Диссертация (1145422), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . , −). С ее помощью можно построитьвеличину () = ,(5.3)которая может играть роль метрики в пространстве . Однако, нужнопомнить, что она зависит от , а значит, не только от точки в , но и отположения на поверхности ℳ, которая соответствует этой точке.Будем предполагать, что поверхности ℳ обязательно имеют времениподобное направление.
Это предположение можно сформулировать какусловие знаковой определенности матрицы (знак зависит от выборасигнатуры): < 0∀ .(5.4)Определим величину () как обратную к (5.3) и введем обозначение для детерминанта ≡ det( ). С помощью величин , можно опускать и поднимать индексы типа , , . . ., например, удобноввести величину, в некотором смысле, обратную к : = ,(5.5)для которой выполняются соотношения = , = Π⊥ ,(5.6)где Π⊥ – проектор на пространство, ортогональное к ℳ в данной точке.Легко записать соответствующий проектор на касательное пространствоΠ = − Π⊥ .(5.7)Отметим, что, как легко заметить, проекторы Π , Π⊥ являются инвариантами относительно преобразования (5.1).Имея выражение касательного и ортогонального проекторов для поверхности ℳ через независимую переменную (), можно выразить через нее скалярную кривизну поверхности (явная формула будет написана ниже).
Для того, чтобы работать с нескалярными характеристиками110внутренней геометрии поверхности, временно введем координатную систему на каждой из поверхностей ℳ (здесь, как всегда, = 0, 1, 2, 3).Поскольку определены на каждой поверхности, возникает функция (). Совокупность { (), ()} можно рассматривать как некоторыекриволинейные координаты в плоском пространстве 1, −1 .Воспользуемся формулой (2.28) для второй основной формы поверхности, заданной функцией вложения () в плоское объемлющее пространство: = Π .(5.8)В рассматриваемом сейчас случае проектор Π может рассматриватьсяне только как функция координат на поверхности , но и как функцияточки пространства 1, −1 .
Поэтому можно написать: Π = Π = Π = Π . (5.9)Используя это соотношение, пересадим вторую основную форму поверхности по всем индексам в объемлющее пространство: ≡ = Π Π Π = Π ¯ Π ,(5.10)где введено обозначение для касательной производной:¯ ≡ Π = .(5.11)Используя свойство проектора (2.23) и соотношение (5.6), формулу (5.10)можно продолжить:(︀)︀(︀)︀ = −Π ¯ Π⊥ = −Π ¯ = −Π Π .(5.12)По индексам , эта величина "касательна", т. е. удовлетворяет тождествам вида Π⊥ = 0, а по индексу она "ортогональна", т. е. удовлетворяет тождеству Π = 0. Если необходимо записать все индексывеличины внизу, будем "ортогональный" индекс записывать на первом месте: = .Тензор кривизны Римана выражается через вторую основную формуформулой (2.38).
Используя (5.12), его можно тоже пересадить по всем111индексам в объемлющее пространство: ≡ = [ ] =[︀(︀)︀(︀)︀]︀= Π Π Π Πℎ ℎ ℎ . (5.13)Эта величина "касательна" по всем своим индексам, т. е. удовлетворяеттождествам вида Π⊥ = 0. Заметим, что в выражения (5.12),(5.13)уже не входят координаты , поэтому их можно использовать без введения каких-либо координатных систем на поверхностях ℳ.Теперь можно легко записать не использующие координат на ℳ выражения для тензора Риччи, скалярной кривизны и тензора Эйнштейна: = , = ,1 = − Π .2(5.14)Используя выражение (5.13), а также формулы (5.2),(5.3),(5.5)-(5.7) можновыразить эти величины через поле ().
Например, скалярную кривизнуможно записать в виде(︀)︀]︀[︀(︀)︀ = Π Π .(5.15)Используя такое выражение для скалярной кривизны можно попробовать построить действие для поля (), соответствующие которомууравнения движения давали бы корректное описание гравитационноговзаимодействия.5.3Действие теорииБудем предполагать, что взаимодействие между разными поверхностями ℳ отсутствует.
В этом случае действие должно сводиться к суммевкладов отдельных поверхностей ℳ, а значит, его можно записать в видеинтеграла по пространству значений функции ():∫︁ = ℳ (),(5.16)где ℳ () – вклад в действие поверхности ℳ с данным значением (точнее, ℳ () – вклад поверхностей, соответствующих малой окрестностиэтой точки). Предполагая локальность действия и снова временно вводя112координаты на каждой из поверхностей ℳ, величину ℳ () можнозаписать в виде∫︁ℳ () = 4 ℒ(, ),(5.17)где ℒ(, ) – величина, представляющая собой скалярную плотность поотношению к преобразованиям координат на поверхностях.Допустим, что кроме поля () в пространстве 1, −1 могут присутствовать и другие поля – поля материи.
