Диссертация (1145422), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для чистопоперечных компонент напряженности будем использовать два представления. Первое из них(1) ())︁ (︁= 2 () ( − ) − () ( − ) =(︃ x −rek rxrx= 2−rrrx − ek − elx − ek − el)︃(8.24)x − elантисимметрично по перестановке , и имеет закон преобразования(1) ′(1) () = () () + ( − − ).(8.25)В качестве второго представления возьмем выражение(2) ())︁ (︁++= 2 ( − ) ( − ) − () () ,211(8.26)которое можно изобразить в виде(2) () = 2rrxx − ek(︃rx − ek − el(2) () = 2(︃rrx − err−lx − ekx − 2ekrx − ekxrrx)︃rx − e−rr ̸= ,,lx − ekrx)︃.(8.27)Оно не является антисимметричным (вместо этого оно удовлетворяет(2)+(2)условию = − ) и имеет закон преобразования(2) ′(2) () = ( − ) () + ( − ).(8.28)В качестве затравочного действия теории возьмем следующее выражение:∑︁ ∫︁2 =2 ‖ (1 + 2 + 3 + ) ,(8.29)⊥где1 = −)︀1 ∑︁ (︀tr = tr(03 03 ) ,2,∑︁ (︀)︀2 = −tr +,,)︁1 ∑︁ (︁ (1)+ (1)(2)+ (2)3 = −tr + ,4,)︀2 )︁2 ∑︁ (︁(︀+ = − 2 2tr () () − .4 (8.30)Обсудим симметрии действия (8.29).
Легко проверить, что каждое изего слагаемых инвариантно относительно калибровочных преобразований. Полной лоренц-инвариантностью рассматриваемое действие, естественно, не обладает из-за наличия решетки. Вместо этого, прежде всего,остается инвариантность относительно лоренцевых бустов в плоскостинепрерывных координат 0 , 3 . Кроме того, имеется инвариантность относительно дискретной группы поворотов на четверть оборота в плоскости 1 , 2 , переводящей решетку в себя. Чтобы это увидеть, достаточно212заметить, что вклад в действие величины 1 представляет собой суммупо узлам, вклады 2 и представляет собой сумму по всем ребрам (сучетом суммирования по ), а величину 3 можно записать в виде13 = − 2 42 rrxrx − e1(︃r+x − e1 − e2(︃−21 ∑︁− 2 44 (︃rrx − ekrrx − e2x − e1rrrr +r+rx − errrrx − ekrrx − e1r+2x − 2ekrxx − e1 − e2rxx − e1 − e2xrxrx − e1rx − ex − e1 − e2−2rrx − e1rxrrx − e1 − e2 x − e22−)︃)︃rx − errx − ekx − 2ekr+−2xr)︃,(8.31)указанная инвариантность которого после суммирования по ⊥ очевидна.Полезно сформулировать закон преобразования полей под действиемтакой дискретной группы.
Очевидно, что при замене координат, при которой новые координаты ′ получаются из старых координат поворотомосей 1, 2 на четверть оборота по часовой стрелке, имеют место соотношения:′1 = −2 ,′2 = 1 ,1 ′ = −2 ,1′ (′ ) = 2+ ( + 2 ),2 ′ = 1 ,2′ (′ ) = 1 ().(8.32)Отсюда, вследствие представления (8.21), легко найти закон преобразования полей:′1 (′ ) = −2 ( + 2 ),1′ (′ ) = 2 ( + 2 ),′2 (′ ) = 1 (),2′ (′ ) = 1 ().(8.33)Эти формулы будут полезны в дальнейшем.
Отметим, что в пределе → 0 поле преобразуется так, как должен преобразовываться присоответствующем повороте обычный вектор, и, в частности, при повороте на половину оборота меняют знак. Для поля же закон преобразования оказывается другим и при повороте на половину оборота оно неизменяется.Рассмотрим теперь, во что переходит действие (8.29), если взятьнаивный непрерывный предел → 0.
Для этого сначала рассмот213рим, во что в этом пределе переходят определенные формулами(8.22),(8.23),(8.24),(8.26) компоненты напряженности. Если через обозначить обычное выражение напряженности калибровочного поля = − − [ , ],(8.34)то мы имеем: = ,(1)(1)ˆ = − , −→ →0ˆ = − ( − ) + [ , ], −→ →0(2) −→→0ˆ (2) = − ( + ) − [ , ],(8.35)где () = () − [ (), ()].(8.36)Отметим, что поля и не бесследовые, они содержат как неабелевы,так и абелевы составляющие.Взяв предел для величины при фиксированном параметре , имеемˆ = −2 −→ →0∑︁tr( ) .(8.37)Подставляя эти выражения в формулы (8.29),(8.30), получаем:(︂∫︁1 −→ 4 tr − + ( )( )−→02)︂− 2 [ , ][ , ] − 2 . (8.38)Здесь и далее по повторяющимся дважды индексам как всегда подразумевается суммирование.Такой вид наивного непрерывного предела действия позволяет надеяться, что, если играющий роль массы поля параметр стремится кбесконечности при → 0, то поле в таком пределе будет отключаться.
