Диссертация (1145426), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Åñëè òð¼õýëåêòðîííàÿ êîíôèãóðàöèÿ ñîäåðæèò125òðè ýêâèâàëåíòíûõ ýëåêòðîíà, äëÿ ïîñòðîåíèÿ òð¼õýëåêòðîííûõ êîíôèãóðàöèé â j -j ñâÿçè íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ãåíåàëîãè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû(j1 j2 [j12 ]j3 J|}j1 j2 j3 νJ) [8082](0)ΨJM γn1 j1 l1 n2 j2 l2 n3 j3 l3=X(0)(j1 j2 [j12 ]j3 J|}j1 j2 j3 νJ)ΨJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 n3 j3 l(4.39).3j12Çäåñü êâàíòîâîå ÷èñëî ν îáîçíà÷àåò ïîâòîðÿþùèåñÿ òåðìû.Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (äâóõýëåêòðîííûé èîí â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè (1s1s) è íàëåòàþùèé ýëåêòðîí) ìîæåò áûòü îïèñàí ñëåäóþùåé ôóíêöèåé1Ψini = √ det{ψn1 j1 l1 m1 , ψn2 j2 l2 m2 , ψp,µ } .6(4.40)Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψp,µ îïèñûâàåò íàëåòàþùèé ýëåêòðîí ñ èìïóëüñîì p èïîëÿðèçàöèåé µ, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψnjlm îïèñûâàåò ñâÿçàííûé ýëåêòðîí ññîîòâåòñòâóþùèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè (n,j ,l è m).
Ïðèìåíÿÿ ðàçëîæåíèåÓð. (4.25) âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñëåäóþùèõ äåòåðìèíàíòîâ1(0)Ψn1 j1 l1 m1 n2 j2 l2 m2 εj3 l3 m3 = √ det{ψn1 j1 l1 m1 , ψn2 j2 l2 m2 , ψεj3 l3 m3 } .6(4.41)Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðÿäà òð¼õýëåêòðîííûõ ôóíêöèé ñ îïðåäåë¼ííûìè ïîëíûìèóãëîâûìè ìîìåíòàìèΨini =XZ(0)dε hΨJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 εj3 l3 | Ψini iJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 j3 l3(0)×ΨJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 εj3 l3.(4.42)Êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå ((1s1s2s), (1s1s2p) òð¼õýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ) ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê òð¼õýëåêòðîííûå êîíôèãóðàöèè â j -j ñâÿçè(0)Ψfin = ΨJM j12 n1 j1 l1 n2 j2 l2 n3 j3 l3 .126(4.43)Àìïëèòóäà ïðîöåññà (Uif ) îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç S-ìàòðèöóSif = (−2πi)δ(Ef − Ei )Uif .(4.44)Òîãäà, âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà äà¼òñÿ êàê [27]dwifd3 k= 2π|Uif | δ(Ef − Ei ),(2π)32(4.45)ãäå Ei , Ef ýíåðãèè íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.
Ìíîæèòåëüd3 k/(2π)3 äà¼ò ÷èñëî ñîñòîÿíèé ôîòîíà ñ îïðåäåëåííîé ïîëÿðèçàöèåé è èìïóëüñîì â èíòåðâàëå d3 k â åäèíèöå îáú¼ìà: d3 k/(nph (2π)3 ), ãäå ïëîòíîñòüôîòîíîâ (nph ) ðàâíà åäèíèöå (ñì. Óð. (4.19)).Ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ñâÿçàíî ñ âåðîÿòíîñòüþ ïåðåõîäà (4.45) êàê [27]dσif =dwif,j(4.46)ãäå j ïîòîê ýëåêòðîíà èç íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà. Ïîòîê ýëåêòðîíà èç íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê j = nel v , ãäå nel è v = p/ ïëîòíîñòü èñêîðîñòü ýëåêòðîíà, ñîîòâåòñòâåííî, â ñèñòåìå ïîêîÿ ÿäðà.
Ñ íîðìàëèçàöèåé Óð. (4.22) ýëåêòðîííàÿ ïëîòíîñòü ðàâíà åäèíèöå, ñëåäîâàòåëüíî, ñå÷åíèåðàññåÿíèÿ èìååò âèädσifd3 k2= 2π |Upµmb ,kλr | δ(Ef − Ei ).p(2π)3(4.47)Êîíôèãóðàöèè íà÷àëüíîãî (pµmb ) è êîíå÷íîãî (r) ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëåíûÓð. (4.36), (4.34), ñîîòâåòñòâåííî, k è λ ïðåäñòàâëÿþò êâàíòîâûå ÷èñëà ôîòîíà.Ïðèìåíÿÿ Óð. (4.25) ìû ïîëó÷èìdσif2ZX d3 k= 2π dapµ,jlm Ujlmmb ,kλr δ(Ef − Ei ),3p(2π)jlm(4.48)ãäå êîíôèãóðàöèÿ (jlmmb ) îïðåäåëåíà êàê1Ψjlmmb (r1 , r2 ) = √ (ψjlm (r1 )ψmb (r2 ) − ψmb (r1 )ψjlm (r2 )) . (4.49)2127Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âû÷èñëåíèå ïîëíîãî ñå÷åíèÿ ðåêîìáèíàöèè, ýòî ïîäðàçóìåâàåò èíòåãðèðîâàíèå ïî íàïðàâëåíèÿì èçëó÷¼ííîãî ôîòîíà (νk ) èñóììèðîâàíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì ôîòîíà (λ).
