Диссертация (1145422), страница 21
Текст из файла (страница 21)
подробности в разделе 6.3. А первоевложение для метрики Шварцшильда было обнаружено еще раньше – в1921 году (всего через пять лет после появления решения Шварцшильда)его предложил Казнер [23], причем объемлющее пространство было шестимерным. Значения = 5 для метрик моделей Фридмана и = 6 дляметрики Шварцшильда являются минимально возможными вследствиевышеупомянутой теоремы Казнера, поскольку метрика Шварцшильда является вакуумным (вне центральной сингулярности) решением уравнений Эйнштейна, а значит для нее > 1. Вложения с минимально возможным значением обычно называют минимальными вложениями.Следует отметить, что предложенное Казнером вложение метрикиШварцшильда покрывает только область соответствующего псевдориманова пространства, лежащую вне горизонта, т.
е. такое вложение не является глобальным. Проблемы глобальной структуры возникающего многообразия обсуждались в работе [105]. Самое полное глобальное вложе127ние, покрывающее все области, соответствующие максимальному аналитическому расширению метрики Шварцшильда, было построено Фронсдалом [24].
Для него, как и для вложения Казнера, = 6, т. е. вложение Фронсдала тоже минимально, подробнее о его свойствах см. в разделе 6.5. Для = 6 в литературе известны еще два вложения метрикиШварцшильда, они были предложены в работах [46] и [81]. Отметим, чтов работах [23, 24, 81] вложения предъявлены без использования какоголибо метода их получения, а в работе [46] некоторый метод используется,однако он не является достаточно универсальным, поскольку, например,вложения [81] он не дает.В данной главе предлагается метод поиска явных вложений заданной метрики, основанный на имеющейся у этой метрики симметрии.
Внем предполагается, что возникающая в результате вложения поверхностьдолжна обладать той же симметрией, что и вкладываемая метрика. Следует отметить, что в общем случае поверхность, являющаяся вложениемнекоторой метрики, может и не обладать всеми симметриями этой метрики, такие вложения предлагаемым здесь методом не могут быть найдены. Метод хорошо работает в случаях, когда симметрия вкладываемойметрики достаточно велика. Его идея заключается в том, чтобы сначала перечислить, используя результаты теории представлений групп, всеповерхности, обладающие требуемой симметрией, а потом отобрать теиз них, которые имеют заданное значение и обладают нужной метрикой. Общий способ построения поверхностей с заданной симметриейописывается в разделе 6.2, там же приведено используемое определениесимметрии поверхности.В разделе 6.3 показывается, как предложенный метод работает в достаточно простом случае богатой симметрии Фридмана при построенииминимальных вложений метрик моделей Фридмана.
С его помощью удается воспроизвести все вложения, найденные в работе [22], и доказать,что других обладающих симметрией Фридмана вложений при = 5 несуществует. При этом автоматически становится ясным, что вложение Робертсона для пространственно-плоской модели Фридмана обладает присущей этой модели симметрией плоского трехмерного пространства, чтосовсем не очевидно при взгляде на вид соответствующей функции вложения (в отличие от случаев закрытой и открытой моделей).В разделах 6.4-6.6 метод применяется для построения всех обладающих соответствующей симметрией вложений для невращающихся чер128ных дыр.
Анализ всех возможных вариантов минимальных вложений длячерной дыры Шварцшильда воспроизводит все ранее известные вложения этой метрики, а также позволяет построить два новых вложения, одноиз которых обладает уникальным свойством стремиться к четырехмернойплоскости на пространственной бесконечности, т. е. является асимптотически плоским.Для других невращающихся черных дыр (обладающих зарядом и/илирассматриваемых в присутствии космологической постоянной) удаетсятакже построить вложения такого же типа, как для метрики Шварцшильда.
Поскольку эти более сложные черные дыры в большинстве своем обладают несколькими горизонтами, для них интересно проанализироватьвозможность построения при = 6 вложений, являющихся глобальными, т. е. гладких при всех значениях радиуса. В разделе 6.6 исследуется,для каких черных дыр вложения какого типа могут быть глобальными.В этой главе будут использоваться сигнатуры, в которых ” + ” соответствует времениподобным направлениям, а ” − ” – пространственноподобным.6.2Метод построения поверхностейс заданной симметриейОпишем, как можно конструктивно построить -мерную поверхностьв плоском объемлющем пространстве, обладающую симметрией относительно некоторой заданной группы . В качестве объемлющего пространства возьмем в самом общем случае пространство + ,− , содержащее + времениподобных и − пространственноподобных направлений,+ + − = > .Будем считать, что поверхность ℳ обладает симметрией относительно группы , если ℳ переходит сама в себя под действием некоторой̃︀ группы движений объемлющеизоморфной группе подгруппы го пространства.