Легко заметить, что согласно (8.38) неабелева (бесследовая) и абелева(пропорциональная единичной матрице) части поля не взаимодейству214ют друг с другом и их вклады в действие имеют обычный вид. Поэтомуможно надеяться, что функции Грина полей рассматриваемой теориибудут в непрерывном пределе воспроизводить функции Грина совокупности обычных неабелевого и абелевого калибровочных полей. Для тогочтобы проверить это в рамках теории возмущений по константе связи, необходимо сформулировать правила Фейнмана для теории на поперечной решетке со вспомогательным полем , и провести процедуруперенормировки.8.5Фейнмановская теория возмущенийпри наличии поперечной решеткиБудем строить фейнмановскую теорию возмущений в пространствес поперечной решеткой.
Для этого введем некоторые обозначения, удобные при работе с решеткой. Определим дискретную производную вдольнаправлений 1 , 2 двумя способами:1´ () = (() − ( − )) ,1` () = (( + ) − ()) .(8.39)Обе эти формулы в непрерывном пределе переходят в обычную производную. Легко проверить, что выполняются тождества[´ , ´ ] = [` , ` ] = [´ , ` ] = 0,(8.40)а также верна формула, дающая дискретный аналог интегрирования почастям:)︁(︁)︁∑︁ (︁∑︁´` () () = − () () .(8.41)⊥⊥Для полей, заданных в координатном пространстве на поперечной решетке, импульсное пространство по направлениям 1 , 2 имеет конечныйразмер 2/, и поля в импульсном пространстве являются периодическими функциями.
Связь между функциями () и (), соответствующими215координатному и импульсному пространству, дается формулами(︂)︂∑︁ ∫︁22 ‖ − (), +() = 2= (),⊥1() =(2)4∫︁/∫︁/1−/∫︁22 ‖ (),(8.42)−/т. е. часть интегралов Фурье заменяется рядами Фурье. Здесь и далеепредполагается, что при поднимании или опускании индексов , , . .
. изменяется знак, т. е. = + = − .Как видно из формулы (8.42), при переходе в импульсное пространство дискретные дифференцирования (8.39) переходят в операторы умножения:)︀1 (︀1 − − ≡ ,´ →)︀1 (︀ ` → − 1 = * ,(8.43)где "*" означает комплексное сопряжение. Поскольку при таком переходе → , удобно ввести обозначение ≡ , тогда можно писать´ → . Заметим, что = − /2sin( /2)−→ .→0/2(8.44)Обозначим также:|⊥ |2 ≡ * =∑︁ (︂ sin( /2) )︂2/22−→ ⊥,→0||2 ≡ ‖2 −* −→ 2 . (8.45)→0Сформулируем фейнмановскую теорию возмущений по , беря в качестве независимых переменных поля и (в соответствии с (8.21)это эквивалентно использованию в качестве независимых переменныхполя () и комплексного матричного поля ()).
Перепишем действие (8.29) в терминах этих полей. Для этого, прежде всего, запишемвыражения (8.23),(8.24),(8.26) для компонент напряженности, используядискретные производные.Например, выражение (8.23) можно записать как () = () − ´ () − [ (), ()]−216− () − ()´ (),(8.46)где () определяется формулой (8.21). Видно, что это выражение отˆ , () из формулы (8.35) (в которомличается от предельного значения под нужно понимать ´ ) только последним слагаемым. Это слагаемое,имея лишний множитель , исчезает в непрерывном пределе.
В дальнейших рассуждениях для слагаемых такого рода будет важна только ихструктура, но не точное выражение, поэтому мы будем записывать ихсимволически, опуская значки и числовой коэффициент. Более того, далее для удобства будем через без индекса обозначать любую линейнуюкомбинацию всех компонент полей , .
Тогда формулу (8.46) можнозаписать какˆ () + ´⊥ ‖ , () = (8.47)где символ ‖ соответствует значениям индекса 0, 3, а ⊥ – значениям 1, 2.Аналогичным образом можно получить, что(1)ˆ (1) () + ´⊥ , () = (︁)︁2(2)(2)2 ´´ˆ () = () + ⊥ + ⊥ ,(8.48)где в величинах со шляпками под понимается ´ . Далее, величину можно записать в виде(︁(︀)︀(︀ 4 )︀)︁222 2ˆ = + tr + tr .(8.49)Используя формулы (8.47)-(8.49), действие (8.29) можно записать ввиде(︃ (︂∑︁∫︁1˜ )(˜ )− = 22 ‖ tr − ˜ ˜ + (2⊥)︂22− [ , ][ , ] − +(︁)︁ ∑︁(︁)︁+−2 +2−4 ´´+ tr (‖ )(⊥ ‖ ) +tr (⊥ ) +,)︃(︀)︀(︀)︀+2 tr 2 + 2 2 2 tr 4 ,217(8.50)где пара чисел , принимает значения (0, 3), (0, 4), (1, 2), (1, 3), (2, 2),(3, 1).
