåæàòü äåëåíèÿ íà íóëü â âûðàæåíèÿõ (2.101)â ñëó÷àå êîãäà a = b0 è n1 = n2 íàäî áðàòü ïðåäåë n1 → n2 äëÿîáîèõ ÷ëåíîâ ïðàâîé ÷àñòè. Ïðè ýòîì ñèíãóëÿðíîñòè ñîêðàòÿòñÿ. Ôîðìóëà (2.102) ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèÿ îïèñàííîãî ïðåäåëà. Èçôîðìóë (2.100) è (2.102) àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò, ÷òî ýòè âêëàäû ïðèâîäèìûõ ÷àñòåé èñ÷åçàþò äëÿ g = g0 = c. Ñëó÷àé g = g0 = c ñîîòâåòñòâóåò ïîïðàâêå ê êóëîí-êóëîíîâñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ, ñëó÷àé g = g0 = t îïðåäåëÿåò ïîïðàâêè ê áðåéò-áðåéòîâñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ è ñëó÷àè g = c, g0 = t èg = t, g0 = c äàþò ïîïðàâêè íà êóëîí-áðåéòîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå.  ñëó÷àåêóëîí-áðåéòîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî Ω ìîæíî ïðîâîäèòüàíàëèòè÷åñêè [33].Äëÿ èîíîâ ñ âûñîêèì çàðÿäîì ÿäðà Z , ðàññìîòðåííûõ â äàííîé äèññåðòàöèè, òðåòèé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé îêàçûâàåòñÿ ìàëûì è, ïîýòîìó, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî åãî äîìèíèðóþùóþ ÷àñòü.  ñâÿçèñ ýòèì ìû ðàññìîòðèì òîëüêî âêëàäû box ãðàôèêîâ, îïèñûâàþùèõ òðå55òèé ïîðÿäîê êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è òðåòèé ïîðÿäîê áðåéòîâñêîãîâçàèìîäåéñòâèÿ â ïðåíåáðåæåíèè çàïàçäûâàíèåì (â ôîðìóëå (2.15) êëàäåìI t (Ω, r12 ) = I t (0, r12 )).
Ñîîòâåòñòâóþùèé ôåéíìàíîâñêèé ãðàôèê èçîáðàæåííà ðèñ. 2.13. Ôîðìóëà äëÿ ïîïðàâêè íåïðèâîäèìîé ÷àñòè box ãðàôèêà òðåòüåãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òåì æå ñïîñîáîì, ÷òî è ïîïðàâêè äàâàåìûå ôîðìóëàìè (2.98, 2.99). Ôîðìóëà ïðèìåò âèä(3)(box,irr)Fa0 b0 ab=X X0gg0 g00 n1 n2 n3 n4000Iag0 b0 n3 n4 Ing3 n4 n1 n2 Ing1 n2 ab(, 2.103)(n3 + n4 − a0 − b0 )(n1 + n2 − a − b )ãäå øòðèõ ïîêàçûâàåò, ÷òî èç ñóììèðîâàíèÿ èñêëþ÷åíû ÷ëåíû, îòâå÷àþùèåññûëî÷íûì ñîñòîÿíèÿì. Çäåñü ññûëî÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèÿìè n1 + n2 = a + b èëè n3 + n4 = a + b . Ïðèìåíÿÿ ìåòîä êîíòóðàëèíèè ê ãðàôèêó ðèñ.
2.13 ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ âêëàäàïðèâîäèìîé ÷àñòè(3)(box,red)Fa0 b0 ab=X X00000Iag0 b0 n3 n4 Ing3 n4 n1 n2 Ing1 n2 ab(2.104)gg0 g00 n1 n2 n3 n4(−1)(−1)+×2(n3 + n4 − a0 − b0 )2 2(n1 + n2 − a − b )2,ãäå äâîéíîé øòðèõ ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñóììèðîâàíèè ïðèñóòñòâóþò òîëüêî÷ëåíû, îòâå÷àþùèå ññûëî÷íûì ñîñòîÿíèÿì. ×ëåíû â (2.104) ñ íóëåâûìè çíàìåíàòåëÿìè òàêæå èñêëþ÷åíû èç ñóììèðîâàíèÿ.2.5Òð¼õýëåêòðîííûå êîíôèãóðàöèèÐàññìîòðèì ïîïðàâêè íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå â òð¼õýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèÿõ. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òð¼õýëåêòðîííûå êîíôèãóðàöèè ñ çàìêíóòîé (1s)2 îáîëî÷êîé, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ êîòîðûõ ìîæåò áûòü56çàïèñàíà â âèäåX1Ψ(r1 , r2 , r3 ) = √ijk ψi (r1 )ψj (r2 )ψk (r3 ) .3! i,j,k=1,2,3(2.105)ijk îáîçíà÷àåò ñèìâîë Ëåâè-×èâèòà è ψ1 (r), ψ2 (r), ψ3 (r) îáîçíà÷àþò îäíîýëåêòðîííûå âîëíîâûå ôóíêöèè.Êàê è â ñëó÷àå äâóõýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèÿ íàäî ðàññìîòðåòü âêëàääâóõýëåêòðîííûõ ãðàôèêîâ ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ.
