Диссертация (1145422), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Это все диаграммы с однойвершиной и закороченными линиями, а также диаграммы, имеющий показанный на рис. 8.3 вид, где линиям диаграммы могут соответствоватьполя или .Рисунок 8.3Таким образом, введение поперечной решетки не приводит, как и следовало ожидать, к полной УФ регуляризации теории, однако УФ расходящимся остается только конечное число диаграмм. Для дальнейшей работы с теорией возмущений необходимо ввести дополнительную регуляризацию, делающую теорию полностью конечной. Если пытаться сформулировать теорию в форме, позволяющей проводить каноническое кванто220вание в координатах с. ф., то, к сожалению, дополнительную регуляризацию не удается ввести без нарушения калибровочной инвариантности.Самое простое – это взять гамильтониан взаимодействия в нормальноупорядоченной форме, что приведет к исчезновению всех диаграмм с закороченными линиями, а для регуляризации диаграмм типа рис.
8.3 ввести в квадратичную часть действия высшие нековариантные производныес параметром регуляризации Λ, как это было сделано в работе [45]. Будемназывать результат теорией в "первой" форме. Ясно, что "первая" форматеории не обладает калибровочной инвариантностью, что чрезвычайноусложняет анализ расходимостей, поскольку нельзя сформулировать аналог тождеств Уорда.Для преодоления этой трудности предлагается поступить следующимобразом. Рассмотрим промежуточную форму (назовем ее "второй" формой) теории, в которой в дополнение к поперечной решетке в качестве дополнительной регуляризации вводится сохраняющая калибровочную инвариантность размерная регуляризация с параметром .
Ввести размерную регуляризацию при наличии поперечной решетки можно по методу,изложенному в книге [162], согласно которому интегрирование по поперечным направлениям 1 , 2 импульсного пространства должно делатьсяв последнюю очередь, а квадрат продольной части импульса ‖2 послеповорота Вика "продолжается" до квадрата бесконечномерного вектора.Рассмотрим предел → 0 для диаграмм "второй" формы теории.
Длявсех диаграмм, кроме диаграмм с закороченными линиями или с поддиаграммами типа рис. 8.3, возьмем предел → 0, в котором они будутиметь конечное значение, совпадающее со значением соответствующихдиаграмм "первой" формы теории в пределе Λ → ∞. Для диаграмм типарис. 8.3, а также для диаграмм с одной вершиной и закороченными линиями вычислим их значения и проведем вычитание по минимальной схеме,т.
е. отбросим полюса по , получив в пределе → 0 "перенормированные" значения диаграмм (кавычки здесь подчеркивают, что это не полнаяперенормировка, поскольку все делается при фиксированном параметререшетки , обеспечивающем частичную УФ регуляризацию теории). Вдиаграммах, в которых такие диаграммы встречаются в качестве поддиаграмм, будем использовать "перенормированные" значения. В результатемы получим значения всех диаграмм теории в пределе снятия размерной регуляризации. Назовем их совокупность "третьей" формой теории.По построению, диаграммы "третьей" формы теории будут удовлетво221рять некоторому аналогу тождеств Уорда, что помогает анализировать ихрасходимости в пределе → 0.Теперь нужно добавить к действию "первой" формы теории контрчлены, компенсирующие расходимости диаграмм типа рис.
8.3 при Λ → ∞ ификсирующие их конечные в этом пределе части так, чтобы они совпалис полученными с помощью размерной регуляризации "перенормированными" значениями, соответствующими "третьей" форме теории. Такиеконтрчлены не будут содержать дифференцирований, поскольку для указанных диаграмм ‖ = 0. Аналогично нужно поступить для диаграмм содной вершиной и закороченными линиями с той разницей, что в "первой" форме теории они равны нулю, и значит, контрчлены будут содержать только конечную по Λ часть.
Важно, что диаграмм, для которыхпредлагается сделать такую процедуру, конечное (и не слишком большое)число. В результате получится, что все функции Грина "первой" формытеории (с учетом добавленных контрчленов) в пределе Λ → ∞ будут совпадать с соответствующими функциями Грина "третьей" формы теории.В оставшихся разделах данной главы будем анализировать только"третью" форму теории, т. е. будем считать что продольные расходимости уже устранены калибровочно инвариантным способом. Необходимов первую очередь показать, что ее функции Грина совпадают (после перенормировки) с перенормированными функциями Грина непрерывнойтеории, а нефизические поля отключаются.Только после того, как это будет сделано, будет иметь смысл точносформулировать "первую" форму теории, выбрав некоторую калибровочно неинвариантную продольную регуляризацию и вычислив необходимые диаграммы (см.