Здесь использована упомянутая выше символическая запись, по по˜ ,вторяющимся индексам подразумевается суммирование, а через ˜ , ˜ обозначены соответствующие величины, в которых дифференцирование в поперечных направлениях заменено дискретным дифференцированием ´ .Для дальнейшего построения теории возмущений необходимо фиксировать калибровку. Поскольку в дальнейшем предполагается использовать рассматриваемую формулировку калибровочной теории для построения гамильтониана на с. ф., будем применять светоподобную калибровку− = 0.
Как известно, такая калибровка не приводит к появлению духов Фаддева-Попова и может быть введена путем добавления к действиючлена, который при наличии поперечной решетки можно записать как∑︁∫︁gf22 ‖ tr(Λ ) ,(8.51) = −2⊥где – светоподобный вектор, лежащий в плоскости непрерывных координат , − = 1, +, = 0, а Λ – вспомогательное эрмитовое матричноеполе (не бесследовое), рассматриваемое как дополнительная независимаяпеременная. Будем считать, что этот член добавлен к действию (8.50).Выделим из действия = + gf свободную часть 0 , квадратичнуюпо полям , :0 = 2∑︁∫︁⊥(︂1−(´ )(´ ) + (´ )2 − 2Λ +2 ‖2)︂2+(´ )(´ ) − ,(8.52)где , , Λ – коэффициенты разложения соответствующих матрицпо базису эрмитовых матриц /2, = 0, 1, 2, .
. ., обладающих свой√︀(︀)︀2/ , tr(1 ) = tr(2 ) = . . . = 0, tr = 2 ,ствами: 0 =[ , ] = 2 , где – структурные константы, 0 = 0. Проводяинтегрирование по частям и его дискретный аналог (8.41), а затем обращая квадратичную форму и переходя по формулам (8.42) в импульсноепространство (используя также (8.43) и обозначения (8.45)), несложно218получить выражения для пропагаторов:()∆()(︂)︂* + =− 2 −2 ¯ ,|| + 0‖2 + 0∆(Λ)() =− 22 ¯,‖ + 0()∆()∆(ΛΛ) = 0, = 2,|| − 2 + 0(8.53)(8.54)(8.55)где все появившиеся полюса записаны с использованием предписанияМандельстама-Лейббрандта [160, 161], позволяющего совершать в диаграммах переход к евклидову пространству; ¯ + = 1, ¯ −, = 0.
Отметим,что свертка ∆(ΛΛ) поля Λ с самим собой оказывается равна нулю, зато(Λ)отлична от нуля недиагональная свертка ∆поля Λ с . Остальныенедиагональные свертки равны нулю.Результат вычитания из действия свободной части 0 является действием взаимодействия, слагаемые которого дают вершины фейнмановских диаграмм. Будем называть "лишними" вершины, соответствующиепоследним четырем слагаемым (8.50), поскольку они имеют дополнительный множитель и, следовательно, исчезают в наивном непрерывномпределе → 0. Кроме них действие взаимодействия содержит обычные,с точностью до замены на ´ , члены третьего и четвертого порядкасамодействия поля 1=2∑︁∫︁⊥)︂(︂ 2 ´ , (8.56) − − 42‖а также члены взаимодействия полей и и самодействия поля 2 = 2∑︁∫︁⊥(︂2 ‖ ´ +)︂)︀ 2 (︀ + .
(8.57)+ 2219Отметим, что поскольку 0 = 0, в эти выражения не входят абелевысоставляющие полей, вследствие чего их взаимодействие с остальнымиполями обеспечивается только за счет "лишних" вершин.8.6Продольные ультрафиолетовыерасходимостиВ этом разделе обсуждается схема рассуждений, позволяющая использовать аналог тождеств Уорда при анализе расходимостей, несмотря нато, что поперечная решетка не обеспечивает полной УФ регуляризациитеории.Проанализируем, какие УФ расходимости имеются в рассматриваемойтеории. Ясно, что пока постоянная решетки конечна, расходиться могуттолько фейнмановские интегралы по продольным компонентам импульсов 0 , 3 , поскольку область интегрирования по поперечным импульсам1 , 2 при этом конечна.
Поэтому при конечном УФ расходиться будуттолько диаграммы, содержащие в качестве поддиаграмм (или совпадающие с ними) однонеприводимые диаграммы с ‖ > 0, где ‖ – индексУФ расходимости в подпространстве 0 , 3 . Подсчитав вклады в ‖ отпропагаторов (8.53)-(8.55) и вершин, определяемых выражениями (8.56),(8.57) и тремя последними слагаемыми формулы (8.50), несложно найти все такие однонеприводимые диаграммы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
