Диссертация (1145422), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Будемрассматривать вложения для следующих шести типов невращающихсячерных дыр:∙ Шварцшильда (S),∙ Шварцшильда-де Ситтера (S-dS),∙ Шварцшильда-анти-де Ситтера (S-AdS),∙ Райсснера-Нордстрема (RN),∙ Райсснера-Нордстрема-де Ситтера (RN-dS),∙ Райсснера-Нордстрема-анти-де Ситтера (RN-AdS).Ограничимся такими областями значений параметров , и Λ, прикоторых черная дыра не является экстремальной, т. е. имеет максимально возможное число горизонтов. Это соответствует случаю, когда заряд и космологическая постоянная Λ достаточно малы. Возможные значенияпараметров и Λ, а также количества горизонтов hor для таких черныхдыр приведены в таблице 6.1.
Графики функций () для рассматриваемых черных дыр показаны на рис. 6.2.Как уже упоминалось в разделе 6.1, минимальная размерность плоского пространства, в которое может быть вложена метрика Шварцшильда, равна шести, это следует из упоминавшейся в том же разделе158ΛhorS001S-dS0>02S-AdS0<01RN̸= 002RN-dS̸= 0>03RN-AdS̸= 0<02Таблица 6.1. Значения параметров , Λ и hor для рассматриваемых черных дыр.Рисунок 6.2.
Графики функции () для рассматриваемых черных дыр.теоремы Казнера. Для остальных из перечисленных выше черных дыртеорема Казнера уже не запрещает вложений в пятимерное пространство,однако такие вложения в настоящее время неизвестны. Более того, применяя результаты раздела 6.4 о классификации обладающих необходимойсимметрией поверхностей для = 5, несложно получить, что существуют только три варианта – эллиптический (получающийся из (6.55)удалением компоненты 2 ), гиперболический (получающийся из (6.57)снова удалением компоненты 2 ), а также получающийся из (6.61) удалением любой одной компоненты.
В них всех оказывается слишком малопроизвольных функций, чтобы с их помощью удалось построить вложения заданных метрик, так что минимальными вложениями для всехрассматриваемых черных дыр следует считать вложения в шестимерноепространство.Каждый из шести типов вложений в шестимерное пространство, описанных в разделе 6.5, можно использовать для вложения любой из вышеперечисленных черных дыр в каком-то диапазоне изменения радиуса .Но заранее неясно, в каких случаях это можно сделать гладко для всех159 > 0, а как раз только такие вложения можно использовать, если пытаться их рассматривать с физической точки зрения – для описания вечныхчерных дыр в рамках подхода к гравитации на основе изложенной в главах 3-5.
Поэтому возникает задача построения глобальных, т. е. гладкихпри всех > 0, вложений черных дыр.Исследуем возможность построения глобальных вложений для метрикперечисленных выше невращающихся черных дыр, используя описанныев разделе 6.5 типы вложений в шестимерное пространство. Какие-то изэтих типов оказываются непригодными, поскольку компонента 00 метрики, индуцируемой вложениями этих типов, не может менять знак, вто время как все интересующие нас метрики обладают хотя бы однимгоризонтом, в котором знак этой компоненты меняется, см. рис. 1.Знак компоненты 00 оказывается постоянным для вложений эллиптического типа, для которых подстановка (6.55) в (2.4) дает 00 = 2 ()2 ,параболического типа (6.56), где 00 = −2 ℎ()2 , а также типа (6.61), где00 = 02 + 12 + 22 = и типа (6.62), где 00 = 2 2 .
Далее будем исследовать оставшиеся четыре типа вложений, а именно вложения(6.57)-(6.60).6.6.2Гиперболические вложенияДля гиперболического вложения при фиксированной сигнатуре объемлющего пространства (+, −, , −, −, −) есть возможность при однихзначениях (при которых некоторая знаковая функция () = 1) использовать вложение, соответствующее выбору = + в (6.57), а при других(при которых () = −1) – вложение, соответствующее выбору = − спереобозначением 0 ↔ 1 . В результате вложение может быть записанов виде, обобщающем вложение Фронсдала (6.64):() = −1 :() = 1 : 0 = () sh( + ()), 1 = () ch( + ()),2345 0 = () ch( + ()), 1 = () sh( + ()),= ℎ(),= cos ,= sin cos ,= sin sin .160(6.71)Используя (2.4), легко вычислить компоненты метрики, соответствующей этому вложению:00 = 2 2 ,01 = 2 ′ ,11 = − ′2 + 2 ′2 + ℎ′2 − 1 (6.72)(остальные компоненты сразу оказываются отвечающими желаемой метрике (6.69)).
