Диссертация (1145422), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Кратко описывается предложенный ранее метод "исправления" гамильтониана на световом фронте путем анализадиаграмм для функций Грина во всех порядках теории возмущений. Излагаются результаты его применения к четырехмерной квантовой электродинамике. С целью применения этого метода к неабелевой калибровочной теории с максимальным сохранением калибровочной инвариантности описывается построение фейнмановской теории возмущений длятакой теории при использовании поперечной решетки, а также результаты, полученные при ее анализе. Результаты данной главы опубликованы в работах [136–140].8.1Каноническое квантованиев координатах светового фронтаИдея квантования релятивистских полей на световом фронте (с. ф.)была выдвинута П.
Дираком [2], который ввел вместо лоренцевых коор196динат 0 , 1 , 2 , 3 координаты светового фронта:1± = √ (0 ± 3 ),2⊥ ≡ ,(8.1)где = 1, 2; в данной главе используется сигнатура (+, −, −, −). Приэтом предполагается, что "светоподобная" координата + будет игратьроль времени, а вторая светоподобная координата − – роль одной изпространственных координат, наряду с "поперечными" координатами .Теория поля квантуется на гиперплоскости + = 0, которая касается светового конуса и поэтому соответствует световому фронту.
Рольгамильтониана играет генератор трансляций вдоль + , т. е. оператор√√+ = (0 + 3 )/ 2, а оператор − = (0 − 3 )/ 2, отвечающий трансляциям вдоль − , играет роль одной из компонент импульса ("светоподобная" компонента).Основное преимущество квантования на с. ф. – это формальное упрощение проблемы описания квантового вакуумного состояния в теорииполя. Обычно в лоренцевых координатах поля квантуются при фиксированном времени, например, при 0 = 0, и их фурье-образы определяютсоответствующие данному моменту времени операторы рождения и уничтожения + () и ().
Математический вакуум определяется условиями()|0⟩ = 0.(8.2)Такое состояние соответствует вакууму свободной теории и не совпадаетс физическим вакуумом теории со взаимодействием. При решении стационарного уравнения Шредингера в фоковском пространстве над этимматематическим вакуумом, требуется описать физическое вакуумное состояние в терминах математического вакуума и соответствующих емуоператоров рождения. Такое описание в принципе возможно, если введены ультрафиолетовая и инфракрасная регуляризации. Однако это описание чрезвычайно сложно (в простейших моделях часто ограничиваются"гауссовым" приближением [141]).При квантовании в координатах с.
ф. существенно, что светоподобная компонента импульса − неотрицательна, причем для состояний сположительным квадратом массы − > 0. Поэтому при отсутствии безмассовых физических частиц состояние с импульсом − = 0 формальноописывает физический вакуум, т. е. отвечает также и минимуму операто197ра + . С другой стороны, оператор импульса − оказывается генераторомсдвига вдоль оси − и не смещает поверхности квантования, поэтому онявляется кинематическим (по терминологии Дирака), в отличие от динамического генератора + . В результате этого оператор импульса − оказывается квадратичным по полям и не зависит от взаимодействия, вследствие чего математический вакуум (определяемый операторами рожденияи уничтожения на с. ф.) отвечает минимуму этого оператора, т.
е. формально совпадает с физическим вакуумом [31] (пока – формально, из-заприсутствия расходимостей в теории).Продемонстрируем это на примере теории массивного скалярного поля, задаваемой плотностью лагранжиана ℒ():1111ℒ = − 2 2 − () = + − − − 2 2 − (). (8.3)2222Для построения канонического формализма при + = 0, введем фурьепреобразование поля () по координате − , учитывая неотрицательность импульса − :1(− , ⊥ ) = √2∫︁∞0)︁1 (︁ +⊥ − −⊥ −− − (− , )+ (− , ).(8.4)− √2−Тогда содержащий производные по времени + вклад в лагранжиан =∫︀ 2 ⊥ − ℒ() будет иметь вид∫︁1=22 ⊥ − + − =∫︁∫︁∞2 ⊥0(︀)︀− (− , ⊥ )+ + (− , ⊥ ) − + (− , ⊥ )+ (− , ⊥ ) .(8.5)Это есть каноническая форма, в которой (− , ⊥ ) и + (− , ⊥ ) играютроль канонически сопряженных переменных. Соответственно, квантовыеоператоры (− , ⊥ ) и + (− , ⊥ ) удовлетворяют (при + = 0) каноническим коммутационным соотношениям (см.