Çàòåì ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òîíàëåòàþùèé ýëåêòðîí íåïîëÿðèçîâàííûé, òî åñòü, ìû óñðåäíÿåì ïî ïîëÿðèçàöèÿì íàëåòàþùåãî ýëåêòðîíà (µ). Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì òàêæå óñðåäíèòü ïî íàïðàâëåíèÿì ìîìåíòà íàëåòàþùåãî ýëåêòðîíà (νp ) è ïî ïðîåêöèÿìïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà ñâÿçàííîãî ýëåêòðîíà íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèÿ (mb ).Óñðåäíåíèå ïî νp , µ, mb îçíà÷àåò18π(2jb + 1)Zd2 νpX.(4.50)µmbÑóììèðîâàíèå ïî ïîëÿðèçàöèè ýëåêòðîíà è èíòåãðèðîâàíèå ïî íàïðàâëåíèÿì èìïóëüñà ýëåêòðîíà âûïîëíÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì Óð.
(4.33). Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïîëó÷àåìdσif = 2π1(2π)3 Xd3 k|Ujlmmb ,kλr |2 δ(Ef − Ei ). (4.51)p 8π(2jb + 1) p(2π)3jlmmbÓäîáíî çàìåíèòü ñóììèðîâàíèå ïî êîíôèãóðàöèÿì Óð. (4.49) íà ñóììèðîâàíèå ïî êîíôèãóðàöèÿì â j j ñâÿçè Óð. (4.35) Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèåÊëåáøà-Ãîðäàíà (êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì) ìû ïðèõîäèì êdσif1(2π)3 Xd3 k2= 2π|UJM jl,kλr | δ(Ef − Ei ), (4.52)p 8π(2jb + 1) p(2π)3JM jlãäå êîíôèãóðàöèè (JM jl) îïðåäåëåíû êàê1 X jjb√ΨJM jl (r1 , r2 ) =CJM (m, mb )2 mmb×(ψjlm (r1 )ψmb (r2 ) − ψmb (r1 )ψjlm (r2 )) .(4.53)Ìû âû÷èñëÿåì ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ äëÿ ïðîöåññà ýëåêòðîííîé ðåêîìáèíàöèè â îäíîêðàòíî âîçáóæä¼ííîå äâóõýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå, ñëåäîâàòåëüíî,128ìû äîëæíû ïðîñóììèðîâàòü ïî âñåì îäíîêðàòíî âîçáóæä¼ííûì êîíôèãóðàöèÿì (r) â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè (ñì.
Óð. (4.34)). Íàêîíåö, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòîòå ôîòîíà ìû ïîëó÷àåìdσifZXω2π22=dν|UJM jl,kλr |2 ,k22(2π) (2jb + 1)p(4.54)JM jlrãäå ÷àñòîòà ôîòîíà (ω ) îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Èíòåãðèðîâàíèå ïî íàïðàâëåíèÿì èçëó÷¼ííîãî ôîòîíà è ñóììèðîâàíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì îñóùåñòâëÿåòñÿ òàê æå êàê è â ðàáîòå [61] (äëÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà). äåéñòâèòåëüíîñòè, âûðàæåíèå Óð. (4.54) îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ èñïîëüçóåìîãî â [61] òîëüêî ìíîæèòåëåì â êâàäðàòíûõñêîáêàõ.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî ñå÷åíèÿ ðåêîìáèíàöèè çàïèøåì àìïëèòóäó â âèäåZU = ed3 r ψ b (r)γ ν A(k,λ)∗(r)ψpµ (r)ν(4.55)è ïîäñòàâèì â íå¼ ôóíêöèè íàëåòàþùåãî ýëåêòðîíà â âèäå Óð.