Будем строить теорию таким образом, чтобы события, происходящие на разных поверхностях не влиялидруг на друга. Все возмущения, в том числе для полей материи, должны распространятся только вдоль поверхностей. В дальнейшем можно, впринципе, рассмотреть варианты теории, в которых такое взаимодействиесуществует, но достаточно слабое, чтобы это не приводило к противоречию с наблюдениями. Здесь мы ограничимся случаем точного отсутствиявзаимодействия между поверхностями.
Можно предположить, что возмущения полей материи будут распространяться только вдоль поверхностей,если полное действие можно переписать как сумму действий разных поверхностей, т. е. в виде (5.16), а в плотность лагранжиана в (5.17) входятпроизводные от полей материи только в направлениях вдоль ℳ.Поскольку в рамках данной теории поля мы рассчитываем получитьна поверхностях ℳ теорию гравитации, близкую к ОТО Эйнштейна, логично скалярную плотность ℒ(, ) взять в виде(︂)︂√1(5.18)ℒ(, ) = − − + ℒ ,2κгде ℒ – скалярная величина, определяющая вклад в действие полей материи.
Про эту величину мы будем предполагать что она содержит дифференцирования только в направлениях вдоль ℳ. Например, для скалярногополя можно взять ℒ в видеℒ =1 (︀ ¯ )︀ (︀ ¯ )︀ − (),2(5.19)где () – некоторый потенциал, и использовано обозначение (5.11). Отметим, что проводя рассуждение, аналогичное формуле (5.9), легко пере-113писать выражение (5.19) в привычном виде1ℒ = ( ) ( ) − ().2В результате действие теории (5.16) принимает вид:(︂)︂∫︁√1 = 4 − − + ℒ .2κ(5.20)(5.21)Перейдем в этом интеграле от криволинейных координат ˜ = { , }(имеется в виду, что ˜ есть совокупность величин и ) к координатам , с которыми ˜ связано формулой˜ () = { (), ()}.(5.22)Для этого необходимо вычислить якобиан преобразования ˜ = det .(5.23)Чтобы это сделать, рассмотрим две взаимно обратные друг другу матрицы: ˜ ˜ = , −1 = .
˜ ˜(5.24)Очевидно, что det = 2 det . Рассмотрим минор матрицы :(︂ )︂(︂ )︂)︀˜˜det = det = det = (︀)︀= det = (︀(5.25)и дополнительный к нему минор обратной матрицы −1 :(︀−1det )︀ = det ˜ ˜(︂)︂)︂ = det== det ( ) = . (5.26)114(︂Известно (см., например, [91], глава I, §4), что такие миноры связанысоотношением(︀)︀(︀)︀det −1 = det / det ,(5.27)откуда следует, что√︂=√︀||= √ . det −(5.28)С помощью этой формулы действие (5.21) легко переписать в виде:(︂)︂∫︁√︀1 = || − + ℒ .(5.29)2κЕсли в этом выражении для скалярной кривизны использовать формулу(5.15), а для величины ℒ – формулу типа (5.19), то в него уже не будутвходить координаты . В результате исчезает необходимость во введении каких-либо координатных систем на поверхностях ℳ и мы имеемзапись действия, естественную с точки зрения рассмотрения теории поля () в плоском пространстве 1, −1 .
Можно сказать, что действие(5.29) записано в калибровочно-инвариантных терминах по отношению кобщековариантной группе преобразований координат на четырехмерныхповерхностях.Интересно отметить, что построенное действие оказывается неинвариантно относительно преобразования симметрии (5.1), которую мыпредполагали физической. Величины и ℒ инвариантны (см. замечаниепосле формулы (5.7)), но детерминант – нет.
Из формул (5.2),(5.3) легкоувидеть, что при преобразовании (5.1) под знаком интеграла в (5.29) появляется множитель в виде модуля якобиана этого преобразования. Этотже результат легко получить, глядя на запись действия (5.21), поскольку(5.1) представляет собой замену координат в пространстве , по которому ведется интегрирование.
Однако, появляющийся в действии множитель зависит только от , но не напрямую от , поэтому в представлении (5.21) его можно вынести из-под интеграла по . Как следствие, ониграет роль весового множителя, с которым разные невзаимодействующие поверхности дают вклад в действие, а значит, он не повлияет на видуравнений движения. То, что это действительно так, станет ясно в конце115следующего раздела. В результате возникает интересная ситуация: действие не является инвариантным по отношению к некоторой симметрии,а уравнения движения – являются.5.4Уравнения движенияНайдем уравнения движения рассматриваемой теории.
Посколькудействие теории изначально строилось как сумма вкладов от каждой изповерхностей ℳ, то логично ожидать, что каждая из поверхностей будет подчиняться такому же уравнению, как если бы она была одна, т. е.уравнению Редже-Тейтельбойма (3.15). Получим этот результат аккуратно. Чтобы упростить вычисления снова временно введем координаты наповерхностях ( ) и возьмем действие в виде (5.21) – тогда можно воспользоваться уже известными результатами из теории вложения.Поверхность ℳ, соответствующая определенному значению величины может быть описана функцией вложения () = (, ) |= = (˜ ) |= , где (˜ ) – функция, обратная к функции (5.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