раздел 1.2)[(− , ⊥ ), + (− , ⊥ )] = (− − − ) 2 (⊥ − ⊥ ),[(− , ⊥ ), (− , ⊥ )] = [+ (− , ⊥ ), + (− , ⊥ )] = 0.198(8.6)Используя выражение для тензора энергии-импульса = − ,(8.7)можно найти оператор − :∫︁∫︁∫︁∫︁− = 2 ⊥ − −− = 2 ⊥ − (− )2 =∫︁=2 ⊥∫︁∞0− − + (− , ⊥ )(− , ⊥ ),(8.8)где отброшена бесконечная постоянная. Определим состояние математического вакуума |0⟩ условиями(− , ⊥ )|0⟩ = 0(8.9)при − > 0. Тогда − |0⟩ = 0, и состояние |0⟩ можно рассматривать какфизический вакуум. Чтобы это имело место, и пришлось полностью отбросить бесконечную постоянную в равенстве (8.8).Гамильтониан можно получить стандартным способом (см. главу 1) излагранжиана, записанного в терминах переменных (− , ⊥ ) и + (− , ⊥ ).В рассматриваемой теории он совпадает (с точностью до постоянной) свыражением∫︁∫︁2 ⊥+ = − −+ =)︂(︂∫︁∫︁1 2 22 ⊥− 1 + + () .
(8.10)= 22Как видно из формул (8.8) и (8.10), в подтверждение сказанному выше,кинематический оператор − имеет простой вид, он квадратичен по операторам рождения и уничтожения, а сложная структура взаимодействияповлияла только на вид светоподобного гамильтониана + , но не на − .Поскольку при квантовании на с. ф. математический вакуум совпалс физическим, построенное над ним фоковское пространство удобно использовать для описания решений соответствующего аналога стационарного уравнения Шредингера, определяющего массы связанных состояний199при фиксированных значениях импульсов − и ⊥ ≡ (1 , 2 ):+ |⟩ = |⟩ = + |⟩,− |⟩ = − |⟩,⊥ |⟩ = 0.(8.11)При этом масса связанного состояния определяется соотношением 2 = 2+ − .(8.12)Такой поиск связанных состояний можно проводить вне рамок теориивозмущений, например, с помощью уже упоминавшегося во Введении"метода дискретизованного квантования на световом фронте" (DLCQ ванглоязычной литературе) [4, 34, 35]. Это позволяет использовать каноническое квантование на с.
ф. в качестве одного из немногих непертурбативных (т. е. не использующих теорию возмущений) методов расчета,что чрезвычайно актуально при описании сильного взаимодействия элементарных частиц при низких энергиях, когда константа взаимодействияне мала и применение теории возмущений оказывается непродуктивно.Подробности о каноническом квантовании на с. ф. для различных теорийполя, в том числе с включением как фермионов, так и неабелевых калибровочных полей, можно найти в обзорных работах [4, 56, 57], см. такжецитированную там литературу.При использовании канонического квантования на с. ф.