Отсюда, используя (6.69) и (6.70), заключаем, что√︀| | = sign( ),=,′ = 0,(6.73)а также получаем возникающее из формулы для 11 уравнениеℎ′2 =)︀1 (︀ ′22−4+ 1.42 (6.74)В силу того, что в некоторой точке * функция () обращается в ноль, аℎ() должна быть гладкой для искомого глобального вложения (поскольку она совпадает с компонентой 2 функции вложения), из уравнения(6.74) следует, что ′ (* ) = ±2. Это означает, что либо функция ()обращается в ноль только в одной точке (т. е.
существует единственныйгоризонт), либо (если число горизонтов hor > 1) во всех точках, где этопроисходит, она имеет одинаковый модуль производной. Как видно из(6.70), последнее не происходит, если параметры черных дыр находятсяв ситуации общего положения. Поэтому возможность построить глобальное гиперболическое вложение может существовать только для черныхдыр S и S-AdS, имеющих только один горизонт, см.
таблицу 6.1.Для метрики Шварцшильда это вложение Фронсдала (6.64). Отметим, что прохождение функции () через ноль с изменением ее знакане приводит к нарушению гладкости соответствующей такому вложениюповерхности, хотя () и () не являются гладкими на горизонте, см.детали в [24, 96].Исследуем случай S-AdS. Из уравнения (6.74), учитывая асимптотикиего правой части, можно найти, чтоℎ′2 −→ −→0< 0,22 3ℎ′2 −→→∞161|Λ|+ 1 > 0.32(6.75)Из второй асимптотики следует, что = +1, но это несовместимо с первой. Таким образом, глобальное гиперболическое вложение для чернойдыры S-AdS построить не удается.В результате получаем, что минимальное гиперболическое глобальноевложение существует только для черной дыры Шварцшильда.6.6.3Спиральные вложенияВычислим по (2.4) соответствующие спиральному вложению (6.58)компоненты метрики:00 = 2 2 + 2 ,01 = 2 ′ + ℎ′ ,11 = ′2 + 2 ′2 + ℎ′2 − 1(6.76)(остальные компоненты опять сразу оказываются отвечающими желаемой метрике (6.69)).
Снова используя (6.69) и (6.70), заключаем, что√︀| − 2 |ℎ′′2, =−. (6.77) = sign( − ),= − 2Поскольку и являются константами, отсюда следует, что () должно быть ограничено либо сверху, либо снизу, чтобы величина − 2имела постоянный знак. Черные дыры S-AdS и RN-dS этим свойством необладают, поэтому для них спиральное глобальное вложение построитьне удается. Для черной дыры Шварцшильда глобальным минимальнымвложением такого типа является описанное в разделе 6.5 асимптотическиплоское вложение (6.68).Проанализируем возможность построения спирального вложения дляслучая RN-AdS.
Вид функции () для случая RN-AdS показывает, чтодля обеспечения знакоопределенности величины − 2 , необходимобрать = −1 и 2 > |min |, где min < 0 – минимум функции ().Заметим, что если взять 2 = |min |, то возникающее вложение содержит особенность в точке, где () = min , поэтому будем считать, что 2 > |min |. Из формулы (2.4) для компоненты 11 можно получить уравнение (в нем уже положено = −1)ℎ′2 = ′2 − 42 ( + 2 )( − 1).42 2162(6.78)Входящая в это уравнение функция ℎ(), в отличие от входящей в уравнение (6.74), стремится к бесконечности на горизонтах из-за обращенияв ноль стоящей в знаменателе функции (). Это не обязательно означает отсутствие гладкости функции вложения на горизонтах, поскольку вкомпоненту функции вложения (6.58) ℎ() входит в виде суммы с , апри использовании времени внешнего наблюдателя имеется координатная сингулярность метрики – падение на горизонт происходит только забесконечное время .Проверить гладкость функции вложения можно, перейдя к запаздывающему времени ′ = + ℎ()/ (в терминах которого 2 = ′ ).
