Диссертация (1145422), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. расходимостейподдиаграмм. При определении этого индекса считается, что все внутренние импульсы диаграммы стремятся к бесконечности. В координатном пространстве это соответствует стремлению друг к другу координатвсех вершин. Если при этом в подынтегральном выражении возникаетполюс порядка , то условие отсутствия общей расходимости величины имеет вид2( − 1) − > 0,237(9.12)где учтено − 1 двумерных элементов объема, а еще один не нужноучитывать вследствие трансляционной инвариантности.Для того чтобы оценить степень полюса, разложим величину по формуле (9.10), причем будем считать, что эта формула применяетсяк подынтегральным выражениям, а знаки интегрирования вынесены зазнак суммы. Найдем степень ′ полюса, возникающего при стремлениидруг к другу координат всех вершин величины ′ .
Из вида пропагатора(9.6) легко заключить, что∆() ∼ ln1,2при → 0.(9.13)Поэтому каждый суперпропагатор, соединяющий вершины разных типов,будет при стремлении координат этих вершин друг к другу давать полюсвторого порядка (исходя из (9.7))Δ() ∼1,2при → 0,(9.14)а соединяющий вершины одного типа – будет давать ноль второго порядка (исходя из (9.8))−Δ() ∼ 2 ,при → 0.(9.15)Представим подынтегральное выражение величины ′ в терминах суперпропагаторов, как это описано после формулы (9.8). Поскольку при этомкаждая пара вершин соединяется суперпропагатором одного из двух типов, то, используя асимптотики (9.14) и (9.15), легко найти полную асимптотику при стремлении координат всех вершин друг к другу, т. е. найти′ .Пусть в ′ имеется 1 вершин первого типа и 2 вершин второго,1 + 2 = .
Тогда число пропагаторов, соединяющих вершины разныхтипов, и число пропагаторов, соединяющих вершины одного типа, соответственно, равны1 2и1 (1 − 1) 2 (2 − 1)+.22238(9.16)В результате общая степень полюса определяется соотношением(︂)︂(−1)(−1)1 12 2′ = 2 1 2 −−= − (1 − 2 )2 6 .22(9.17)Из формулы (9.10) следует, что = max∑︁′ ,(9.18)где максимум берется по всем слагаемым (9.10). Отсюда, используя оценку (9.17) и условие (9.11), находим, что 6 max∑︁ = .(9.19)С помощью этого неравенства можно оценить левую часть условия (9.12)отсутствия общей расходимости величины как2( − 1) − > 2( − 1) − = − 2,(9.20)и заключить, что такая расходимость отсутствует, если > 2.(9.21)Понятно, что при = 1 УФ расходимость отсутствует (с учетом наличия символа нормального упорядочения в лагранжиане (9.3), вследствиечего нет закороченных линий), а значит, единственный случай, когда общая расходимость суммы всех связных диаграмм порядка по можетприсутствовать, это = 2.9.2.2Анализ расходимости во втором порядкеПри = 2 условие (9.12) нарушается, только если 2 > 2.
В соответствии с формулой (9.18) это может произойти, только если 2′ > 2, таккак 1′ = 0 (из-за уже упоминавшегося отсутствия закороченных линий) идолжно выполняться условие (9.11). А это, как видно из формулы (9.17),может выполняться только при 1 = 2 , причем в этом случае 2′ = 2, и,следовательно, 2 = 2. Таким образом, заключаем, что общая УФ расходимость имеет место только для суммы всех связных диаграмм второго239порядка по с вершинами разных типов (1 = 2 = 1) и с фиксированнымспособом прикрепления внешних линий к вершинам.
Эта расходимостьоказывается логарифмической, так как левая часть условия (9.12) равнанулю.Описанная УФ расходящаяся сумма диаграмм дает вклад в любуюфункцию Грина во втором порядке т. в. по . Исследуем наличие общейУФ расходимости у суммы всех таких вкладов в определенную функциюГрина. Для -точечной функции Грина ( > 0) сумма всех вкладов второго порядка по , соответствующих фиксированному типу вершин (вслучае вершин разных типов) находится из лагранжиана (9.3) с учетомформул (9.4)-(9.8)(2) (1 , . . . , ) =⎛⎞(︁ )︁2 ∫︁∏︁ ∑︁⎝2 1 2 2 (−1) +1 ∆( − )⎠ Δ(1 −2 ) . (9.22)=−2=1 =1,2Присутствующий здесь знак суммы осуществляет суммирование по способам присоединения каждой внешней линии диаграммы к разным внутренним вершинам. При (1 − 2 ) → 0 стоящее в (9.22) под знаком произведения выражение в скобках ведет себя как(︁)︁∑︁ +1 (−1)∆( − ) = ∆( −1 )−∆( −2 ) ∼ (1 −2 ), (9.23) =1,2т.
е. улучшает сходимость интеграла в точке (1 − 2 ) = 0. Так как безучета этого факта было показано, что при интегрировании в окрестностиэтой точки (т. е. при стремлении друг к другу координат вершин) можетвозникнуть не более чем логарифмическая УФ расходимость, заключаем,учитывая асимптотику (9.23), что при > 0 -точечная функция Гринаво втором порядке т. в. по не содержит общей УФ расходимости.Поскольку, как уже упоминалось, в первом порядке т. в.