кроме описанных выше преимуществ возникают также и некоторые дополнительныетрудности. Прежде всего, это специфические "светоподобные" особенности и расходимости, которые появляются в этом подходе при импульсе− , стремящемся к нулю [4, 57]. С точки зрения лоренцевых координатэти расходимости можно интерпретировать не только как инфракрасные,но и как ультрафиолетовые (УФ), так как предел − → 0 достигается вобласти 3 → ∞ при условии, что 2 = 2 .Для регуляризации указанной расходимости можно ввести простоеобрезание |− | > > 0, нарушающее лоренцеву и калибровочную инвариантности. В этом случае теория уже не сможет содержать вакуумные эффекты типа конденсатов и спонтанного нарушения симметрии, чтоестественно, поскольку именно в этом случае физический вакуум совпадает с математическим в строгом смысле.
Все эффекты, считающиеся200вакуумными в обычном подходе, теперь должны учитываться в виде дополнительных членов в гамильтониане на с. ф., что сделать очень трудно.Можно использовать другую регуляризацию, сохраняющую калибровочную инвариантность – обрезание координаты |− | 6 с введением периодических граничных условий полей по этим координатам (она применяется в упомянутом выше методе DLCQ). Тогда импульс − становитсядискретным (− = = /, – целое) и явно отделяется нулевая мода поля, соответствующая = 0.
В принципе, канонический формализмпозволяет выразить эту нулевую моду через другие с помощью решенияуравнений связей, но обычно это является сложной задачей [54, 55]. Приэтом вопрос о совпадении физического и математического вакуумов заметно усложняется.Еще одной трудностью является тот факт, что при квантовании нас. ф. трудно ввести УФ регуляризацию, сохраняющую лоренцеву и калибровочную симметрии, а использование неинвариантной регуляризации усложняет процедуру перенормировки и может, в частности, приводить к появлению необычных контрчленов и связанных с ними новыхпроизвольных констант [45].8.2"Исправление" квантовогоканонического гамильтониана на с. ф.Заметим, что даже если описанные в предыдущем разделе "светоподобные" особенности не дают расходимости в пределе снятия введеннойрегуляризации (например, при → 0), то нельзя быть уверенным в том,что теория на с.
ф. обязательно будет эквивалентна теории в лоренцевых координатах. Это связано с тем, что переход к координатам с. ф.,в отличие от перехода от одних лоренцевых координат к другим, не является преобразованием симметрии с физической точки зрения и такойпереход, вместе с необходимостью хотя бы промежуточной регуляризации "светоподобных" особенностей, может приводить к нарушению лоренцевой симметрии.
Возможность отсутствия эквивалентности подтверждается вычислениями функций Грина даже в низших порядках теориивозмущений (т. в.) по константе связи [6, 7]. То же самое показывает иопыт непертурбативных вычислений на основе гамильтонова формализма201на с. ф. – результат вычисления может отличаться от соответствующегорезультата, полученного в лоренцевых координатах [142–144].Таким образом, проводя каноническое квантование теории в координатах с. ф., мы получаем теорию с простым физическим вакуумом, ноэта теория может быть неэквивалентна исходной теории. В результатевозникает задача "исправления" канонического гамильтониана на с.
ф.(являющегося результатом "наивного" квантования в координатах с. ф. сиспользованием обрезания |− | > > 0), т. е. задача поиска контрчленовк нему, компенсирующих разницу, обнаруживающуюся между результатами вычисления по т. в. порождаемых им функций Грина, и вычисляемых в лоренцевых координатах функций Грина исходной теории. Еслиэту задачу удается решить во всех порядках т. в., то потом полученныйисправленный гамильтониан на с.
ф. можно использовать для проведениянепертурбативных расчетов. Пример полной реализации этой программыбудет приведен в главе 9.Метод решения описанной задачи был предложен в работе [8] и диссертации [9]. В нем использовано, что т. в. для функций Грина, порождаемая гамильтонианом на с. ф., может быть представлена как фейнмановская т. в. с теми же диаграммами, но с обрезанием |− | > > 0 и соспециальным правилом интегрирования: сначала интегрирование по + , азатем по остальным компонентам импульсов [145–147] (будем такие диаграммы называть "светоподобными").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
