Диссертация (1145422), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть пространство-время содержит светоподобную гиперповерхность , на которой ортогонально ко всем касательным к векторам (при этом сам вектор является светоподобным вектором, касательным к ), в этом случае называют горизонтом Киллинга. Тогдав точках поверхности выполняется соотношение = ,(7.4)определяющее поверхностную гравитацию (где обозначает ковариантную производную). С физической точки зрения соответствует 4мерному ускорению покоящейся вблизи горизонта в статической системе отсчета частицы (вектор Киллинга касателен к ее мировой линии),перемасштабированному с учетом красного смещения для наблюдателя,находящегося в некоторой точке вне горизонта.Для 3х-мерно бесконечных пространств, для которых на 3х-мернойбесконечности 2 ограничено, например, для большинства черных дыр,обычно предполагается, что наблюдатель находится на бесконечности,тогда вектор Киллинга нормируется условием 2 −→ 1.
Однако при рас→∞смотрении имеющих конечный 3х-мерный размер пространств, например, пространства де Ситтера, приходится анализировать эффект Хокингас точки зрения наблюдателя, расположенного на конечном расстоянии.Эффект Унру [113] заключается в том, что в пространстве Минковского в состоянии, вакуумном с точки зрения инерциального наблюдателя, движущийся с постоянным ускорением наблюдатель обнаруживает172тепловое излучение с температурой Унру =.2(7.5)Для того, чтобы это увидеть, можно провести квантование некоторогополя в сопутствующих для равноускоренного наблюдателя координатахРиндлера [117] , , 2,3 , связанных с лоренцевыми координатами соотношением0 = sh ,1 = ch .(7.6)Построив соответствующий такому квантованию базис состояний, можно разложить по нему вакуум квантовой теории, заданной в лоренцевых координатах, и обнаружить тепловое распределение так называемых"риндлеровских" частиц с температурой (7.5) (для этого обычно используют преобразование Боголюбова, см., например, книгу [110]).
Такой подход очень близок к используемому при описании излучения Хокинга, чтоприводит к хорошо известному тривиальному соответствию между эффектами Хокинга и Унру, описанному в следующем разделе. Важнуюроль при этом играет наличие горизонта для риндлеровского наблюдателя.Однако, поскольку в рамках такого подхода не описана процедура наблюдения излучения Унру, он не дает возможности достаточно однозначно ответить на вопрос, является ли это излучение реальным.
Особенносложным вопрос интерпретации оказывается при рассмотрении не прямолинейного ускоренного движения, а равномерного движения по окружности, при котором абсолютная величина ускорения тоже остается постоянной. Для такого движения горизонт отсутствует и вакуум оказываетсясовпадающим с вакуумом инерциальной системы отсчета [118], т.
е. следует считать, что эффект Унру отсутствует. Однако, как замечено в работе [119], считать, что при отсутствии горизонта отсутствует и эффект Унру, кажется странным, поскольку можно рассмотреть наблюдателя, движущегося прямолинейно равноускоренно в течение только конечного промежутка времени, до и после которого он является инерциальным. Для такого наблюдателя горизонт отсутствует, но считать, что в момент своегоравноускоренного движения наблюдатель не фиксирует излучение Унру– это значит предположить, что наличие или отсутствие излучения нело173кальным образом зависит от прошлого либо будущего наблюдателя.
Кажется более разумным считать, что параметры наблюдаемого излучениядолжны определяться локальными характеристиками траектории наблюдателя.Более последовательным с физической точки зрения является описание эффекта Унру путем рассмотрения движущегося по некоторой заданной траектории детектора Унру-де Витта, взаимодействующего с присутствующим в пространстве-времени квантовым полем. Детектор Унру-деВитта (подробности можно найти, например, в книге [110]) представляетсобой точечный объект, который описывается оператором монопольногомомента детектора ( ) и может переходить из своего основного состояния в возбужденное состояние с энергией .
В качестве гамильтонианавзаимодействия детектора с квантовым полем (например, скалярным полем ( )) берется простейшее выражение∫︁ = ( )( ( ))(7.7)(где – собственное время детектора), после чего можно в низшем порядке теории возмущений по константе связи вычислить вероятностьперехода в состояние с энергией и найти возникающий спектр.Чаще всего рассматриваются стационарные траектории движения детектора, к которым относятся и прямолинейное равноускоренное движение, и движение по окружности.
В работе [120] была проведена полнаяквалификация стационарных движений и вычислены соответствующиеим спектры. Интересно заметить, что в этой работе, как и в некоторыхдругих, термин "излучение Унру" для не имеющих горизонта траекторийне употреблялся, а говорилось только о спектре вакуумных возбужденийдетектора.
