Диссертация (1145422), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Поскольку величины () и ˜ () представляют собойдроби, их разность можно привести к общему знаменателю. Числительполучившегося выражения можно представить в виде суммы, в каждомслагаемом которого можно выделить разность вида ( − ) , > 1.Поскольку импульсы линий ограничены условиями |1,2 | 6 /, для этойразности можно сделать оценку)︂(︂1 2 ,(8.62)| − | 62для остальных величин , стоящих в числителе, оценку| | 6 | |,(8.63)а для стоящих в знаменателе, оценку|⊥ |2 >4 2 .2 ⊥Это позволяет получить оценку⃒∫︁∫︁(︁)︁⃒⃒⃒⃒ () − ˜ () ⃒ 6 ˆ (),⃒⃒(8.64)(8.65)где величина ˆ () имеет обычный фейнмановский вид, т.
е. не содер′жит параметра , а интеграл от нее имеет на бо́льшие индексы ′ , ⊥,чем исходная диаграмма (увеличение индексов и появление множителя является следствием использования оценки (8.62)). Поскольку указанные индексы исходной диаграммы были отрицательны, такие индексыдля правой части оценки (8.65) будут меньше либо равны − 1, а значит,при → 0 интеграл можно оценить как 1/−1 . С учетом выделенного множителя это означает, что левая часть (8.65) исчезает в пределе → 0, что и предполагалось показать.В результате получаем, что диаграммы из рассматриваемого класса, вкоторых отсутствуют как пропагаторы поля , так и "лишние" вершины,при → 0 стремятся к значениям диаграмм соответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой ( ).В качестве второго шага рассмотрим оставшиеся диаграммы из указанного в начале пункта класса, т. е.
такие, в которых присутствует хотя225бы один пропагатор поля или хотя бы одна "лишняя" вершина. Покажем, что такие диаграммы исчезают при → 0. Если в диаграммеприсутствуют пропагаторы поля (пусть их число равно > 0), сделаем для них всех в подынтегральном выражении оценку их евклидовойформы:116.||2 + 22(8.66)Для оставшейся части подынтегрального выражения сделаем, как и раньше, оценку (8.63) для величин , стоящих в числителе и оценку (8.64)для стоящих в знаменателе. В результате значение диаграммы можно будет оценить как∫︁ −2 ˆ (),(8.67)где ˆ (), как и раньше, имеет обычный фейнмановский вид.Проанализировав вид "лишних" вершин в формуле (8.50) легко заметить, что разность − меньше либо равна числу вершин, соответствующих предпоследнему слагаемому (8.50) (вклад этой вершины в − равен единице, а остальных "лишних" вершин – меньше либо равен нулю). К указанной вершине должен подходить по крайней мере одинпропагатор поля , в результате чего число таких вершин меньше либоравно удвоенному числу пропагаторов поля (поскольку у рассматриваемого класса диаграмм внешние линии соответствуют только полю ,но не ).
В результате для характеристик диаграммы возникает неравенство − 6 2.(8.68)Будем нумеровать индексом различные поддиаграммы (включая всюдиаграмму) рассматриваемой диаграммы, обозначая относящиеся к нимхарактеристики через , , (внешние по отношению к поддиаграммелинии считаем к ней не относящимися). Неравенство, аналогичное (8.68)нельзя написать для произвольной поддиаграммы, поскольку у нее могутбыть соответствующие полю внешние линии, но его можно написатьдля характеристик части диаграммы, не вошедшей в поддиаграмму, куда226внешние линии поддиаграммы включаются:( − ) − ( − ) 6 2( − ).(8.69)Для всех поддиаграмм рассматриваемого класса диаграмм выполняются неравенства , ⊥6 −1, а значит, в соответствии с формулами(8.59),(8.60) верны неравенства′ ′ , ⊥6 − − 1.(8.70)′Индексы расходимости ′ , ⊥оценивающего интеграла в формуле (8.67)на 2 больше, чем у исходной диаграммы (8.58), поскольку в них недают вклада экземпляров оцененных формулой (8.66) пропагаторов.
Тоже верно и для поддиаграмм. Это означает, что оценивающий интеграл, всвою очередь, можно с точностью до логарифмических поправок оценитькак(︂ )︂∫︁(︁(︀ )︀)︁1ˆ, = max 0, max − − 1 + 2 () 6. (8.71)Здесь берется максимум по всем поддиаграммам, включая полную диаграмму, и используется формула (8.70). Подставляя оценку (8.71) в (8.67),получаем оценку для значения диаграммы в виде(︂(︁)︁)︂max () −2 2− + , max () −2 1+2(− )−( − )+( − ) .(8.72)Используя неравенство (8.69), эту оценку можно заменить на(︀)︀() −2 max 2− + , .(8.73)Ранее (см. после формулы (8.58)) было предположено, что параметр растет как 1/ с точностью до логарифмических поправок.
Используя этопредположение и неравенство (8.68) можно заключить, что либо значениедиаграммы стремиться к нулю, либо2 − + = 0,(8.74)что означает, что она ведет себя как () . На данном (втором) шаге рассуждений мы предполагаем, что в диаграмме присутствует хотя бы один227пропагатор поля (тогда > 0) или хотя бы одна "лишняя" вершина(тогда > 0).