При егоиспользовании в (6.58) гладкость компоненты 0 означает гладкость функции () = () − ℎ()/. Используя (6.77), в терминах () уравнение(6.78) можно переписать в виде ′2 − 42 ( + 2 )( − 1). =4 2 ( + 2 )2′2(6.79)Поскольку в этом уравнении знаменатель нигде не обращается в ноль,функция вложения будет гладкой, если правая часть уравнения неотрицательна при всех . Чтобы это проверить, прежде всего найдем ее асимптотику.
Для (), соответствующего случаю RN-AdS, находим2 −→ 2 4 > 0,→0 ′2|Λ| − 32 −→→∞3 2′2(6.80)Отсюда следует необходимое, но недостаточное ограничение на параметр, а именно: 2 6 |Λ|/3. Поиск достаточного условия в данном случаеоказывается весьма сложной задачей, и на данный момент она не решена.Поэтому вопрос о существовании глобального спирального вложения длячерной дыры RN-AdS остается открытым.Напротив, аналогичные рассуждения для случаев черных дыр RN иS-dS позволяют явно найти значения параметров, при которых вложения оказываются глобальными, см. подробности в работах [98] и [99],соответственно. В результате имеем, что минимальные глобальные спиральные вложения существуют для черных дыр S, S-dS, RN и, возможно,RN-AdS.1636.6.4Экспоненциальные вложенияТеперь вычислим по (2.4) соответствующие экспоненциальному вложению (6.59) компоненты метрики:00 = −2 + 2 ,01 = ′ − 2 ′ + ℎ′ ,211 = ′ ( ′ − ′ ) + ℎ′2 − 1.
(6.81)Снова используя (6.69) и (6.70), заключаем, что =− − 2,2′ = ′ − 2ℎ′.2( − 2 )(6.82)Как и в случае спиральных вложений, проверить гладкость в терминахфункций ℎ(), () нельзя (см. замечание после (6.78)). Поэтому уравнение, возникающее из формулы (2.4) для компоненты 11 , удобно записатьв терминах функции() = () −ℎ(),(6.83)которая должна быть гладкой для гладких вложений по тем же причинам,что функция () в предыдущем разделе. Запишем сразу решение этогоквадратного уравнения относительно ′ ():′ =2 ′ ±√︀ 2 ( ′2 + 42 ( − 2 )( − 1)).2 2 ( − 2 )(6.84)Легко заметить, что если в некоторой точке * функция () − 2 обращается в ноль, то стоящее в правой части уравнения (6.84) выражениебудет гладким при определенном выборе знака перед корнем – этот знакдолжен быть противоположен знаку величины ′ (* ).
Поскольку знак перед корнем должен выбираться единым образом для всех , это означает,что вложение может быть всюду гладким только при таком выборе параметра , при котором ′ () имеет одинаковый знак во всех точках, где () = 2 . Это условие будет использовано ниже. Для гладкости такженеобходимо, чтобы подкоренное выражение (обозначим его как ()) в(6.84) было всюду неотрицательно.Для черной дыры Шварцшильда глобальным минимальным вложением рассматриваемого типа является упоминавшееся в разделе 6.5 вложе164ние Дэвидсона-Паза [81]. Для черной дыры RN анализ вышеупомянутыхусловий на выражение (6.84) позволил найти явный вид соответствующего вложения, см.
подробности в работе [98]. Приведем подробно такойанализ для оставшихся четырех случаев.Запишем для них асимптотики подкоренного выражения (6.84). При → 0 будет: 2 3,→0526RN-dS,RN-AdS: () −→ 4 8 ,→0S-dS,S-AdS: () −→ −8(6.85)а при → ∞ для всех четырех случаев будет: () −→→∞)︀(︀(︀)︀)︀4 2 2 (︀ 24 Λ 3 − Λ 4 + 2 Λ 32 2 − 32 − Λ 2 +. .
. (6.86)279(напомним, что Λ > 0 для случаев dS, и Λ < 0 для случаев AdS). Сравнение формул (6.85) и (6.86) показывает, что для черной дыры S-AdS ни прикаком выборе не удается обеспечить неотрицательность подкоренноговыражения, а значит глобальное вложение построить нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