Для объемлющего пространства + ,− группой движения является соответствующее обобщение группы Пуанкаре, т. е. представляет собой полупрямое произведение группы (+ , − ) на группу + +− трансляций пространства + ,− :̃︀ ⊂ ,≈ = (+ , − ) ◁ .129(6.3)Такое определение наличия у поверхности некоторой симметрии соответствует тому, что у областей, переходящих друг в друга под действиемпреобразования симметрии, должна быть одинаковой как внутренняя, таки внешняя геометрия, вследствие чего их можно совместить друг с другом с помощью сдвига и (или) поворота в объемлющем пространстве.Соотношение (6.3) означает существование гомоморфизма : → ,(6.4)отображающего группу симметрии в группу движений объемлющегопространства . Существование такого гомоморфизма является необходимым условием наличия у поверхности ℳ желаемой симметрии, поэтому для построения ℳ прежде всего укажем способ нахождения .Как известно, элементы группы можно реализовать в виде блочныхматриц размера + 1 вида(︃)︃Λ ,(6.5)0 1где Λ ∈ (+ , − ) параметризует (псевдо)повороты в объемлющем пространстве, а ∈ + ,− параметризует трансляции в нем.
При этом точкам+ ,− соответствуют ( + 1)-мерные векторы, последняя компонента которых всегда равна единице. Значит, гомоморфизм можно понимать какнекоторое представление группы , матрицы которого имеют вид (6.5),причем представление должно быть однозначным и точным. Посколькуматрица (6.5) соответствует приводимому, хотя и не вполне приводимомупредставлению, представление обязательно оказывается приводимым.Если задано некоторое представление группы , матрицы которогоимеют вид (6.5), то можно взять в пространстве представления + ,− ⊕какую-нибудь точку)︃(︃0,(6.6)1130где 0 ∈ + ,− , и рассмотреть поверхность, возникающую в пространстве+ ,− как множество точек ∈ + ,− , даваемых формулой(︃ )︃(︃)︃0= (),(6.7)11при произвольных ∈ . Несложно проверить, что построенная такимобразом поверхность будет обладать симметрией относительно группы ̃︀ – это множество матсогласно данному выше определению. При этом риц () при всех ∈ .
Таким образом получается, что задав представление , мы получаем обладающую нужной симметрией поверхность. Сдругой стороны, перебрав все возможные представления мы найдем все̃︀возможные поверхности с такой симметрией, поскольку для каждой можно найти соответствующее представление . Начальный вектор 0можно сделать зависящим от некоторых непрерывных параметров, тогдасимметрией относительно группы будет обладать не только возникающая поверхность как целое, но также этой симметрией будут обладатьвсе ее сечения, соответствующие фиксированным значениям параметров.Поскольку классификация представлений групп разработана очень хорошо, возникает конструктивный способ построения всех поверхностей,обладающих заданной симметрией: нужно перечислять линейные вещественные представления группы , начиная с минимальных значенийих размерности, и отбирать те из них, для которых матрица представления имеет вид (6.5).
При этом, однако необходимо учитывать, что дляразных представлений и разных начальных векторов 0 полученная поверхность может иметь разные размерности, поэтому не все вариантыокажутся подходящими при заданной размерности поверхности. Размерность поверхности, возникающей в результате применения формулы (6.6)для заданного начального вектора 0 , равна количеству генераторов группы , которые сдвигают 0 при действии на него в представлении . Этоколичество можно получить как разность размерности dim группы иразмерности dim 0 подгруппы стабильности 0 вектора 0 в представлении . Тогда полную размерность поверхности можно вычислить поформуле: = dim − dim 0 + ,131(6.8)где – число упоминавшихся выше параметров, от которых зависит начальный вектор 0 .Отметим, что, в зависимости от решаемой задачи, требование симметрии искомой поверхности может быть сформулировано как глобально, так и локально.
В последнем случае оставляющая инвариантной по̃︀ группы движений объемлющего пространстваверхность ℳ подгруппа должна быть лишь локально изоморфна группе . В этом случае представление уже не обязательно должно быть однозначным, а также ономожет иметь нетривиальное дискретное ядро. Такая ситуация может, впринципе, возникнуть, если мы ищем вложение для риманова пространства, симметрия которого наблюдается только локально, но не глобально.Например, для замкнутой модели Фридмана сечения постоянного времени имеют симметрию (4), но кажется разумным предполагать этотолько локально, а глобально делать такое предположение оснований нет,поскольку нет возможности обойти вселенную по большому кругу.С другой стороны, в некоторых задачах может оказаться необходимымне только предполагать наличие глобальной симметрии, но и наложитьдополнительный ограничения на топологию искомой поверхности.
Например, для черных дыр, поскольку тяготеющее тело можно обойти побольшому кругу, при поиске вложений необходимо считать симметрию(3) глобальной, а также дополнительно требовать, чтобы топологияповерхности, соответствующей постоянным значениям и была топологией сферы.6.3Вложения метрик моделей ФридманаПрименим предложенный в предыдущем разделе метод построенияповерхностей с заданной симметрией для поиска вложений метрик моделей Фридмана. Будем искать минимальные вложения. Поскольку в моделях Фридмана присутствует материя, соответствующие им метрики неудовлетворяют вакуумным уравнениям Эйнштейна и упоминавшаяся вразделе 6.1 теорема Казнера никак не ограничивает априори класс вложения. Поэтому минимальными вложениями могут оказаться вложенияв пятимерное объемлющее пространство, так что для всех трех моделейФридмана будем искать вложения при = 5.1326.3.1Закрытая модельМетрика закрытой модели Фридмана имеет вид(︀(︀)︀)︀2 = 2 − 2 () 2 + sin2 2 + sin2 2 ,(6.9)где () – зависящий от времени масштабный фактор, а , , сферические углы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
