Диссертация (1145422), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Симметрия в этом случае задается группой = (4) и мыбудем искать четырехмерную поверхность ℳ, обладающую симметрией относительно такой группы. При этом будем считать, что указаннойсимметрией должна обладать не только вся ℳ, но и ее трехмерные подмногообразия, соответствующие фиксированным значениям параметра .Чтобы построить вложение в пятимерное пространство, необходимонайти представления группы (4), реализуемое либо пятимерными(псевдо)ортогональными матрицами, либо шестимерными матрицами вида (6.5).

С учетом того, что не должно иметь непрерывного ядра, единственным подходящим оказывается пятимерное представление, являющееся прямой суммой векторного и скалярного представлений. Это означает, что трансляции в объемлющем пространстве не используются, т. е. в(6.5) оказывается = 0 и формулу (6.7) достаточно записать в пространстве + ,− , опуская последнюю компоненту. Тогда она для выбранногопредставления (оно является приводимым) примет вид)︃(︃)︃ (︃01 00 (),(6.10) = () 0 =0 0 ()где ∈ (4), = 1, 2, 3, 4 и учтено, что начальный вектор 0 может зависеть от (см.

после (6.7)). Легко проверить, что для любого 0 ̸= 0размерность порождаемой этой формулой поверхности ℳ будет желаемой, для этого используем (6.8):dim = 6,dim 0 = dim (3) = 3,=1⇒ = 4. (6.11)Заметим, что несмотря на то, что изначально в формуле (6.10) величина 0 произвольным образом зависит от , поверхность ℳ не изменится,133если выбрать 0 () в виде⎛0 ()⎜⎜=⎜⎝01 ()000⎞⎟⎟⎟,⎠(6.12)поскольку принимает все значения из группы (4).

В результате, подставляя (6.12) в (6.10) получаем функцию вложения в виде01234= 00 (),= 01 () cos ,= 01 () sin cos ,= 01 () sin sin cos ,= 01 () sin sin sin ,(6.13)где сферические углы , , параметризуют входящий в (6.10) элементгруппы . Полученная в результате функция вложения описывает поверхность ℳ, подмногообразия = которой представляют собой трехмерные сферы. Это, конечно же, является ожидаемым результатом. Существенно то, что других обладающих желаемой симметрией поверхностейпри = 5 нет.Подставляя (6.13) в (6.1) с правой частью, соответствующей (6.9), находим, что сигнатура должна иметь вид (+, −, −, −, −), и что∫︁ √︀10(6.14)0 () = (),0 () = ˙ 2 () + 1,где точка, как всегда, означает дифференцирование по времени. Окончательно функцию вложения получаем в виде∫︁ √︀0 = ˙ 2 () + 1,1234= () cos ,= () sin cos ,= () sin sin cos ,= () sin sin sin .134(6.15)Эта формула дает единственную при = 5 обладающую симметрией закрытой модели Фридмана функцию вложения для соответствующей метрики, эта функция вложения совпадает с найденной в работе [22].6.3.2Открытая модельМетрика открытой модели Фридмана имеет вид(︀(︀)︀)︀2 = 2 − 2 () 2 + sh2 2 + sin2 2 .(6.16)Симметрия в этом случае задается группой = (1, 3).

Будем строитьобладающую такой симметрией поверхность ℳ полностью аналогичноизложенному в предыдущем разделе, в данном случае отличия минимальны.Необходимо найти представления группы (1, 3), являющиеся либо пятимерными (псевдо)ортогональными матрицами, либо шестимерными матрицами вида (6.5). Снова учитывая, что не должно иметь непрерывного ядра, можно получить, что единственным подходящим опятьоказывается пятимерное представление, являющееся прямой суммой векторного и скалярного представлений. Значит, снова достаточно записатьформулу (6.7) в пространстве + ,− (опустив последнюю компоненту) иона сводится к (6.10), только с ∈ (1, 3). Для размерности поверхностиопять верно (6.11) и получается желаемое значение = 4.Далее следует заметить, что, в отличие от предыдущего раздела, длявходящего в (6.10) начального вектора 0 могут реализоваться три разныхслучая – величина 0 0 может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю (здесь = (1, −1, −1, −1) – метрикав пространстве векторного представления группы (1, 3)).