2.9-2.13. Èõ âêëàä âýíåðãèþ äàåòñÿ ôîðìóëîé(2.106)∆E({abc}) = Fab;ab + Fbc;bc + Fca;ca ,ãäå Fab;cd îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè (2.982.104). Íàáîð {abc} ñîâïàäàåò ñíàáîðîì {1s+ , 1s− , 2s1/2+ } äëÿ êîíôèãóðàöèè (1s)2 2s1/2 è ðàâåí íàáîðó{1s+ , 1s− , 2p1/2+ } äëÿ êîíôèãóðàöèè (1s)2 2p1/2 , ñîîòâåòñòâåííî. Ñèìâîë ±îáîçíà÷àåò ðàçëè÷íûå ïðîåêöèè óãëîâîãî ìîìåíòà. òð¼õýëåêòðîííîì ñëó÷àå êðîìå âêëàäîâ äâóõýëåêòðîííûõ ãðàôèêîâíàäî ó÷èòûâàòü âêëàäû òð¼õýëåêòðîííûõ ãðàôèêîâ, èçîáðàæåííûõ íàðèñ. 2.14 è 2.15. Âêëàäû òð¼õýëåêòðîííûõ ãðàôèêîâ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå∆E({abc}) =X(2.107)i0 j 0 k0 ijk Fi0 j 0 k0 ijk ,i0 ,j 0 ,k0 =1,2,3i,j,k=1,2,3ãäå èíäåêñû 1, 2, 3 ó F äîëæíû áûòü çàìåíåíû íà a, b, c ñîîòâåòñòâåííî,òî åñòü Fabcabc ≡ F123123 , è ò.ä..
Âûðàæåíèå (2.107) âêëþ÷àåò â ñåáÿ âêëàäû ïðÿìûõ è âñåâîçìîæíûõ îáìåííûõ ãðàôèêîâ, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ âòð¼õýëåêòðîííîì ñëó÷àå.Âûðàæåíèÿ äëÿ Fa0 b0 c0 abc îòâå÷àþùèå ãðàôèêó íà ðèñ. 2.14 èìåþò âèä(2)(step,irr)Fa0 b0 c0 abc=X X0 I g (|a − a0 |)na0 ba I g0 (|c0 − c |)b0 c0 ncgg0a + b − a0 − nn57,(2.108)(2)(step,red)=Fa0 b0 c0 abciX X00 ∂ h0I g (|a − a0 + ω|)na0 ba I g (|c0 − c + ω|)b0 c0 nc (2.109)∂ωω=00nggãäå øòðèõ ó ñèìâîëà ñóììèðîâàíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóììèðîâàíèå èäåò ïîâñåì n çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ êîãäà íàáîð {a0 , n, c} ñîâïàäàåò ñ íàáîðîì{a, b, c} (ñëó÷àé ññûëî÷íûõ ñîñòîÿíèé). Äâîéíîé øòðèõ ïîêàçûâàåò, ÷òî âñóììèðîâàíèè ïðèñóòñòâóþò òîëüêî ÷ëåíû, îòâå÷àþùèå ññûëî÷íûì ñîñòîÿíèÿì.