(4.25),(4.28)Uif(2π)3/2 X l iφjl += e √i e (Ωjlm (p), υµ (p))pjlmZ× d3 r ψ nb jb lb mb (r)γ ν A(k,λ)∗(r)ψjlm (r) .ν(4.56)Èñïîëüçóþ ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå Óð. (4.21) äëÿ ôóíêöèè ôîòîíà, ìûïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ðåêîìáèíàöèè ýëåêòðîíà(2π)3/2 X X l−l0 iφjl (λ)∗i e (e , Yj0 l0 m0 (k))(Ω+Uif = −e √jlm (p), υµ (p))pjlm j0 l0 m0r Z2π×d3 r ψn+b jb lb mb (r)gl0 (ωr)(α, Yj∗0 l0 m0 (r))ψεjlm (r) .(4.57)ωÌû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôîòîíû ñ ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèåée1 =[p × k],|[p × k]|e2 =129[e1 × k]|[e1 × k]|(4.58)è ôîòîíû ñ öèðêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèåé1e+ = √ (e1 + ie2 ) ,21e− = √ (e1 − ie2 ) .2(4.59)Îñü z îïðåäåëÿåòñÿ èìïóëüñîì íàëåòàþùåãî ýëåêòðîíà p. Âåêòîðà èìïóëüñîâ ýëåêòðîíà (p), ôîòîíà (k) è ïîëÿðèçàöèè èìåþò âèä0p = 0,|p| 1− sin φe1 = cos φ0sin θ cos φk= sin θ sin φ ,|k|cos θcos θ cos φ,e2 = cos θ sin φ− sin θ(4.60),(4.61)ñîîòâåòñòâåííî.4.6×èñëåííûå ìåòîäûÏðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷¼òàõ èîí ðàññìàòðèâàåòñÿ çàêëþ÷¼ííûì â ñôåðó ðàäèóñà Rbox = 60/(αZ) (â ðåëÿòèâèñòñêèõ åäèíèöàõ), ãäå α ïîñòîÿííàÿ òîíêîéñòðóêòóðû, Z çàðÿä ÿäðà.
Ñïåêòð óðàâíåíèÿ Äèðàêà ñòðîèòñÿ â òåðìèíàõB-ñïëàéíîâ [83, 84]. Ìû èñïîëüçóåì B-ñïëàéíû ñòåïåíè 8 è ñåòêó ñ 60 óçëàìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåìûé ýëåêòðîííûé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûìè êîíå÷íûì. Ñîáñòâåííûé âåêòîð è ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå(ò.å., ýíåðãèÿ), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå áëèçêèìè ê ýíåðãèè íàëåòàþùåãî ýëåêòðîíà (e ), çàìåíÿþòñÿ íà ôóíêöèþ ψeR (ñì. Óð.
(4.8)) è ýíåðãèþe , ñîîòâåòñòâåííî. Ýëåêòðîíû ñãåíåðèðîâàííîãî ñïåêòðà, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿñîñåäÿìè äëÿ çàìåí¼ííîãî ýëåêòðîíà îáîçíà÷àþòñÿ êàê en−1 è en+1 . Óâåëè÷åíèå ðàäèóñà ñôåðû è óâåëè÷åíèå ÷èñëà óçëîâ â ñåòêå óìåíüøàåò ýôôåêòçàìåíû en -ýëåêòðîíà íà ýëåêòðîí íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà (e ). Ðàçìåð ñôåðû130è ÷èñëî óçëîâ â ñåòêå âûáèðàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû íå âëèÿòü íàòî÷íîñòü âû÷èñëåíèé. ðàìêàõ ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè ñâîéñòâà èîíà îïðåäåëÿþòñÿ èç êîíòóðà ëèíèè, ñâÿçàííîãî ñ ïðîöåññîì óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ôîòîíà íà èîíå, ãäåèîí, íàõîäÿñü â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè, ïîãëîùàåò è èçëó÷àåò ôîòîí. Ðåçîíàíñû ýòîãî ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ îòâå÷àþò óðîâíÿì ýíåðãèè. Äëÿ òîãî, ÷òîáûîïèñûâàòü ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè òîëüêî äâóìÿ ïàðàìåòðàìè (ýíåðãèåé èøèðèíîé), ìû ïàðàìåòðèçóåì êîíòóð ëèíèè ëîðåíöåâñêèì êîíòóðîì, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïîçèöèåé ðåçîíàíñà (ò.å., ýíåðãèåé) è åãî øèðèíîé. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèé óðîâíåé ïîäðîáíîîïèñàíî â ðàáîòàõ [29, 30].
Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà ïðåäñòàâëåíî â [28, 61]. ðàìêàõ ìåòîäà êîíòóðà ëèíèè ýíåðãèè óðîâíåé îïðåäåëÿþòñÿ èç ìàòðèöû V , êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÊÝÄ òåîðèè âîçìóùåíèé ïîðÿäîêçà ïîðÿäêîìV (ω) = V (0) + ∆V (1) (ω) + ∆V (2) (ω) + . . . .(4.62)Ìàòðèöà V (ω) çàâèñèò îò ω , êîòîðàÿ èìååò ÿâíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòîòû ðàññåÿííîãî ôîòîíà. Ìàòðèöà V (0) ñîäåðæèò ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîýëåêòðîííûå äèðàêîâñêèå ýíåðãèè. Ìàòðèöà V (1) (ω) âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïîïðàâêèïåðâîãî ïîðÿäêà, òàêèå êàê ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (SE), ïîëÿðèçàöèÿ âàêóóìà (VP) è îäíîôîòîííûé îáìåí.
Ìàòðèöà V (2) (ω) âêëþ÷àåò â ñåáÿïîïðàâêè âòîðîãî ïîðÿäêà òàêèå êàê äâóõôîòîííûé îáìåí (box è crossãðàôèêè), ýêðàíèðîâàííûå SE è VP ïîïðàâêè, è ò.ä..  ýòîé ðàáîòå ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà: îäíîôîòîííûé îáìåí, SE èVP ïîïðàâêè. Ó÷åò SE ïîïðàâêè ïðèâîäèò ïîÿâëåíèþ íåíóëåâîé øèðèíûó ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû SE è VP îïåðàòîðîâ ïðè131âåäåíû â Òàáëèöå 4.1. Ýòè ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû áûëè âû÷èñëåíû â ðàìêàõ ñòàíäàðòíîãî ÊÝÄ ìåòîäà, ðàçðàáîòàííîãî Ñíàéäåðìàíîì [8587], äëÿñèëüíî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ. Äåòàëè âû÷èñëåíèÿ SE ïîïðàâîê ïðèâåäåíûâ Ïðèëîæåíèè 4.7.1.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû V , ñîîòâåòñòâóþùåãîññûëî÷íîìó ñîñòîÿíèþ ng , ìû îáðàçóåì íàáîð êîíôèãóðàöèé g , âêëþ÷àþùèé ññûëî÷íîå ñîñòîÿíèå ng è ñîîòâåòñòâóþùèå ñìåøèâàþùèåñÿ êîíôèãóðàöèè, âñå çàïèñàííûå â j j ñâÿçè.
 ýòîé ðàáîòå íàáîð g ñîñòîèò èç âñåõâîçìîæíûõ êîíôèãóðàöèé, ïîñòðîåííûõ íà íàáîðå ýëåêòðîíîâ: 1s, 2s, 2p,3s, 3p-ýëåêòðîíû, eR -ýëåêòðîí (ñì. Óð. (4.8)) è ñîîòâåòñòâóþùèå en−1 , en+1 ýëåêòðîíû.Óäîáíî ïðåäñòàâèòü ìàòðèöó V â áëî÷íîé ôîðìåV = V11 V12V21 V22(4.63),ãäå ìàòðèöà V11 ïîñòðîåíà íà êîíôèãóðàöèÿõ èç íàáîðà g . Ìàòðèöà V11 ìîæåò áûòü äèàãîíàëèçîâàíà ÷èñëåííî (áåç òåîðèè âîçìóùåíèé)diagV11= B t V11 B ,(4.64)ãäå B îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, B t òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà.Òåïåðü, ñîáñòâåííûå âåêòîðà ìàòðèöû V ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòàíäàðòíîé òåîðèè âîçìóùåíèéΦng =Xkg ∈g(0)Bkg ng Ψkg +X(∆V21 )klgk∈g/lg ∈gBlg ng(0)Ψ + ...
,(0) kEng − Ek(4.65)(0)ãäå Eng ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû V11 è Ek ñóììû äèðàêîâñêèõ ýíåðãèé.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äèðàêîâñêèå ýíåðãèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ýíåðãèþ ïîêîÿýëåêòðîíà me c2 . Ôóíêöèè Ψ(0) äâóõýëåêòðîííûå ôóíêöèè, çàïèñàííûå â132j j ñâÿçè. Èíäåêñû kg , lg ïðîáåãàþò ïî êîíôèãóðàöèÿì èç g , à èíäåêñû kïðîáåãàþò ïî êîíôèãóðàöèÿì, íå âêëþ÷¼ííûì â íàáîð g , ò.å., ïî âñåì îñòàâøèìñÿ äâóõýëåêòðîííûì êîíôèãóðàöèÿì, âêëþ÷àÿ îòðèöàòåëüíî ýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü ñïåêòðà óðàâíåíèÿ Äèðàêà.Àìïëèòóäà ïðîöåññà ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ I â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå F ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíà ñ ÷àñòîòîé ω0 ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàêUI→F = (Ξ(ω0 ))ΦF ΦI ,(4.66)ãäå ΦI è ΦF ñîáñòâåííûå âåêòîðà, îòâå÷àþùèå I è F ñîñòîÿíèÿì, ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