Поскольку принимает все значения из группы (1, 3), поверхность ℳ не изменится, если для каждого из этих трех случаев выбрать начальный вектор 0в виде одного их трех вариантов⎛0 ()⎜⎜=⎜⎝01 ()000⎞⎟⎟⎟,⎠⎛0 ()⎜⎜=⎜⎝020 ()00135⎞⎟⎟⎟,⎠⎛0 ()⎜⎜=⎜⎝01 ()02 ()00⎞⎟⎟⎟ , (6.17)⎠соответственно. Таким образом, мы имеем три вида поверхности ℳ сжелаемой симметрией.

Теперь нужно учесть, что, согласно виду метрики(6.16), все три направления на ℳ, определяемые смещением начальноговектора 0 под действием группы в данном представлении (эти смещенияпараметризуются изменением величин , , ) должны быть пространственноподобны. Это так для первого варианта из (6.17), для второго варианта два направления оказываются пространственноподобны, а третье– времениподобно, для третьего же – два направления пространственноподобны, а третье светоподобно. Поэтому в качестве вложения метрики,соответствующей (6.16) можно использовать только первый вариант из(6.17).

В результате, подставляя этот вариант в (6.10) получим функциювложения в виде01234= 00 (),= 01 () ch ,= 01 () sh cos ,= 01 () sh sin cos ,= 01 () sh sin sin .(6.18)Эта функция вложения описывает поверхность ℳ, подмногообразия = которой представляют собой трехмерные псевдосферы (гиперболоиды). Это единственная обладающая желаемой симметрией поверхностьпри = 5, совместимая с метрикой открытой модели Фридмана.Подставляя (6.18) в (6.1) с правой частью, соответствующей (6.16),находим, что сигнатура должна иметь вид (−, +, −, −, −), и что∫︁ √︀10(6.19)0 () = (),0 () = ˙ 2 () − 1.Отметим, что выражение под корнем в этой формуле всегда неотрицательно вследствие одного из уравнений Фридмана(︂ )︂2˙κ1= + 2,3˙ 2 − 1 ==⇒κ 2 > 0,3(6.20)именно это полностью фиксирует использованный выбор сигнатуры.Изменив нумерацию компонент функции вложения на более привычную, соответствующую сигнатуре (+, −, −, −, −), окончательно получа136ем0123= () ch ,= () sh cos ,= () sh sin cos ,= ∫︁() sh sin sin ,√︀ 4 = ˙ 2 () − 1.(6.21)Эта формула дает единственную при = 5 обладающую симметрией открытой модели Фридмана функцию вложения для соответствующей метрики, эта функция вложения совпадает с предложенной в работе [22].6.3.3Пространственно-плоская модельТеперь рассмотрим наиболее сложный случай – вложение метрикипространственно-плоской модели Фридмана, для которой интервал имеетвид(︀(︀)︀)︀2 = 2 − 2 () 2 + 2 2 + sin2 2 .(6.22)Симметрия в этом случае задается группой движений трехмерной плоскости = (3) ◁ 3 , являющейся полупрямым произведением группывращений (3) на группу трансляций 3 .

Элементы группы можнозаписывать в виде = ( × ), где ∈ (3) и ∈ 3 , т. е. – трехмерный вектор, параметризующий трансляции, , , . . . = 1, 2, 3. Будем искатьчетырехмерную поверхность ℳ, которая обладает симметрией относительно такой группы, причем чтобы такой же симметрией обладали бы иее трехмерные подмногообразия, соответствующие фиксированным значениям параметра .