по УФ расходимостей нет, то во втором порядке суммы диаграмм функций Гринане могут содержать расходящихся поддиаграмм. Это означает, что из полученного отсутствия общей (т. е. не учитывающей возможные подрасходимости) УФ расходимости следует реальная УФ конечность -точечнойфункции Грина во втором порядке т. в. по при > 0. Отметим, чтоэтот результат ранее был получен в работе [44] и диссертации [9].2409.2.3Отсутствие расходимости поддиаграммВыясним теперь, могут ли существовать УФ расходимости величины при > 2 за счет присутствия УФ расходящихся сумм поддиаграмм.При = 3 УФ расходиться может только сумма поддиаграмм второго порядка по с вершинами разного типа (см.
начало раздела 9.2.2). В величину входят только связные диаграммы, поэтому у любой поддиаграммывторого порядка всегда есть хотя бы одна внешняя (по отношению к ней)линия. В общей сумме всех диаграмм, составляющих будет присутствовать суммирование по всем способам присоединения этой линии квершинам поддиаграммы, что полностью аналогично рассмотренному вразделе 9.2.2 суммированию по способам присоединению внешних линийк диаграмме второго порядка.
Поэтому использование формул, аналогичных (9.22) и (9.23), позволяет заключить, что сумма поддиаграмм второгопорядка по оказывается УФ конечной. Отсюда следует, что при = 3 увеличины реально отсутствует УФ расходимость.Это, в частности, означает, что при = 4 опять может УФ расходиться только сумма поддиаграмм второго порядка, и можно повторитьприведенное рассуждение для этого случая. Далее, проводя рассуждениепо индукции, получаем результат: сумма всех связных диаграмм порядка > 2 т. в. по является реально (т. е. с учетом возможных подрасходимостей) УФ конечной.
Этот результат верен для диаграмм с любым числомвнешних линий, в частности, и для вакуумных диаграмм при > 2.Объединяя полученный результат с выводами раздела 9.2.2, получаемреальную УФ конечность всех связных диаграмм -точечной функцииГрина во всех порядках т. в.
по при > 0 (т. е. кроме вакуумныхдиаграмм). Отсюда следует УФ конечность всех функций Грина без вакуумных петель, поскольку диаграммы для них представляют собой произведения связных невакуумных диаграмм.9.3Идея проведения "исправления"гамильтониана на с. ф.Применим к теории (9.3) описанный в главе 8 метод "исправления"гамильтониана на с. ф. путем анализа т. в.
для функций Грина во всехпорядках. В порождаемых гамильтонианом на с. ф. "светоподобных" диа241граммах присутствует "светоподобная" регуляризация |− | > > 0 (см.раздел 8.2). Заметим, что изложенное в предыдущем разделе доказательство УФ конечности диаграмм проводилось для лоренц-ковариантнойтеории с использованием перехода к евклидову пространству и не можетбыть повторено для светоподобных диаграмм. Причина этого, в частности, в том, что часть светоподобных диаграмм (такие, в которых все внешние импульсы подходят к одной вершине) оказываются равными нулю(см.
[8]) и сокращения УФ расходимостей не происходит. УФ расходимости светоподобных диаграмм автоматически регуляризуются параметромсветоподобного обрезания . В пределе же → 0 такие расходимостивозникают и должны компенсироваться контрчленами.Наличие даже в лоренц-ковариантной теории УФ-расходимости дляобсуждавшихся в разделе 9.2.2 сумм невакуумных диаграмм 2-ого порядка требует введения промежуточной УФ регуляризации (промежуточной,поскольку окончательные значения невакуумных функций Грина УФ конечны, и перенормировка лоренц-ковариантной теории не требуется).
Вкачестве такой регуляризации можно, например, выбрать регуляризациюПаули-Вилларса. На этом пути был построен бозонный "исправленный"гамильтониан на с. ф. [9]. Полученный гамильтониан содержал контрчленс коэффициентом, пропорциональным киральному конденсату и расходящимся в пределе снятия регуляризации Паули-Вилларса. В результатепри проведении непертурбативных расчетов оказывается необходимымсохранять эту регуляризацию. Кроме того, из-за невозможности снять регуляризацию Паули-Вилларса в гамильтониане на с. ф. оказывается такженевозможным перейти обратно от бозонного описания теории к фермионному и получить гамильтониан на с.
ф. в фермионных терминах, присущих исходной калибровочной теории.Для того чтобы избежать указанных трудностей, будем использоватьспециальную УФ регуляризацию лоренц-ковариантного пропагатора бозонного поля :∆ () ={︃−+∆ (), {| | 6 } ∩ {| | 6 },∆(),{|− | > } ∪ {|+ | > },242(9.24)где ∆ () – светоподобный пропагатор∆ () =∫︁−|− |>(+ +− ),+2+ − − 2 + 0−∞∫︁+∞−(9.25)а является параметром УФ регуляризации. Эта регуляризация обладает замечательным свойством: после перехода к координатам с.
ф. она невносит дополнительных модификаций в теорию, кроме уже имеющегося обрезания |− | > > 0 и позволяет совершить обратный переход кфермионным переменным.К сожалению, при использовании регуляризации (9.24) пропагатор лоренцевой т. в. существенно зависит от параметра , поскольку предел → 0 отвечает снятию регуляризации. Вследствие этого, прямое сравнение в импульсном пространстве светоподобной и лоренцевой т. в. по описанному в главе 8 методу становится невозможным, так как из-за сложности выражения для суперпропагатора в импульсном пространстве неудается вычленить полную зависимость от разности результатов вычисления диаграмм в лоренцевых координатах и в координатах с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
