Диссертация (1145422), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Метрика,которая входит в действие (5.21) может быть выражена через функциювложения по формуле (2.4). Найдем, какой вариации функции вложения () соответствует произвольная малая вариация независимой переменной (). Для произвольной точки ˆ (записанной в прямолинейных координатах) пространства 1, −1 имеет место тождество: ( (ˆ ), (ˆ )) = ˆ ,(5.30)так как (˜ ) – функция, обратная к функции (5.22). Перейдем от поля () к результату его малой вариации ′ () = () + ().(5.31)Будем считать, что одновременно с этим функция (), фиксирующаякоординаты на поверхностях ℳ, также испытывает произвольное малоеприращение, переходя в величину ′ () = ()+ ().
Тогда измененная в результате вариации функция вложения ′ () будет удовлетворятьаналогу соотношения (5.30): ′ (′ (ˆ ), ′ (ˆ )) = ˆ .116(5.32)Вводя обозначение ′ () = ()+ (), раскладывая левую часть уравнения (5.32) и используя (5.30), имеем (, ) = − (, )− (, ).(5.33)Второе слагаемое в правой части этой формулы представляет собой произвольный вектор, касательный к поверхности ℳ. Данная произвольность является следствием произвола в выборе координат и, как будет видно далее, она не будет влиять на окончательный вид уравненийдвижения.Рассмотрим, что происходит при вариации (5.31) c полями материи.Поле () как функция не изменяется, так как является независимойпеременной наряду с (). Но в действие (5.21) оно входит как функцияот и в виде (, ) = ((, )), поэтому испытывает приращение)︂(︂(,)+ (, ) ().(5.34)(, ) = Воспользуемся теперь результатом из теории вложения.
Вариациюпри изменении () вклада в действие (5.21) от одной поверхности сопределенным , т. е. вариацию выражения, стоящего под интеграломпо , можно записать в виде (3.10), тогда полная вариация действия будетиметь вид(︂∫︁∫︁(︀)︀√− ( − κ ) (, )+ = 4 −κ)︂+(, ) , (5.35)(, )где – тензор энергии-импульса материи, вычисляемый обычным образом, т. е. варьированием по метрике вклада в действие одной поверхности. Отметим, что это, естественно, не то же самое, что тензор энергииимпульса полей материи как некоторых полей в плоском объемлющемпространстве 1, −1 . Причина появления в выражении (5.35) последнегослагаемого описана перед формулой (5.34).
Используя тождество Бьянки(3.42) вариацию (5.35) можно переписать как(︂∫︁∫︁√ = 4 −− ( − κ ) (, )+κ117√+ − ( ) (, ))︂+(, ) . (5.36)(, )Теперь, подставляя в (5.36) формулы (5.33),(5.34), и используя тот факт,что величина по индексу ортогональна любому касательному вектору, получаем окончательный вид вариации действия при произвольнойвариации независимой переменной ():(︃∫︁∫︁√ (, ) + = 4 − ( − κ ) κ (︂)︂√+ () − − ( ) ×(, ))︂)︃(︂(,)+ (, ).
(5.37)× Отметим, что в это выражение входит связанная с выбором координатсовершенно произвольная величина . Однако, ее присутствие не повлияет на окончательный вид уравнений движения. Действительно, кромевариации действия по полю () для получения полного набора уравнений движения необходимо также рассмотреть вариацию по полю материи(). Получающееся в результате уравнение движения материи в общемслучае можно записать в виде= 0,(, )(5.38)а, например, для конкретной теории (5.19),(5.20) оно будет иметь привычный вид + ′ () = 0,(5.39)где – обычная ковариантная производная в координатной системе .Заметим также, что из уравнений движения материи (5.38) следует условие = 0.(5.40)С учетом формул (5.38),(5.40) и уже упоминавшегося свойства ортогональности по индексу величины , равенство нулю вариации (5.37)118при произвольном приводит к уравнению( − κ ) = 0,(5.41)т.
е. к играющему роль уравнений движения в теории вложения уравнению Редже-Тейтельбойма (3.15).Полученные уравнения движения (5.39),(5.41) записаны в виде, привязанном к выбору координат на поверхностях ℳ, поскольку координатные системы использовались в процессе вывода. Но их можно переписать и в виде уравнений, в которые координаты не входят, используяформулы из раздела 5.2. Уравнение (5.39) можно переписать в виде¯ ¯ + ′ () = 0,(5.42)где использовано обозначение (5.11). Уравнение же Редже-Тейтельбойма(5.41) в форме, не использующей координаты, имеет вид(︀)︀ − κ = 0,(5.43)где величины и определяются формулами (5.14),(5.13) и (5.12), а есть результат пересаживания в объемлющее пространство обычноготензора энергии-импульса материи на поверхности ℳ.
Например, длятеории (5.19) он имеет вид)︂(︂(︀)︀(︀)︀(︀)︀(︀)︀1¯ ¯ − () . (5.44) = = ¯ ¯ − Π2В приведенном вычислении для получения уравнений движения теории разбиения (5.42),(5.43) временно вводились координаты на каждойповерхности ℳ. Однако эти уравнения можно получить и прямым варьированием действия (5.29) по независимой переменной ( ) и полямматерии.