В отличие от случая прямолинейного равноускоренного движения для всех остальных стационарных траекторий спектр оказываетсяуже не тепловым. Интересно отметить, что в работе [119] эффект Унрудля движения по окружности был отождествлен с наблюдаемым экспериментально эффектом Соколова-Тернова. Обсуждение различных аспектовэффекта Унру также можно найти в литературе, цитированной в недавнейработе [121].Запись гамильтониана взаимодействия в виде (7.7) позволяет найтитолько спектр возбуждений, возникающий в результате взаимодействиядетектора с квантовым полем во все моменты собственного времени174детектора. Для того, чтобы получить "мгновенный" спектр, который идолжен, как можно ожидать, соответствовать наблюдаемому излучению,необходимо как-то модифицировать взаимодействие. Это было осуществлено в работе [122] путем введения зависимости от времени константысвязи в формуле (7.7) по типу включения и выключения взаимодействия в некоторые моменты времени.
На этом пути было показано, чтодля случая произвольного одномерного движения с медленно меняющимся ускорением (т. е. удовлетворяющим условию ||˙ ≪ 2 ) имеет местотепловой спектр со стандартной температурой Унру (7.5).7.3Тривиальное соответствие междуэффектами Хокинга и УнруПрежде всего опишем хорошо известное тривиальное соответствиемежду эффектами Хокинга и Унру, которое имеет место при рассмотрении движения равноускоренного наблюдателя в пространстве Минковского. Такой наблюдатель является покоящимся в координатах Риндлера, , 2,3 , определяемых формулами (7.6) или, с использованием светоподобных координат ± = 0 ± 1 , формулами+ = ,− = −− .(7.8)Трансляции по времени координат Риндлера соответствуют лоренцевубусту в пространстве Минковского, см.
рис. 7.1. Соответствующий векторКиллинга , нормированный на единицу при = 0 , имеет компоненты+ =11 = + ,00− =1 −1 = − − ,00 2,3 = 0.(7.9)Для него существует горизонт Киллинга , представляющий собой по⋃︀⋂︀верхность (+ = 0 − = 0) 1 > 0, поэтому можно определить поверхностную гравитацию и можно считать, что для риндлеровского наблюдателя имеет место эффект Хокинга.Учитывая, что в лоренцевых координатах в пространстве Минковского ковариантная производная сводится к обычной , несложно вычислить левую часть уравнения (7.4) в некоторой точке горизонта, напри-1750x−x+xξx1Рисунок 7.1.
Линии времени координат Риндлера и вектор Киллинга .мер, в которой − = 0, + > 0:+ = + =++ 20=1 .0(7.10)Отсюда находим величину поверхностной гравитации с точки зрения наблюдателя с координатой 0 :=1.0(7.11)Очевидно, что это значение совпадает с постоянным ускорением этогонаблюдателя, а значит можно сказать, что для риндлеровского наблюдателя в пространстве Минковского температура Хокинга (7.3) и температураУнру (7.5) совпадают, т. е.
имеет место простейший случай соответствиямежду эффектами Хокинга и Унру.7.4Соответствие между эффектами Хокинга иУнру при использовании вложенийКак оказалось, аналогичное описанному в предыдущем разделе соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место, если рассмот176реть определенного типа изометрические вложения в плоское объемлющее пространство для достаточно широкого ряда метрик. Впервые этобыло замечено в работах [25–27] для метрик де Ситтера (dS) и анти-деСиттера (AdS), для метрики Шварцшильда вместе с ее dS и AdS обобщениями, для метрики заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрома,а также для метрики BTZ, соответствующей трехмерной черной дыре.Было замечено, что температура , соответствующая имеющемуся из-заналичия горизонта эффекту Хокинга, для рассмотренных вложений (гладко покрывающих горизонт) этих метрик, совпадает с температурой эффекта Унру, связанного с тем, что с точки зрения объемлющего пространства наблюдатель движется равноускоренно.Например, для метрики Шварцшильда, соответствующей интервалу(6.63), использовалось задаваемое формулой (6.64) вложение Фронсдала [24] в плоское 6-мерное пространство.
Как уже говорилось в разделе6.5, это вложение гладко покрывает горизонт. Легко заметить, что длянего линии времени представляют собой гиперболы и при > соответствуют равноускоренному движению в объемлющем пространстве, см.рис. 7.2. Было обнаружено, что температуры Хокинга и Унру совпадают,причем именно при том единственном значении параметра гиперболического вложения (6.57), при котором компонента 2 в (6.57) не содержитособенностей и вложение гладко покрывает горизонт событий.В дальнейшем в большом количестве работ обнаруживалось аналогичное соответствие между эффектами Хокинга и Унру для многих других метрик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