выше). Функции Грина такой теории (с учетом добавленных контрчленов) при последовательном взятии пределов (сначалаΛ → ∞, затем → 0), также будут совпадать с перенормированнымифункциями Грина непрерывной теории. Именно "первую" форму теорииможно будет использовать для построения "исправленного" гамильтониана на с. ф.
и проведения непертурбативных расчетов.8.7Анализ нерасходящихся диаграммПокажем, что все не содержащие УФ расходимостей диаграммы свнешними линиями типа в непрерывном пределе → 0 (при этом222 → ∞) либо совпадают с соответствующими диаграммами непрерывной теории, либо исчезают, что соответствует отключению нефизическихстепеней свободы.Будем анализировать однонеприводимые диаграммы фейнмановскойтеории возмущений с описанными в разделе 8.5 пропагаторами и членами взаимодействия. Будем считать, что сделан поворот Вика 0 = 4 , т. е.совершен переход к вычислению диаграмм в евклидовом пространстве,а также введена дополнительная размерная регуляризация (см.
предыдущий раздел). Отметим, что после перехода к евклидову пространству связанный с калибровочным условием вектор становится комплексным:√√4 = / 2, 3 = −1/ 2, а входящий в пропагаторы (8.53),(8.54) вектор¯ оказывается комплексно сопряженным к нему: ¯ = * .Важную роль при анализе диаграмм т. в. играет индекс УФ расходимости . В рассматриваемой теории из-за необычного вида пропагаторови наличия "лишних" вершин его необходимо определить специальнымобразом. Рассмотрим произвольную многопетлевую диаграмму, символически записывая ее в виде∫︁ = ().(8.58)Найдем главный член асимптотики ее подынтегрального выражения ()при → 0 при фиксированном . Он будет иметь вид ˜ (), где˜ () – обычное фейнмановское подынтегральное выражение (вследствиеформул (8.44),(8.45)), а и – некоторые неотрицательные числа, зависящие от вида диаграммы (они определяются количеством и типом "лишних" вершин).
Предположим, что при → 0 параметр растет как 1/с точностью до логарифмических поправок (можно показать, что еслиэтого предположения не сделать, то не удается достичь результата, сформулированного в конце этого раздела). Обозначим через ′ определяемый∫︀обычным способом индекс УФ расходимости интеграла ˜ (). Тогдабудем называть обобщенным индексом расходимости данной диаграммывеличину = ′ + − .(8.59)Далее будет видно, что именно эта величина определяет сходимость диаграмм в пределе → 0 (напомним, что величина / играет роль об223резания по поперечным импульсам). Поскольку из-за нарушения лоренцинвариантности расходимость в поперечных направлениях 1 , 2 можетоказаться сильнее общей расходимости, полезно ввести также обобщенный индекс расходимости в поперечном направлении:′⊥ = ⊥+ − .(8.60)Будем изучать поведение диаграмм при → 0 и сделанном вышепредположении о поведении ().
Ограничимся в этом пункте классомдиаграмм с внешними линиями, соответствующими полю , для которых обобщенные индексы , ⊥ < 0 (равно как и продольный индекс‖ < 0) как для самой диаграммы, так и для любой ее поддиаграммы. Поскольку ‖ < 0, можно считать что для таких диаграмм дополнительнаяразмерная регуляризация снята. Отметим, что из , ⊥ < 0 следует, что, ⊥ 6 −1.В качестве первого шага рассмотрим диаграммы, в которых отсутствуют как пропагаторы поля , так и "лишние" вершины. Отметим,что множество таких диаграмм совпадает с множеством всех диаграмм,присутствующих в соответствующей непрерывной теории калибровочного поля с группой ( ). Для них = = 0, а значит, ′ = < 0 и′⊥= ⊥ < 0.
Подынтегральные выражения () таких диаграмм представляют собой произведение пропагаторов (8.53) и вершинных множителей вида (см. определение в формулах (8.43),(8.44) и тексте междуними) из вершин (8.56). Здесь условно обозначает сразу все импульсыинтегрирования. Разобьем соответствующий диаграмме интеграл на дваслагаемых∫︁∫︁∫︁(︁)︁˜˜ = () = () + () − () ,(8.61)где ˜ () – предел () при → 0. В первом слагаемом параметр уже невходит в подынтегральное выражение, которое совпадает с обычным длянепрерывной теории видом, а остается только в пределах интегрирования: импульс каждой линии ограничен условиями |1,2 | 6 /. Поскольку′все индексы ′ , ⊥, ‖ < 0 (как для всей диаграммы, так и для ее поддиаграмм), это слагаемое имеет конечный предел при → 0, совпадающий срезультатом вычисления соответствующей диаграммы непрерывной теории.224Теперь покажем, что второе слагаемое разложения (8.61) исчезает впределе → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