Но если > 0, то из (8.74) следует, что и > 0 (учитываем, что не может быть равно нулю при = 0). Поэтому заключаем,что если верно равенство (8.74), то > 0, а значит значение диаграммыбудет всегда стремиться к нулю при → 0 если дополнительно предположить, что при этом произведение () логарифмически стремится кнулю. Этого можно достичь, если, например, положить() =11 , ln (8.75)где – параметр размерности массы.Таким образом можно заключить, что при выполнении (8.75) все диаграммы рассматриваемого в данном пункте класса, (с внешними линиямитипа , для которых , ⊥ < 0 для всей диаграммы и всех ее поддиаграмм) при → 0 или исчезают, или стремятся к значениям диаграммсоответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой ( ).Найдем общий вид таких диаграмм.
Если проанализировать вклады вопределенную формулой (8.59) величину от пропагаторов (8.53)-(8.55),вершин из выражений (8.56),(8.57) и "лишних" вершин из (8.50), то вид(Λ)но, что все пропагаторы внутренних линий (пропагатор ∆можетотноситься только к внешним линиям) дают вклад "−2", все треххвостые вершины – "+1", а четыреххвостые – "0".
Отсюда с помощью стандартных рассуждений можно заключить, что для однонеприводимых диаграмм верна обычная для непрерывной теории формула = 4 − ,(8.76)где – число внешних линий диаграммы. Можно также показать, что длявеличины ⊥ верна оценка⊥ 6 + − − 2 = 4 + − − − 2,(8.77)где – число петель диаграммы, а − – число внешних линий, соответствующих полю − (однонеприводимые диаграммы с такими внешнимилиниями не дают вклада в функции Грина, но дают вклад в вершинныечасти Γ, в терминах которых удобно формулировать аналог тождеств Уор228да для рассматриваемой теории, что будет необходимо при доказательствеперенормируемости теории).
Используя эти формулы, получаем, что крассматриваемому в данном пункте классу относятся диаграммы с внешними линиями типа , для которых > 4 и − 6 2 как для самойдиаграммы, так и для всех ее поддиаграмм. Именно для таких диаграммверен полученный результат.Кроме того, полученный результат верен также и для содержащих расходимости диаграмм после применения к ним некоторой процедуры вычитания, в результате которой индексы , ⊥ станут отрицательными.8.8Схема процедуры перенормировкиДля того чтобы найти точную форму теории на решетке, которая внепрерывном пределе → 0 превращается в обычную калибровочнуютеорию (содержащую как неабелеву, так и абелеву части), остается провести процедуру перенормировки, т.
е. найти вид контрчленов к действию(8.29), обеспечивающих сокращение расходящихся частей всех диаграмм.Мы ограничимся лишь описанием схемы такой процедуры. Напомним,что, как сказано в разделе 8.6, исследуется калибровочно инвариантная"третья" форма теории, в которой продольные расходимости уже устранены.Перенормировка неабелевой калибровочной теории (без введения решетки) в светоподобной калибровке − = 0 с использованием размерной регуляризации была проведена в работе [163] (см.
также [164]). Изза нарушения калибровкой лоренц-инвариантности при анализе расходимостей диаграмм возникает дополнительная трудность: расходимость попоперечным импульсам 1 , 2 может оказаться хуже, чем полная расходимость диаграммы (см., например, вид пропагатора (8.53)). В результатерасходящиеся части диаграмм могут, в принципе, содержать неполиномиальные по импульсам части [163].Для проведения перенормировки теории с использованием решеточной регуляризации прежде всего нужно сформулировать процедуру вычитания. С ее помощью нужно получить зависимость расходящихся частей диаграмм от внешних импульсов. В теории возмущений решеточнаярегуляризация сводится к появлению поля , модификации пропагатораполя (такой, что при → 0 он возвращаются к обычному виду), добав229лению некоторого числа вершин и обрезанию по поперечным импульсам,см.
раздел 8.5. Это позволяет ожидать, что в основном расходящиеся части диаграмм являются полиномами не выше второго порядка по внешним импульсам, порядок которых определяется обычными размернымисоображениями. Исключения могут возникнуть только для небольшогочисла диаграмм, в которых присутствует расходимость по поперечнымимпульсам.Далее, поскольку теория обладает калибровочной инвариантностью(еще раз отметим, что продольные расходимости устранены калибровочно инвариантным способом, см.
раздел 8.6), можно сформулировать для нее аналог тождеств Уорда. Если записать их в терминахвершинной части Γ[ , ] (являющейся производящим функционаломдля 1-неприводимых функций Грина), то в них войдут, в частности, 1неприводимые диаграммы с внешними линиями, соответствующими полю − . Именно поэтому при формулировке теории, в отличие от работы [45], не было сразу положено − = 0, а вместо этого вводилось полеΛ (см. (8.51)), несмотря на то, что указанные диаграммы не дают вкладав полные функции Грина поля .Кроме калибровочной симметрии, приводящей к выполнению аналогатождеств Уорда, необходимо также при анализе расходимостей диаграммучесть оставшиеся не нарушенными пространственные симметрии.
Этовращательная симметрия в продольном пространстве 3 , 4 (для евклидовой формы теории), а также симметрия относительно дискретной группы поворотов на четверть оборота в поперечном пространстве 1 , 2 , см.формулы (8.31)-(8.33) и текст возле них. Следует учесть, что из-за фиксации калибровки расходящиеся части могут содержать постоянные векторы , ¯ , входящие в пропагатор (8.53), однако, только в комбинации,инвариантной, относительно умножения на число с одновременнымделением ¯ на это число (такой инвариантностью обладает пропагатор(8.53)).Можно ожидать, что использование аналога тождеств Уорда даст такие ограничения на вид расходящихся частей диаграмм, что компенсирующие расходимости контрчлены будут калибровочно инвариантны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