Для этого полезно определить понятие тензоров относительнопреобразований (5.1), являющихся заменами координат в пространстве значений функции ( ), см. замечание после формулы (5.2).Как обычно, определим вектора с верхним и нижним индексами какпреобразующиеся по законам′ ( ) = ′ ( ), ′ ( ) =119 ( ),′(5.45)и соответственно определим произвольные тензоры. Легко заметить, чтотензорами в этом смысле будут являться величины , , , , но,конечно же, не .
Как всегда, обычное дифференцирование тензоров вобщем случае приводит к величинам, тензорами не являющимся. Однакоэто не так для дифференцирований в касательных направлениях, задава′емых оператором (5.11). Действительно, поскольку величина зависитот только через ( ), она оказывается постоянной на поверхности ( ) = , а значит′¯ = 0(5.46)и производная ¯ будет преобразовываться, как и по тензорномузакону (5.45).Применяя такую сохраняющую свойство тензорности касательнуюпроизводную ¯ к простейшей построенной из ( ) тензорной величине , можно ввести величину˜ = −¯ ,(5.47)которая оказывается очень полезна при вычислениях. Пересаживая ее поиндексу в объемлющее пространство, получаем выражение˜ = ˜ = − Π = − Π = Π⊥ Π = Π Π , (5.48)из которого видно, что ˜ является обобщением второй основной формыповерхности, поскольку, как видно из сравнения (5.47) с (5.10), последняяполучается из нее проектированием: = ˜ Π .(5.49)В отличие от симметричной по индексам , величины , обобщеннаявеличина ˜ такой симметрией уже не обладает.
По своему индексу она (как и ) оказывается "ортогональной" (см. терминологию послеформулы (5.12)), по индексу – "касательна" (тоже как и ), а по индексу имеет вклады обоих типов (в отличие от , имеющей лишь"касательный").120Из обобщенной величины ˜ можно построить обобщение тензоракривизны , записав формулу, аналогичную формуле (5.13), выражающей через :[︁]︁ ˜˜˜ = .(5.50)Этот тензор "касателен" по индексам и , но не по , . Из него обычный тензор кривизны получается проектированием по этим последниминдексам:˜ Π Π .
= (5.51)Также можно ввести обобщение тензора Риччи:˜ = ˜ ,(5.52)он "касателен" по первому индексу, но не по второму. Обычный тензорРиччи получается из него проектированием˜ Π . = (5.53)˜ совпадает с обычОтметим, что свертка обобщенного тензора Риччи ной скалярной кривизной , так что обобщения скалярной кривизны невозникает.˜ можПолезно заметить, что для обобщения тензора кривизны но получить аналог тождества Бьянки, хорошо известного для обычноготензора кривизны.
Используя (5.48) можно написать[︀]︀˜ = ( Π )Π⊥ ( Π ) ,откуда следует, что[︁]︁ ˜Π Π [︀]︀= 2Π Π ( Π )( Π⊥ )( Π ) = 0,(5.54)(5.55)где [. . .] означает полную антисимметризацию по трем индексам , , и использовано свойство проекторов (2.26). Аналогично тому, как из тождества Бьянки следует соотношение для тензора Эйнштейна = 0,из тождества (5.55) можно получить полезное следствие, сворачивая его свеличиной Π Π Π⊥ ℎ . Проведя соответствующее вычисление, можно по121лучить тождество, которому удовлетворяют введенные обобщенные величины:(︂)︂1˜ − + ˜ ˜ − ˜ ˜ Π⊥ ℎ = 0. (5.56)2Данное тождество оказывается необходимым использовать при прямом выводе уравнений движения теории разбиения (5.42),(5.43) из действия (5.29). Этот путь получения уравнений движения является явнокалибровочно-инвариантным по отношению к общековариантным преобразованиям, поскольку координатные системы на поверхностях ℳ невводятся.
Соответствующее прямое вычисление оказывается достаточногромоздким, оно было проделано в дипломных работах [92] и [93].5.5Канонический формализм идальнейшее развитиеПостроение канонического формализма для теории разбиения является сложной и не до конца исследованной к настоящему моменту задачей.Прежде всего необходимо выделить из всех компонент координаты объемлющего пространства время 0 , записывая аргументы поля в виде ( 0 , ), где , , . . .
= 1, . . . , − 1. При этом для данного моментавремени 0 это поле осуществляет разбиение ( − 1)-мерного пространства 0 = на трехмерные поверхности ℳ̂. Для этих трехмерныхповерхностей в ( − 1)-мерном пространстве можно ввести такие же характеристики, какие были введены для четырехмерных поверхностей в -мерном пространстве в разделе 5.2:ˆ = , ˆ = ,(5.57)ˆ и т. д.а также ˆ , ˆ , Π̂ , Π̂⊥ , ˆ , В гравитационной части действия (5.29) можно, введя временно координаты на поверхностях и перейдя к записи (5.21), воспользоваться, как и в разделе 4.2, для скалярной кривизны формулой (2.96) иотбросить возникающий поверхностный вклад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