Êàê è â ñëó÷àå äâóõýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèé ìû çäåñü èìååìg, g0 = c, t. Åñëè g = g0 = c âêëàä ïðèâîäèìîé ÷àñòè îòñóòñòâóåò.Êàê óæå óêàçûâàëîñü âûøå â òðåòüåì ïîðÿäêå ìû ó÷èòûâàåì òîëüêî äîìèíèðóþùóþ ÷àñòü ïîïðàâîê. À èìåííî, òðåòèé ïîðÿäîê êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è òðåòèé ïîðÿäîê áðåéòîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ïðåíåáðåæåíèè çàïàçäûâàíèåì ïðåäñòàâëåííûå â ãðàôèêàìè òèïà box. Ñîîòâåòñòâóþùèå òð¼õýëåêòðîííûå ôåéíìàíîâñêèå ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.15.Âûðàæåíèÿ äëÿ âêëàäîâ íåïðèâîäèìîé è ïðèâîäèìîé ÷àñòåé ïîëó÷àþòñÿàíàëîãè÷íî ôîðìóëàì (2.103,2.104). Âêëàä íåïðèâîäèìàÿ ÷àñòè èìååò âèä0(3)(step−box,irr)Fa0 b0 c0 abc=X X0gg0 g00 n1 n2 n300Iag0 b0 n1 n3 Ing3 c0 n2 c Ing1 n2 ab(2.110)(n1 + n3 − a0 − b0 )(n1 + n2 − a − b )0+2X X0gg0 g00 n1 n2 n300Ibg0 c0 n3 c Iag0 n3 n1 n2 Ing1 n2 ab(n1 + n2 − a − b )(n3 + a0 − a − b )0+X X0gg0 g00 n1 n2 n300Iag0 c0 n1 n3 Ibg0 n3 n2 c Ing1 n2 ab,(n1 + n2 − a − b )(n1 + n3 − a0 − c0 )ãäå øòðèõ ó çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî èç ïåðâîãî ñóììèðîâàíèÿèñêëþ÷åíû ÷ëåíû äëÿ êîòîðûõ íàáîð {n1 , n2 , c} èëè íàáîð {n1 , n3 , c0 } ñîâïàäàåò ñ íàáîðîì {a, b, c}; âî âòîðîì ñóììèðîâàíèè íå ïðèñóòñòâóþò ÷ëåíûäëÿ êîòîðûõ íàáîð {n1 , n2 , c} èëè {a0 , n3 , c} ðàâåí íàáîðó {a, b, c} è â òðåòüåìñóììèðîâàíèè íåò ÷ëåíîâ äëÿ êîòîðûõ íàáîð {n1 , n2 , c} èëè {n1 , n3 , b0 } ðàâåí íàáîðó {a, b, c} (ñëó÷àè ññûëî÷íûõ ñîñòîÿíèé).
Âêëàä ïðèâîäèìîé ÷àñòè58ãðàôèêîâ step-box (ñì. ðèñ. 2.15) äàåòñÿ âûðàæåíèåì(3)(step−box,red)Fa0 b0 c0 a b c=X X00gg0 g00000Iag0 b0 n1 n3 Ing3 c0 n2 c Ing1 n2 ab(2.111)n1 n2 n3(−1)(−1)×+2(n1 + n3 − a0 − b0 )2 2(n1 + n2 − a − b )2X00 g000+2Ib0 c0 n3 c Iag0 n3 n1 n2 Ing1 n2 abn n2 n31(−1)(−1)+×2(n1 + n2 − a − b )2 2(n3 + a0 − a − b )2X00 g000+Ia0 c0 n1 n3 Ibg0 n3 n2 c Ing1 n2 abn1 n2 n3(−1)(−1)×+2(n1 + n2 − a − b )2 2(n1 + n3 − a0 − c0 )2,ãäå äâîéíîé øòðèõ ó çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî â ñóììàõ ïðèñóòñòâóþò òîëüêî ÷ëåíû îòâå÷àþùèå ññûëî÷íûì ñîñòîÿíèÿì (ñì. ïîÿñíåíèÿê ôîðìóëå (2.110)). Î÷åâèäíî, ÷òî âêëàäû ãðàôèêîâ ðèñ. 2.15 b,cîäèíàêî-âû. Ïîýòîìó, îíè ó÷òåíû êàê óäâîåííûé âêëàä îäíîãî ãðàôèêà ðèñ. 2.15 b.2.6Êâàçèâûðîæäåííûå óðîâíèÐàññìîòðèì âû÷èñëåíèå ïîïðàâîê íà ìåæýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå äëÿäâóõýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèé 21P1 è 23P1 . Ýòè ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ êâàçèâûðîæäåííûìè.
Ñëåäóÿ ìåòîäó êîíòóðà ëèíèè, áóäåì ñòðîèòü îïåðàòîð V(2.84) íà ôóíêöèÿõ j − j ñâÿçè (2.93)ΨJ=1,M =0,j1 =1/2,j2 =1/2,l1 =0,l2 =1 ≡ (1s2p1/2 ) ,(2.112)ΨJ=1,M =0,j1 =1/2,j2 =3/2,l1 =0,l2 =1 ≡ (1s2p3/2 )(2.113)è èñêàòü ïîëîæåíèÿ ðåçîíàíñà âáëèçè ω = −EA + 1s + 2p1/2 + O(α) è ω =−EA + 1s + 2p3/2 + O(α).59Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà V ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåh(1s2p1/2 )|V |(1s2p1/2 )i = h(1s2p1/2 )|F |(1s2p1/2 )i ,(2.114)h(1s2p3/2 )|V |(1s2p3/2 )i = h(1s2p3/2 )|F |(1s2p3/2 )i ,1hh(1s2p1/2 )|F |(1s2p3/2 )ih(1s2p1/2 )|V |(1s2p3/2 )i =2i+ h(1s2p3/2 )|F |(1s2p1/2 )i .(2.115)(2.116)Ââåäåííûé çäåñü îïåðàòîð F îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâèåì íà íàáîð îäíîýëåêòðîííûõ ôóíêöèé ab.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ab = {1s2p1/2 }, {1s2p3/2 }. ïðèíöèïå, îïåðàòîð V çàâèñèò îò ω .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