Интересно, что кроме ожидаемого варианта, когдаэти трехмерные подмногообразия оказываются трехмерными плоскостями, могут возникнуть и другие варианты, см. ниже.Для построения вложения в пятимерное пространство нужно найтипредставления группы , являющиеся либо пятимерными (псевдо)ортогональными матрицами, либо шестимерными матрицами вида (6.5).Для того чтобы описать представление группы , удобно сначала задатьпредставление ее подгруппы (3), а затем определить действие транс-137ляций 3 на пространстве этого представления. Как всегда, учтем, что не должно иметь непрерывного ядра.Можно показать, что есть только одно представление, для которого оказывается пятимерной псевдоортогональной (в некотором базисе) матрицей.

Пространство представления в этом случае соответствуетпрямой сумме векторного и двух скалярных представлений подгруппы(3) ⊂ , а формула (6.7) (поскольку трансляции в объемлющем пространстве не используются, ее, как и в предыдущих разделах, достаточнозаписать в пространстве + ,− , опуская последнюю компоненту) принимает вид⎞⎛⎞⎛00 ()⎟⎜⎟⎜(6.23) = () 0 = ⎝ 1 12 2 ⎠ ⎝ 01 () ⎠ ,01002 ()где пятимерная матрица () записана в блочном виде и учтена зависимость начального вектора 0 от .

Здесь ∈ (3), вектор параметризует трансляции (т. е. элемент подгруппы 3 ), а – произвольнаяконстанта. Квадратичная форма, которую сохраняет эта матрица, с точностью до множителя имеет вид⎛⎞− 0 0⎜⎟ = ⎝ 0 0 1 ⎠,(6.24)0 1 0т. е. в данном случае () является псевдоортогональной матрицей, записанной в светоподобных координатах.Можно также показать, что есть только одно представление, для которого оказывается шестимерной матрицей вида (6.5). Пространствопредставления в этом случае соответствует прямой сумме векторного итрех скалярных представлений подгруппы (3), а формула (6.7) (последняя компонента в ней уже не опускается, поскольку трансляции вобъемлющем пространстве в данном случае используются) принимает138вид⎛(︃1)︃(︃= ()01)︃⎜⎜=⎜⎝0000100⎞⎛ 0 ()0 ⎜0 0 ⎟⎟ ⎜ 01 ()⎟⎜1 0 ⎠ ⎝ 02 ()0 11⎞⎟⎟⎟,⎠(6.25)где – снова произвольная константа.

Видно, что соответствующая Λ(см. формулу (6.5)) часть матрицы () является ортогональной.Рассмотрим сначала случай представления (6.25). Поскольку элементы группы зависят от шести вещественных параметров, а поверхность,соответствующая фиксированному значению должна была трехмерна,необходимо, чтобы для начального вектора 0 существовала трехмернаягруппа стабильности, см. формулу (6.8).

Легко заметить, что это так, только если 0 = 0, тогда группой стабильности будут (3)-вращения. Врезультате, учитывая, что начальный вектор 0 зависит от , и записываявектор в сферических координатах , , , получаем для данного случаяфункцию вложения в виде: 0 = 01 (), 1 = 02 (), 2 = cos , 3 = sin cos , 4 = sin sin .(6.26)Подчеркнем, что здесь величина не зависит от . Полученная в результате функция вложения описывает поверхность ℳ, подмногообразия = которой представляют собой трехмерные плоскости, что является ожидаемым результатом. Однако легко проверить, что получитьвложение метрики (6.22), используя такую функцию вложения, не удается.Теперь рассмотрим случай представления (6.23).

Снова необходимообеспечить существование трехмерной подгруппы стабильности вектора0 , чего можно добиться двумя способами. Во-первых, можно положить0 = 0, при 02 ̸= 0, тогда подгруппу стабильности будут образовывать(3)-вращения. Во-вторых, если 0 ̸= 0, то обязательно существует одномерная подгруппа стабильности (2), образуемая поворотами вокругвектора 0 , а для того чтобы полная подгруппа стабильности была трехмерной, необходимо положить 02 = 0. Тогда подгруппой стабильностибудет группа движений плоскости, ортогональной вектору 0 .139Сначала рассмотрим вариант 0 ̸= 0.

Характеристики

Список файлов диссертации